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第三节　函数的奇偶性与周期性
【最新考纲】　1.了解函数奇偶性的含义；会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性与周期性.2.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称．

奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－　　　　　　B.
C. D．－
解析：依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴b＝0且a＝，则a＋b＝.
答案：B
3．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝ B. y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析：对于D，f(x)＝ex－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故y＝ex－e－x为奇函数．
而y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝为非奇非偶函数．y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．
答案：D
4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2 016)＝________．
解析：∵f(x)＝－f，
∴f(x＋5)＝f
＝－f＝f(x)
∴f(x)是以5为周期的周期函数．
∴f(2 016)＝f(403×5＋1)＝f(1)＝2.
答案：2
5．(2014·课标全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.
答案：3

一点注意
分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．
两个结论
1．若f(x)定义域不关于原点对称，则f(x)不具有奇偶性．
2．若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期．
两个性质
1．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
2．若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．
三种方法
判断函数的奇偶性，一般有三种方法：1.定义法；2.图象法；3.性质法．

一、选择题
1．(2015·北京卷)下列函数中为偶函数的(　　)
A．y＝x2sin x　　　　　　B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：因为y＝x2是偶函数，y＝sin x是奇函数，y＝cos x是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数的定义域为(0，＋∞)，故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y＝，是非奇非偶函数．
答案：B
2．函数y＝log2的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
解析：由＞0得－1＜x＜1，
即函数定义域为(－1，1)，
又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，
∴函数y＝log2为奇函数．
答案：A
3．函数f(x)＝lg|sin x|是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
解析：易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝f(x)所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．
答案：C
4．(2016·河北五校联考)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，f(x)＝，则f()＝(　　)
A．0　　　　B．1 C.　　　　D．－1
解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以
f()＝f(－＋3)＝f(－)＝4×(－)2－2＝－1.
答案：D
5．(2016·石家庄一模)已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＋f(4)＝(　　)
A．－＋2 B．1
C．3 D.＋2
解析：因为f(－)＝f()＝2sin＝，f(4)＝log24＝2，所以f(－)＋f(4)＝＋2.
答案：D
6．(2014·山东卷)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
解析：由f(x)＝f(2a－x)知f(x)的图象关于x＝a对称，且a≠0，A，C中两函数图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中当a＝kπ－1(k∈Z)时，x＝a都是y＝cos(x＋1)的图象的对称轴．
答案：D
二、填空题
7．函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．
解析：由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.
答案：－1
8．(2016·浙江杭州七校联考)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．
解析：∵由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，
∴f(2)＝0.
∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(2)－f(3)＝1.
答案：1

三、解答题
10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
11．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：
f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示．

当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.

函数的概念与性质

函数是中学数学的核心概念，函数的概念与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查．备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强数形结合思想、分类讨论思想．函数与方程思想的应用意识．

强化点1　函数的定义域与解析式
　　 (1)(2015·湖北卷)函数f(x)＝＋lg 的定义域为(　　)
A．(2，3)　　　　　　　B．(2，4]
C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]
(2)(2014·湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：(1)法一　当x＝3和x＝5时，函数均没有意义，故可以排除选项B，D；当x＝4时，函数有意义，可排除选项A，故选C.
法二　由得故函数定义域为(2，3)∪(3，4]，故选C.
(2)法一　∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1.
法二　令f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，显然符合题意，
∴f(1)＋g(1)＝12＋1－13＝1.
答案：(1)C　(2)C

1．本例(1)考查了函数定义域的求法，绝对值不等式和分式不等式的求解，注重考查运算求解能力，在利用数轴求交集时，考查了数形结合思想的应用．
2．在求解(2)时，巧妙地沟通未知与已知的内在联系，先求出f(x)＋g(x)的表达式，进而求出f(1)＋g(1)的值，解法简捷明快．
　【变式训练】　(2016·武汉一模)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围是________．
解析：由题意知2x2＋2ax－a－1≥0恒成立，
∴x2＋2ax－a≥0恒成立，
∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.
答案：[－1，0]
强化点2　函数的值域与最值
　　 (2015·浙江卷)已知函数f(x)＝
则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
解析：∵ f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴ f(f(－3))＝f(1)＝1＋2－3＝0.
当x≥1时，x＋－3≥2 －3＝2－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，
此时f(x)min＝2－3<0；
z当x<1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为2－3.
答案：0　2－3

