限时集训(七)-函数的奇偶性与周期性.doc

限时集训(七)　函数的奇偶性与周期性

(限时：60分钟　满分：110分)

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(2012·陕西高考)下列函数中，①y＝x＋1；②y＝－x3；③y＝；④y＝x|x|.既是奇函数又是增函数的有________(填序号)．
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则ab＝________.
3．(2013·扬州期中)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.
4．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为________．
5．(2012·临沂模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)，且f(－1)＝2，则f(2 013)＝________.
6．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
7．(2012·扬州调研)已知命题p1：函数y＝ln(x＋)是奇函数，p2：函数y＝x为偶函数，则下列四个命题：①p1∨p2；②p1∧p2；③(綈p1)∨p2；④p1∧(綈p2)中是真命题的有________(填序号)．
8．(2012·徐州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝，则a的取值范围是________．
9．(2012·苏州调研)已知函数f(x)＝(a，b，c∈R，a>0)是奇函数，若f(x)的最小值为－，且f(1)>，则b的取值范围是________．
10．(2012·南通二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|.给出下列不等式：
①f<f；②f(sin 1)>f(cos 1)；
③f<f；④f(cos 2)>f(sin 2)．
其中正确的是________(用序号表示)．
二、解答题(本大题共4小题，共60分)
11．(满分14分)判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝·；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝

12．(满分14分)(2013·盐城期中)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．

13．(满分16分)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．

14．(满分16分)(2011·镇江调研)定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)＝f(x－2k)(k∈Z)，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；
(2)证明f(x)在(0,1)上是减函数；
(3)当m取何值时，方程f(x)＝m在(0,1)上有解？

答案

[限时集训(七)]
1．解析：由函数的奇偶性排除①，由函数的单调性排除②、③，由y＝x|x|的图象可知当x≥0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．
答案：④
2．解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
答案：　0
3．解析：由于函数f(x)的周期为5，
所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)．
又f(x)为R上的奇函数，
则f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝
－2＋1＝－1.
答案：－1
4．解析：∵f(x)为偶函数，∴＝>0，
∴xf(x)>0，
∴或又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)∪(0,2)
5．解析：在f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)中，
令x＝－2，
得f(2)＝f(－2)＋2f(2)．
即f(2)＝f(2)＋2f(2)，
故f(2)＝0.则f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．又2 013＝4×503＋1，因此f(2 013)＝f(1)＝f(－1)＝2.
答案：2
6．解析：由于f(x)是偶函数，故当x<0时，f(x)＝2－x－4，
当x－2<0时，由f(x－2)＝2－(x－2)－4>0，解得x<0；
当x－2≥0时，由f(x－2)＝2x－2－4>0，解得x>4.
综上可知不等式解集为{x|x<0，或x>4}．
答案：{x|x<0，或x>4}
7．解析：对于y＝ln(x＋)，因为f(－x)＋f(x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，故此函数是奇函数，命题p1正确；因为y＝x＝的定义域为R＋，故此函数不是偶函数，命题p2错误，根据真值表可知①④为真命题．
答案：①④
8．解析：∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝>－1.即>0，解得a>0或a<－1.
答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)
9．解析：显然函数f(x)的定义域为R.又函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，故c＝0，从而f(x)＝，由f(1)＝>，a>0，得b>0.由f(x)＝，得当ax＝，即x＝±时，原函数有最值，从而－＝－，即a＝b2，于是>，化简得2b2－5b＋2<0，解得<b<2.
答案：
10．解析：当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]．从而f(x)＝f(x＋4)＝2－|x|，因sin <cos ，所以f>f；因sin 1 >cos 1，所以f(sin 1)<f(cos 1)；因<，所以f>
f；因|cos 2|<|sin 2|，
所以f(cos 2)>f(sin 2)，综上所述，正确的是④.
答案：④
11．解：(1)由得x＝±1，
∴f(x)＝0，又它的定义域关于原点对称，f(x)＝f(－x)＝－f(x)＝0，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由得x>0，函数f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－ x<0，f(x)＝x2＋x＋1，f(－x)＝(－x)2－(－x)＋1＝x2＋x＋1＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(x)＝x2－x＋1，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＋1＝x2－x＋1＝f(x)．∴函数f(x)为偶函数．
12．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．
故f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)设2≤x1< x2，
f(x1)－f(x2)＝x＋－x－
＝ [x1x2(x1＋x2)－a]，
要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，
∵x1－x2<0，∴x1x2(x1＋x2)－a>0，
即x1x2(x1＋x2)>a恒成立．
又∵x1＋x2>4，x1x2>4，
∴x1x2(x1＋x2)>16.
∴a的取值范围是(－∞，16]．
13.解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)
＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝
－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝
f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则－1≤x≤0时f(x)＝x，则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
(3)函数f(x)的单调递增区间为
[4k－1,4k＋1](k∈Z)，
单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．
14．解：(1)设－1<x<0，则0<－x<1，
∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝＝＝－f(x)，
即f(x)＝－，x∈(－1,0)．
又f(x)为奇函数，∴f(0)＝－f(0)，从而f(0)＝0；
又f(x)＝f(x－2k)，k∈Z，∴f(1)＝f(－1)．
而f(－1)＝－f(1)，从而f(1)＝0，
且f(－1)＝0.
综上所述，f(x)＝
(2)证明：设0<x1<x2<1，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝，
∵0<x1<x2<1.
∴2x1<2x2，2x1＋x2>1,4x1＋1>0，
4x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
从而f(x)在(0,1)上是减函数．
(3)由(2)可知f(x)在(0,1)上单调递减，
∴要使方程f(x)＝m在(0,1)上有解，需<m<，
故m∈.