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解斜三角形
一、基本知识
1. 正弦定理
（是△外接圆半径）
2.余弦定理

3.
（是△内接圆半径）
4. 重要结论
（1）

（2）

（3）

5. 考题分类
题型一: 求解斜三角形中的基本元素
题型二：判断三角形的形状
题型三：解决与面积有关问题
题型四：三角形中求值问题
题型五：实际应用

二、例题解析
【例1】已知△中，外接圆半径为，求角。
分析： 由得

由于，，代入并整理，得

所以，
所以，。

【例2】设的内角所对的边分别为，已知
（Ⅰ）求的周长
（Ⅱ）求的值
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力
解析：（Ⅰ）∵
∴
∴的周长为.
（Ⅱ）∵，∴，
∴
∵，∴,故为锐角，
∴
∴.
【例3】在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若边的长为，求边的长
解：（Ⅰ），
．
又，．
（Ⅱ）由且，
得．，．
例4 根据下列条件判断三角形ABC的形状：
(1)若；(2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;
解（1）由已知及正弦定理得
(2RsinA)2 = (2RsinB)2
2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B
2cos(A + B)sin(A – B)=0
∴ A + B=90o 或 A – B=0
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
解（1）由正弦定理得
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC
∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,
故△ABC是直角三角形.

【例5】如图，海中小岛周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在处测得小岛在船的南偏东30º；航行30海里后，在处测得小岛在船的南偏东60º。如果此船不改变航行方向，继续向前行驶，有无触礁危险。
【解】过作于，由正弦定理易求得
（海里）（海里），所以继续航行没有触礁的危险。

【例6】已知圆内接四边形的边长，求四边形的面积。
【解】连结，则有四边形的面积

∵
∴
∴

由余弦定理，在△中，得

在△中，

∴
∵
∴
∴

∴
解斜三角形训练题
一、选择题
1. 在中，已知，则角为（ C ）
A. B C. D. 或
2. 三角形三边长分别为，且满足关系，则的对角是（C. ）
A B. C. D.

3. （15年广东文科）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．

4.的内角的对边分别为，若，则（ B ）
A. B C. D.
解： 因为 ，由余弦定理得，

5. 在△中，，给出下面四个结论：
①； ②；
③； ④
其中正确的是（ B. ）
A ①③ B. ②④ C. ①④ D②③
6. 已知三角形的三边之比是，则最大角与最小角之和为（ B）
A B. C. D
7. [2014·江西七校联考] 在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等边三角形
B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
解：D　[解析] 由题意得，1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cos Asin B，又sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B，
所以sin Acos B＋cos Asin B＝1，即sin(A＋B)＝1，所以A＋B＝，故△ABC一定为直角三角形．
8 在△中，，则△是（D. ）
A 等腰三角形 B.等腰直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知tanB= tanC=,则tanC等于
A . 1 B. C. 2 D.

二、填空题
1．中,已知边的中线为7，则的面积是
2 在△中，若面积则的度数为_________。
由，得

所以，
得，
3. 在△中，若，则_____1____。
由，得

4. 在△中，，则的度数为_________。（可得）
5．如图，在四边形中，，则 ， 。
简解：由正弦定理，得

于是，
再由正弦定理，得
，得
。
在中,，应用余弦定理，得

所以，
6 在△中，，则_________。
7 在△中，若，则△的形状是__等腰三角形____。
8.在中，，则的大小是（ ）
A. B C. D.

三、解答题
1．在△ABC中，已知，，B=45° 求A、C及c
解：由正弦定理得：
∵B=45°<90° 即b<a ∴A=60°或120°
当A=60°时C=75°
当A=120°时C=15°
2. 一海轮以20海里/小时的速度向东航行，它在点时测得灯塔在船的北60º东，
2小时后到达点时测得灯塔在船的北45º东，求：
（1）船在点时与灯塔的距离；
（2）已知以点为圆心，55海里为半径的水域内有暗礁，那么这船继续向正东航行，有
无触礁为危险？

3 辽宁08）在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
4 中，，． 黑龙江2008
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求的面积．
解：
（Ⅰ）由，得，
由，得．
所以．
（Ⅱ）由正弦定理得
所以的面积．10分
（2008重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求：
（Ⅰ）A的大小;
（Ⅱ）的值.
解：(Ⅰ)由余弦定理，

(Ⅱ)

5. （江西17）（本小题满分12分）
在中，角、、的对边分别是，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，求边的值.
【解析】（1）由已知得，即
，由得
即，两边平方得：
（2）由知，则，即，则由得
由余弦定理得，所以.

．

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