抽象函数奇偶性对称性周期性.doc

严守俊 2163558 13529652696 《函数的奇偶性周期性对称性》第 12 页 共 12 页
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:
。把个单位即按向量在其他周期的图像：。

2、奇偶函数：
设
①若
②若。

3、函数的对称性：
（1）中心对称即点对称：
①点
②
③
④
⑤
⑥记住对称中心为：（0，0）、、的函数
的特征。

（2）轴对称：对称轴方程为：。
①关于直线
②函数关于直线
成轴对称。
③关于直线
成轴对称。
④记住对称轴为：Y轴（X=0）、X轴（y=0）、直线、直线、直线的函数
的特征。

二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数图象本身的对称性（自身对称）
若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、 图象关于直线对称
推论1： 的图象关于直线对称
推论2、 的图象关于直线对称
推论3、 的图象关于直线对称
2、 的图象关于点对称
推论1、 的图象关于点对称
推论2、 的图象关于点对称
推论3、 的图象关于点对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数与图象关于Y轴对称
2、奇函数与图象关于原点对称函数
3、函数与图象关于X轴对称
4、互为反函数与函数图象关于直线对称
5.函数与图象关于直线对称
推论1:函数与图象关于直线对称
推论2:函数与 图象关于直线对称
推论3:函数与图象关于直线对称

（三）抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性

性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)
性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。

2、复合函数的奇偶性
定义1、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。
定义2、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。
说明：
（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)
（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）

3、复合函数的对称性
性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称
性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称
推论1、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称
推论2、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称

4、函数的周期性
若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)
③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)
5、函数的对称性与周期性
性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|
6、函数对称性的应用
（1）若,即

（2）例题
1、;

2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：。
3、若的图像关于直线对称。设
.

（四）常用函数的对称性
1、分段函数的奇偶性

①奇函数：
②偶函数：

2、(1)的周期;对称中心;
对称轴方程.
(2)的周期;对称中心+;
对称轴方程.
(3)的周期;对称中心;
3、（1）的对称中心为（h,k）,对称轴为x=h及y=k。
（2）的对称轴为y=k;
的对称轴为x=h;

三、函数周期性的几个重要结论
1、( ) 的周期为，()也是函数的周期
2、 的周期为
3、 的周期为
4、 的周期为
5、 的周期为
6、 的周期为
7、 的周期为
8、 的周期为
9、 的周期为
10、若
11、有两条对称轴和 周期
推论：偶函数满足 周期
12、有两个对称中心和 周期
推论：奇函数满足 周期
13、有一条对称轴和一个对称中心的

四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例1.（1996年高考题）设是上的奇函数，当时，，则等于（-0.5）
（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.
例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。
2、比较函数值大小
例3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小.
解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且，
3、求函数解析式
例4.（1989年高考题）设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.
解：设
时，有
是以2 为周期的函数，.
例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.
解：当，即，

又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，

4、判断函数奇偶性
例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，
判断函数的奇偶性.
解：由的周期为4，得，由得
，故为偶函数.
5、确定函数图象与轴交点的个数
例7.设函数对任意实数满足，
判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得
是以10为周期的函数.在一个周期区间上，

故图象与轴至少有2个交点.
而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.
6、在数列中的应用
例8.在数列中，，求数列的通项公式，并计算
，由得总项数为500项，

7、在二项式中的应用
例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？
分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.
解：

因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，
故天为星期四.
8、复数中的应用
例10.（上海市1994年高考题）设，则满足等式且大于1的正整数中最小的是
（A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7.
分析：运用方幂的周期性求值即可.
解：，

9、解“立几”题
例11.ABCD—是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是
（A）1； （B）；（C） ； （D）0.
解：依条件列出白蚁的路线
立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.
1990=6，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在点，白蚁在C点，故所求距离是
例题与应用
例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值
例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2
例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式
例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.