本题运用分段函数问题分段求解的方法，体现了分类讨论思想的应用．
　【变式训练】　(2016·唐山一中月考)已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m则为(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵－2≤x≤2，y2＝4＋2，
∴当x＝0时，M＝2，当x＝±2时，m＝2.
∴＝＝.
答案：B
强化点3　函数性质的综合应用(多维探究)
高考常将函数的单调性、奇偶性、周期性综合考查，常见的命题角度有：
(1)单调性与奇偶性渗透；(2)周期性与奇偶性交汇；(3)单调性、奇偶性、周期性综合交汇命题．
角度一　单调性与奇偶性交汇
1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)
A．[1，2] B.
C. D．(0，2]
解析：∵f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.
∵f(x)是偶函数，
∴f(log2a)≤f(－1)．
又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.
综上可知≤a≤2.
答案：C
角度二　奇偶性与周期性的应用
2．(2014·安徽卷)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝
则f＋f＝________．
解析：由于函数f(x)是周期为4的奇函数，
所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f
＝－＋sin ＝.
答案：
角度三　单调性、奇偶性与周期性综合交汇
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析：∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，
且满足f(x－4)＝－f(x)，
得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
∴f(x)在区间[－2，2]上是增函数，
∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
答案：D

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
　【变式训练】　(2017·吉林长春质检)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________．
解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，
解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)

一、选择题
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．{x|0＜x＜2}
B．{x|0＜x＜1或1＜x＜2}
C．{x|0＜x≤2}
D．{x|0＜x＜1或1＜x≤2}
解析：要使函数有意义只需解得0＜x＜1或1＜x≤2，所以函数y＝的定义域为{x|0＜x＜1或1＜x≤2}．
答案：D
2．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)
A.　　　　　　　　B.
C．2 D．4
解析：当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，所以a＝，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，loga2＝－1，所以a＝.
答案：B
3．(2016·昆明统考)下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2|x|
C．f(x)＝log2 D．f(x)＝sin x
解析：函数f(x)＝x2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝2|x|是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝log2是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f(x)＝sin x是奇函数，不合题意．
答案：C
4．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f()的x的取值范围是(　　)
A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
解析：由已知，得，即≤x＜.
答案：D
5．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析：因为π＞3＞2，且当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)．
又函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)，
故f(π)＞f(－3)＞f(－2)．
答案：A

二、填空题
7．若函数y＝log2(ax2＋2x＋1)的值域为R，则a的取值范围为________．
解析：设f(x)＝ax2＋2x＋1，由题意知，f(x)取遍所有的正实数．当a＝0时，f(x)＝2x＋1符合条件；当a≠0时，则，解得0＜a≤1.所以0≤a≤1.
答案：[0，1]
8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f()＝0，则不等式f(x)＞0的解集为________．
解析：由已知f(x)在R上为偶函数，且f()＝0，
∴f(x)＞0等价于f(|x|)＞f()，
又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴|x|＞，即x＞或x＜－.
答案：{x|x＞或x＜－}
9．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 015)的值为________．
解析：g(－x)＝f(－x－1)，由f(x)，g(x)分别是偶函数与奇函数，得g(x)＝－f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，则
f(2 015)＝f(504×4－1)＝f(－1)＝g(0)＝0.
答案：0
三、解答题
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．
11．(2017·广州一模)已知函数f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|.
(1)若f(1)＜3，求实数a的取值范围；
(2)若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2.
解：(1)因为f(1)＜3，所以|a|＋|1－2a|＜3，①
当a≤0时，得－a＋(1－2a)＜3，解得a＞－，
所以－＜a≤0，②
当0＜a＜时，得a＋(1－2a)＜3，解得a＞－2，
所以0＜a＜.③
当a≥时，得a－(1－2a)＜3，解得a＜，
所以≤a＜，
综上所述，实数a的取值范围为.
(2)因为a≥1，x∈R，所以f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|≥|(x＋a－1)－(x－2a)|＝|3a－1|＝3a－1≥2.