全国通用版高中数学第七章复数真题.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第七章复数真题全国通用版高中数学第七章复数真题 单选题 1、设(1+i)=1+i，其中为虚数单位，,是实数，则|+|=（）A1B2C3D2 答案：B 分析：先利用复数相等求得x，y，再利用复数的模公式求解.因为(1+i)=1+i，所以=1=，解得=1=1，所以|+i|=2+2=2.故选：B.2、(2+2i)(1 2i)=（）A2+4iB2 4iC6+2iD6 2i 答案：D 分析：利用复数的乘法可求(2+2i)(1 2i).(2+2i)(1 2i)=2+4 4i+2i=6 2i，故选：D.3、已知i为虚数单位，则i+i2+i3+i2021=（）AiBiC1D-1 答案：A 分析：根据虚数的运算性质，得到i4+i4+1+i4+2+i4+3=0，得到i+i2+i3+i2021=i2021，即可求解.根据虚数的性质知i4+i4+1+i4+2+i4+3=1+i 1 i=0，所以i+i2+i3+i2021=505 0+i2021=.故选：A.4、已知,，1+i+1i=1，则+2=（）A3B3C2D1 答案：A 分析：等式两边同乘(1+i)(1 i)，整理化简后利用复数相等的条件可求得+2的值 因为1+i+1i=1，所以(1 i)+(1+i)=(1+i)(1 i)=1 i2=2 即(+)+()i=2 所以+=2 =0 解得=1=1 ，所以+2=3 故选：A 5、已知正三角形ABC的边长为 4，点P在边BC上，则 的最小值为（）A2B1C2D1 答案：D 分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|=，0,4 因为=，所以 =2 =|2 2|=2 2=(1)2 1 1.故选：D 6、已知=(+3)+(1)i()在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（）A22,4)B2,4C(22,4)D(2,4)答案：A 分析：根据=(+3)+(1)i()在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.解：因为=(+3)+(1)i()在复平面内对应的点在第四象限，所以+3 0 1 0，解得3 1，|=(+3)2+(1)2=22+4+10=2(+1)2+8，因为3 1，所以(+1)2 0,2)，则2(+1)2+8 22,4)，所以复数z的模的取值范围是22,4).故选：A.7、在复平面内，把复数3 3i对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是()A23B23iC3 3iD3+3i 答案：B 分析：由题意知复数3 3对应的向量按顺时针方向旋转3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果 解：由题意知复数3 3i对应的向量按顺时针方向旋转3，旋转后的向量为(3 3i)cos(3)+isin(3)=(3 3i)(123i2)=3233i23i2+3i22=23i 故选：B 8、设2(+)+3()=4+6，则=（）A1 2B1+2C1+D1 答案：C 分析：设=+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.设=+，则=，则2(+)+3()=4+6=4+6，所以，4=46=6，解得=1，因此，=1+.故选：C.9、若复数满足(1 2i)=5，则（）A=1 2i B+1是纯虚数 C复数在复平面内对应的点在第二象限 D若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则cos=55 答案：D 分析：利用复数的除法求复数及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.由题设，=512i=1+2i且对应点在第一象限，A、C 错误；+1=2+2i不是纯虚数，B 错误；由在复平面内对应的点为(1,2)，所以cos=55，D 正确.故选：D 10、复数(cos2+isin3)(cos+isin)的模为 1，其中i为虚数单位，0,2，则这样的一共有（）个.A9B10C11D无数 答案：C 分析：先根据复数(cos2+isin3)(cos+isin)的模为 1 及复数模的运算公式，求得cos22+sin23=1即cos22=cos23，接下来分cos2=cos3与cos2=cos3两种情况进行求解，结合 0,2，求出的个数.|(cos2+isin3)(cos+isin)|=|cos2+isin3|cos+isin|=1，其中|cos+isin|=1，所以|cos2+isin3|=1，即cos22+sin23=1，cos22=1 sin23=cos23，当cos2=cos3时，2=3+21，1，所以=21，1，因为 0,2，所以=0或2；2=3+22，2，所以=225，2，因为 0,2，所以=0，25，45，65，85或2；当cos2=cos3时，2=3+(23+1)，3，即=(23+1)，3，因为 0,2，所以=，2=3+(24+1)，4，即=(24+1)5，4，因为 0,2，所以=5，35，75，95，综上：=5，=0,1,10，一共有 11 个.故选：C 11、欧拉公式=cos+sin(为自然底数，为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数2在复平面内对应点所在的象限是（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：B 分析：根据欧拉公式有2=cos2+sin2，判断cos2,sin2即可确定2对应点所在象限.