例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数
例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.
例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，
求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？
解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10
故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0
即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根
又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，
因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+=401个根.
例8、 函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ）
A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称
C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称
解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于
点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）
例9、 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）
例10、 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题）
例11、 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ）
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
例12、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝
　　f(6－x)的图象（  ）。
　　　A．关于直线x＝5对称   　   B．关于直线x＝1对称
　　　C．关于点（5，0）对称   　  D．关于点（1，0）对称
例13、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，
　　f(x)＝x，则f(7.5)=（   ）。
　　A．0.5         B．－0.5         C．1.5           D．－1.5
例14、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，
　　f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（   ）。
　　A．偶函数，又是周期函数     B．偶函数，但不是周期函数
　　C．奇函数，又是周期函数     D．奇函数，但不是周期函数
例15、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。
参考答案：D，B，C，T＝2。
例16、在数列求=-1．
例17、已知f（x）是定义在实数集上的函数且满足：f（x+2）[1-f（x）]=
1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。
例18、设偶函数满足，则
(A) (B)
(C) (D)
例19、若数列满足，若，则的值为___________。
例20、已知数列满足，则= （ ）
例21. f(x) 是R上的奇函数f(x)=- f(x+3) ,x∈[0,3/2]时f(x)=x,则f(2003)
例22. f(x)是R上的偶函数,f(1-x )=f(x+1),x∈[-1,0]时f(x)=Log0.5(-x)则f(2003)
例23. f(x)满足f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若f(a)=-f(2000),a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上单调。求a的值。
一组有趣的三角求值问题：
⑴cos0°+cos1°+cos2°+…+cos359°+cos360°；=0
 ⑵tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°．=1
（3）  （4） 
（5）cosαcos2αcos4α…cos2α=．  
（6）sinαsin2αsin4α…sin2α=？
（7） tanαtan2αtan4α…tan2α=？

利用不动点法求通项公式
例14 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。
评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。

例15 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则x=1是函数的不动点。
因为，所以
，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。
评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。
周期数列
　　对于数列{}，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列{}是从第项起的周期为T的周期数列。若，则称数列{}为纯周期数列，若，则称数列{}为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。
周期数列主要有以下性质：
（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；
（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；
（3）如果T是数列{}的周期，则对于任意的，也是数列{}的周期；
（4）如果T是数列{}的最小正周期，M是数列{}的任一周期，则必有T|M，即M=（）；
几种常见类型的周期数列：
一、 形如
证明：，数列是周期为3的数列
例1.已知数列中，，则能使的的数值是（　C　）（A）　14　（B）15　（C）　　16　（D）17
二、形如
数列是周期为3的数列
例2、已知数列满足，则1002
三、形如
证明： ，，数列是周期为6的数列。
已知数列满足，，，记则下列结论正确的是（　A　）（A），（B），
（C），（D），
四、形如
证明：，数列是周期为4的数列。
例4、数列满足，，则　　　　　
五、形如（等和数列）
证明：，数列是周期为2的数列
例5、在数列中，，，设为数列的前项和，则
　　（　A　）（A）　（B）　（C）3　（D

四阶幻方--灵敏巧慧的数学情诗
    诗歌使人巧慧，数学使人灵敏。在艺术中，与数学最接近的就是诗歌了。许多数学家认为，不能在心灵上作为一个诗人就不能成为一位数学家。九宫图是一首迷人的诗，那么四阶幻方也是一首完美的诗，一首震憾人们心灵的诗。四阶完美幻方共有三类。它所具有的幻性是十分丰富的，其分布规律，其结构关系，表现出惊人的和谐对称性，及整齐一律的美，并蕴含深奥的哲理思想。在我们的心灵中四阶完美幻方就是一首有严格韵律的四句诗，它激起了我们想象空间的升华，我们用它的数字结构进行诗歌艺术的创作，所创作成的每首诗歌，宛如新生的绿树，盛开着文学艺术和数学理趣的并蒂花。

