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第六节 函数的奇偶性及周期性
一、函数的奇偶性
奇偶性
定　义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称

二、周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
课前检测
1．下列函数为偶函数的是(　　)
A．y＝sin x　　　　　　　　 B．y＝x3
C．y＝ex D．y＝ln
解析：选D　四个选项中的函数的定义域都是R.y＝sin x为奇函数．幂函数y＝x3也为奇函数．指数函数y＝ex为非奇非偶函数．令f(x)＝ln ，得f(－x)＝ln ＝ln ＝f(x)．所以y＝ln为偶函数．
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选B　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，∴a＋b＝.
3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B　∵f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)，
∴f(0)＝0，T＝4.
∴f(8)＝f(0)＝0.
4．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0，对于x∈R恒成立，故a＝0.
法二：由f(－1)＝f(1)，
得|a－1|＝|a＋1|，故a＝0.
答案：0
5．设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
解析：观察可知，y＝x3cos x为奇函数，且f(a)＝a3cos a＋1＝11，故a3cos a＝10.则f(－a)＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.
答案：－9

　 1.奇、偶函数的有关性质：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；
(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；
(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；
(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．
2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．

一、函数奇偶性的判断
[例1]　设Q为有理数集，函数f(x)＝g(x)＝，则函数h(x)＝f(x)·g(x)(　　)
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是偶函数也不是奇函数
[自主解答]　∵当x∈Q时，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；当x∈∁RQ时，－x∈∁RQ，∴f(－x)＝f(x)＝－1.综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．∵g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴函数h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数．∴h(1)＝f(1)·g(1)＝，h(－1)＝f(－1)·g(－1)＝1×＝，h(－1)≠h(1)，∴函数h(x)不是偶函数．
[答案]　A
由题悟法
利用定义判断函数奇偶性的方法
(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；
(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．
[注意]　判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

以题试法
1．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝3x－3－x；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解：(1)∵由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)∵由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
二、函数奇偶性的应用
[例2]　(1)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
(2)设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为(　　)
A．(－2,0)∪(2，＋∞)　　　　 B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
[自主解答]　(1)∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，∴当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，
得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
(2)∵f(x)为偶函数，
∴＝>0.
∴xf(x)>0.
∴或
又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
故x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．
[答案]　(1)－1　(2)B
本例(2)的条件不变，若n≥2且n∈N*，试比较f(－n)，f(1－n)，f(n－1)，f(n＋1)的大小．
解：∵f(x)为偶函数，所以f(－n)＝f(n)，
f(1－n)＝f(n－1)．
又∵函数y＝f(x)在(0，＋∞)为减函数，且0<n－1<n<n＋1，
∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)．
∴f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)＝f(1－n)．

由题悟法
函数奇偶性的应用
(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．
利用奇偶性构造关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．
(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．
常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．
(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
以题试法
2．(1)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
(2)已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)>f(2a)，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)当x<0时，则－x>0，所以f(x)＝x2＋x，f(－x)＝ax2－bx，而f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx，
所以a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.
(2)因为f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a，解得－3<a<1.
答案：(1)0　(2)(－3,1)
三、函数的周期性及其应用
[例3]设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f＝________.
[自主解答]　依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，则f＝f＝f＝＋1＝.
[答案]　
由题悟法
1．周期性常用的结论：
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.
2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．
以题试法
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．