由题意知：2=cos2+sin2，而2 2 ，cos2 0，故2对应点在第二象限.故选：B 12、复数 =11+(2 1)i是实数，则实数a的值为（）A1 或-1B1 C-1D0 或-1 答案：C 分析：利用复数是实数的充要条件，列式计算作答.因复数 =11+(2 1)i是实数，则 1 02 1=0，解得=1，所以实数a的值为-1.故选：C 填空题 13、设复数=+i，x，且|=|，则满足|=1的复数z共有_个 答案：4 分析：方法一(代数运算)：联立方程组求解；方法二(几何意义)：利用复数的几何意义求解 方法一(代数运算)：由|1，得221又|，联立，解得2222i，所以答案是：4 方法二(几何意义)：由|1，知复数在复平面内对应的点构成一个单位圆又|，故复数在复平面内对应的点落在直线 上，显然直线 与单位圆有四个交点，所以答案是：4 14、已知复数满足(1 i)=(1+i)2，则=_.答案：1+i#i-1 分析：利用复数的运算进行化简即可(1 i)=(1+i)2=2i，则=2i1i=2i(1+i)(1i)(1+i)=i 1，所以答案是：1+i 15、1i1+2i（其中i是虚数单位）的共轭复数为_.答案：15+35i 分析：首先根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数；解：1i1+2i=(1i)(12)(1+2i)(12)=12+225=1535 故1i1+2i（其中i是虚数单位）的共轭复数为15+35 所以答案是：15+35 16、在复平面内，设点AP所对应的复数分别为 icos(2t3)+isin(2t3)(i为虚数单位)，则当t由12连续变到4时，向量所扫过的图形区域的面积是_.答案：6 分析：当=12时，求得点P的坐标为1(32,12)，当=4时，点P的坐标为2(32,12)，向量所扫过的图形区域的面积是 12的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形12的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积.由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，)，如图：当=12时，点P的坐标为1(32,12)，当=4时，点P的坐标为2(32,12)，向量所扫过的图形区域的面积是 12的面积与弓形的面积之和.由于1，2关于实轴对称，所以 12的面积等于 12的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形12的面积.因为 12=26=3，所以扇形12的面积为等于123 12=6.所以答案是：6.小提示：关键点点睛：本题的关键点是：由“12的面积等于 12的面积”得到“向量所扫过的图形区域的面积是扇形12的面积”.17、已知复数满足条件|=1，那么|+22+|的最大值为_ 答案：4 解析：由|=1，所以复数对应的点在单位圆上，由|+22+|表示复数对应的点与复数22 对应的点(22，1)之间的距离，根据圆的性质可得答案.因为|=1，所以复数对应的点在单位圆上，|+22+|表示复数对应的点与复数22 对应的点(22，1)之间的距离，而|=8+1=3 所以|+22+|的最大值为|+=|+1=4.所以答案是：4 解答题 18、已知复数=(1i)2+3(1+i)2i.(1)求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；(2)若2+=1 i，试求实数、的值.答案：(1)复数的实部为1、虚部为1、模长为2，坐标为(1，1)(2)=3=4 分析：（1）先化简复数=1+i.直接求出实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；（2）将=1+i代入方程，利用复数相等的条件即可求解.（1）因为=(1i)2+3(1+i)2i=3+i2i=(3+i)(2+i)(2i)(2+i)=1+i.则复数的实部为1，虚部为1，模长为|=12+12=2，表示复平面上的点的坐标为(1，1).（2）将=1+i代入方程2+=1 i得：+(2+)i=1 i，+=12+=1，=3=4.19、已知z是复数，且 i和1i都是实数，其中 i 是虚数单位.（1）求复数z和|；（2）若复数+(2 3)i在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围.答案：（1）=1+i，|=2；（2）(1172,1).分析：（1）设=+i（a，），由复数的运算法则分别求出 i和1i的表达式，再根据二者都为实数进行求解即可；（2）根据复数的几何意义计算求解即可.（1）设=+i（a，），则 i=+(1)i，i为实数，1=0，即=1，1i=+i1i=(+i)(1+i)(1i)(1+i)=2+2i=12+12i，1i为实数，+1=0，即=1，则=1+i，|=(1)2+12=2；（2）由（1）得+(2 3)i=(+1)+(2 4)i，依题意得+1 02 4 0，解得1172 1，实数m的取值范围是(1172,1).20、把下列复数的三角形式化成代数形式.（1）4(cos3+isin3)；（2）3(cos54+isin54).答案：（1）2+23（2）322322i 解析：（1）分别求出cos3,sin3 再整理为+的形式.（2）分别求出cos54,sin54 再整理为+的形式.（1）4(cos3+isin3)=4cos3+(4sin3)i=4 12+(4 32)i=2+23i.（2）3(cos54+isin54)=3cos54+(3sin54)i=3 (22)+3 (22)i=322322i.小提示：本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.