九宫图8种变式配八首诗歌
①鸟语花香 
           四季九花二重开，三杨五柳七处栽。 
        八哥一唱六鸟应，九宫奇境仙人来。
②英雄奇才
八方三才游四海，一将五战胜九怪。 
        六女七拜杨二郎，九宫奇才谁不爱。 
③哥妹团圆
        二探七哥六妹愁，九望五峰一路陡。 
        四河三桥八停留，半月十五才到头。 
④预测大师
        六路七星二神通，一算五行九宫明。 
        八卦三爻四象生，天地人间事事语。 
  ⑤流行《九妹》
        二唱九妹四座惊，七颜五色三面捧。 
        六女一转八来风，唱遍祖国处处春。 
⑥数字之美
        点六一八黄金比，数七五三差等级。 
        二数除九余加四。十全十美真有趣。 
⑦读书人生
        八科一生学六回，三书五经读七春。 
        四年九创书二本，读书人生奏强音。 
  ⑧纪念领袖
        四祝三八妇女节，九庆五一劳动节。 
        二节逢上七六年，痛失领袖哭岁月。 
     四阶完美幻方 
     1．别离情 
          四哥探望十四姐， 七转石岭九道砭。 
        十五月亮一夜圆， 十二月逢六天面。 
        十诉别情八回怨， 十三云月三重天。
五作别诗十一首， 两地相望十六年。 
     {注解}：此诗所用数字构成一个四阶完美幻方，其四行四列及八条泛对角线所含四数之和都等于34。而且每一正方形，每一等腰梯形（如14，7，10，3）。每一平行四边形（如4，15，13，2）上的四个角，所含四数之和均为34。每一交*十字点上，画一个“X”向四边沿伸使其各有两个数字，那么每组两数之差均相等，如15-8=9-2=11-4=13-6=7，这种性质称为河图特性。

第一类四阶完美幻方
    这首《别离情》诗，惟妙惟肖地描述了四哥与十四姐的别离后的思念之情。他们每年只有六天见面时间，每逢一次总要穿山越岭，有一个艰难的旅程。离愁别恨，望着浓浓的云月，触发思念情绪，作诗感叹，就这样两地相望已十六年了。此诗不仅能够将和谐美妙的数字巧妙地砌入诗中，而且又能真切地表达别离思情，为人们留下了文理共赏的绝妙好词。 
      2．少年学艺
        六面围墙九米高，四季苦练十五招， 
        三更始练十六套，五转飞空十分妙。 
        十三少年两手高，十一寻师八方找， 
        十二学艺七师教，十四内藏一身宝。 
      {注解}：此诗所用数字构成第二类四阶完美幻方，其性质与第一类相同。这里描写了一个少年学艺的过程，他11岁就八方云游寻找师父，12岁就有七位老师给他教功夫，13岁就有两手高招。他每天三更开始苦练各种套路招式，一年四季，住在九米高的围墙中天天如此，到14岁已身藏绝技很了不起了。此诗巧妙地将幻方中11—14各数字，用作少年成长的过程。一个志高的少年被表现的活灵活现，算是一首千古绝唱的诗了。 
      3．山湖园林景色秀 
        四方园林五桥连，十六叠峰九重天。 
        十五长廊十里街，三岸杨柳翠六砭。 
        一湖山色八洞险，十三楼阁十二殿。 
        十四花坛十一色，二重观光时七月， 
      {注解}：此诗所用数字构成第三类四阶完美幻方。其性质也与第一类相同。这首诗描写了一个山湖园林的景色。重峦叠峰中，五桥连着四方的园林，街头长廊，杨柳翠砭，湖中山色映出八个险洞，十分壮观迷人，楼阁宫殿，花坛草坪，分布在湖岸边上，一个美妙秀丽的景色历历在目，时值七月，正是景色最秀丽的时候，这是作者第二次到这里观光了。