课堂练习
1．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是(　　)
A．y＝－x3　　　　　　　　　　 B．y＝sin x
C．y＝x D．y＝x
答案：A
2．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选A　由题意得f＝－f＝－f＝－f＝－＝－.
3．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：选C　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
4．已知函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a≠0)，h(x)＝则f(x)，h(x)的奇偶性依次为(　　)
A．偶函数，奇函数 B．奇函数，偶函数
C．偶函数，偶函数 D．奇函数，奇函数
解析：选D　f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
画出h(x)的图象可观察到它关于原点对称或当x>0时，－x<0，则h(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－h(x)，当x<0时－x>0，则h(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－h(x)．
x＝0时，h(0)＝0，故h(x)为奇函数．
5．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m(m为常数)，则f(－1)的值为(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：选A　函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1.
则f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝21＋2×1－1＝3，f(－1)＝－f(1)＝－3.
6．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)
A. B. C. D．1
解析：选A　∵f(x)＝是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，
∴＝－，
∴a＋1＝3(1－a)，解得a＝.
7．已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，f(x)＝________.
解析：x>0，－x<0，f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，故x>0时，f(x)＝x2－x.
答案：x2－x
8.定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f(x)>x的解集为________．
解析：
依题意，画出y＝f(x)与y＝x的图象，如图所示，注意到y＝f(x)的图象与直线y＝x的交点坐标是和，结合图象可知，f(x)>x的解集为∪.
答案：∪
9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2 011)＝________.
解析：f(2 011)＝f(3×670＋1)
＝f(1)＝－f(－1)
＝－log2(3＋1)＝－2.
答案：－2
10．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，
f(－x)＝f(x)，函数是偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，
这时f(x)＝x2＋.
任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1＋x2)(x1－x2)＋
＝(x1－x2).
由于x1≥2，x2≥2，且x1<x2.
故x1－x2<0，x1＋x2>，
所以f(x1)<f(x2)，
故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．
解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f(x＋1)＝f(1－x)，
即有f(－x)＝f(x＋2)．
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
故有f(－x)＝－f(x)．
故f(x＋2)＝－f(x)．
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数．
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.
x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，
f(x)＝－f(－x)＝－，又f(0)＝0，
故x∈[－1,0]时， f(x)＝－.
x∈[－5，－4]，x＋4∈[－1,0]，
f(x)＝f(x＋4)＝－.
从而，x∈[－5，－4]时，
函数f(x)＝－.
课后练习
1．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是(　　)
A．{x|－3<x<0，或x>3}
B．{x|x<－3，或0<x<3}
C．{x|x<－3，或x>3}
D．{x|－3<x<0，或0<x<3}
解析：选D　由x·f(x)<0，
得或
而f(－3)＝0，f(3)＝0，
即或
所以x·f(x)<0的解集是{x|－3<x<0，或0<x<3}．
2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1,3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，故b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
答案：－10
3．已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1，如果对于0<x<y，都有f(x)>f(y)，
(1)求f(1)；
(2)解不等式f(－x)＋f(3－x)≥－2.
解：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0.
(2)f(－x)＋f(3－x)≥－2f，
f(－x)＋f＋f(3－x)＋f≥0＝f(1)，f＋f≥f(1)，
f≥f(1)，
则解得－1≤x<0.
故不等式的解集为[－1,0)．
能力提升
1．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________．
解析：在f(x)－g(x)＝x中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
2．关于y＝f(x)，给出下列五个命题：
①若f(－1＋x)＝f(1＋x)，则y＝f(x)是周期函数；
②若f(1－x)＝－f(1＋x)，则y＝f(x)为奇函数；
③若函数y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则y＝f(x)为偶函数；
④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称；
⑤若f(1－x)＝f(1＋x)，则y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．
填写所有正确命题的序号________．
解析：由f(－1＋x)＝f(1＋x)可知，函数周期为2，①正确；由f(1－x)＝－f(1＋x)可知，y＝f(x)的对称中心为(1,0)，②错；y＝f(x－1)向左平移1个单位得y＝f(x)，故y＝f(x)关于y轴对称，③正确；两个函数对称时，令1＋x＝1－x得x＝0，故应关于y轴对称，④错；由f(1－x)＝f(1＋x)得y＝f(x)关于x＝1对称，⑤错，故正确的应是①③.
答案：①③
3．已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈上恒成立，求实数a的取值范围．
解：由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则在(－∞，0]上为减函数，由f(ax＋1)≤f(x－2)，则|ax＋1|≤|x－2|，又x∈，故|x－2|＝2－x，
即x－2≤ax＋1≤2－x.故x－3≤ax≤1－x,1－≤a≤－1，在上恒成立．
由于min＝0，max＝－2，故－2≤a≤0.