全国通用版高中数学第七章复数考点突破.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第七章复数考点突破全国通用版高中数学第七章复数考点突破 单选题 1、3+13=（）A1B1CD 答案：C 解析：根据复数运算将分之分母同乘以1+3，化简即可得出答案.解：3+13=(3+)(1+3)(13)(1+3)=3+32+1010=33+1010=.故选：C.小提示：复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数 2、已知，b R，若2+()2(i为虚数单位)，则实数的取值范围是（）A 2或 1或 2C1 2D2 2，所以2+2 =0，即2+2，解得 1或 2 故选：B 3、在复平面内，O是原点向量 对应的复数为1232i，其中i为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量 对应的复数的共轭复数为（）A12+32iB1232i C12+32iD1232i 答案：C 分析：根据对称求得点的坐标，从而 求出对应的复数 由题意，得(12,32)，(12,32)，所以向量 对应的复数为1232i 所以向量 对应的复数的共轭复数为12+32i，故选：C 4、已知aR，若a1+(a2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）A1B1C2D2 答案：C 分析：根据复数为实数列式求解即可.因为(1)+(2)为实数，所以 2=0，=2，故选：C 小提示：本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.5、若=1+i则|i+3|=（）A45B42C25D22 答案：D 分析：根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出 因为=1+i，所以i+3=i(1+i)+3(1 i)=2 2i，所以|i+3|=4+4=22 故选：D.6、复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足|3|=|i|，则动点Z的轨迹为（）A直线 B线段 C两条射线 D圆 答案：A 分析：设出动点Z坐标为(,)，根据题意列出方程，求出结果.设动点Z坐标为(,)，则=+i，所以|+i 3|=|+i i|，即(3)2+2=2+(1)2，化简得：3 4=0，故动点Z的轨迹为直线.故选：A 7、若复数53i的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上（）A=2By+12 C=|D=22 1 答案：D 分析：将复数化为zabi 的形式即可求出A，将A的坐标代入选项的函数验证即可.因为53i=5(3+i)(3i)(3+i)3212i，所以a32，b12，所以A(12,32)，把点A的坐标分别代入选项，只有 D 选项满足.故选：D.8、设z=i(2+i)，则=A1+2iB1+2i C12iD12i 答案：D 分析：本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出 =(2+)=2+2=1+2，所以=1 2，选 D 小提示：本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求部分考生易出现理解性错误 9、若 z=1+i，则|z22z|=（）A0B1C2D2 答案：D 分析：由题意首先求得2 2的值，然后计算其模即可.由题意可得：2=(1+)2=2，则2 2=2 2(1+)=2.故|2 2|=|2|=2.故选：D.小提示：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.10、若复数=(1+)23+4，则|=（）A45B35C25D25 答案：C 解析：先求出=8625，再求出|得解.由题得=(1+)23+4=23+4=2(34)(3+4)(34)=8+625，所以|=(825)2+(625)2=1025=25.故选：C 11、2i1+2i=（）A1B1 CiDi 答案：D 分析：根据复数除法法则进行计算.2 1+2=(2 )(1 2)(1+2)(1 2)=55=故选：D 小提示：本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.12、设复数z满足|i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A(+1)2+2=1B(1)2+2=1C2+(1)2=1D2+(+1)2=1 答案：C 分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为 1，可选正确答案 C =+,=+(1),|=2+(1)2=1,则2+(1)2=1故选 C 小提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何法，利用方程思想解题 填空题 13、已知复数1=1+3i，2=+i（i为虚数单位），且1 2是实数，则实数=_.答案：13 分析：由共轭复数定义和复数乘法运算可求得1 2，利用实数定义可构造方程求得.1 2=(1+3i)(i)=(+3)+(3 1)i为实数，3 1=0，解得：=13.所以答案是：13.14、在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为1，2，3，(其中是原点)，已知1对应复数1=1+3i.则1和3对应的复数的乘积13=_.答案：23 2i 分析：根据1=1+3i判断点1与x轴正半轴的夹角，得到点3与x轴正半轴的夹角，即得复数3，再利用复数的乘法运算计算13即可.设3对应的复数为3，可得|3|=|1|=2，复平面上点1与x轴正半轴的夹角为3，则点3与x轴正半轴的夹角为56，所以3=2(cos56+i sin56)=3+i，所以31=(3+i)(1+3i)=23 2i.所以答案是：23 2i.15、已知复数=|34|2（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第_象限.答案：一 解析：化简得到=2+，得到复数对应象限.=|34|2=52=5(2+)(2)(2+)=2+，复数在复平面内对应的点的坐标为（2,1），故复数在复平面内对应的点位于第一象限.所以答案是：一.小提示：本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.16、已知复数=(1+3i)(1i)(1+3i)i，若=+i()，则当|2时，实数m的取值范围是_ 答案：3+1,3+1 分析：先对已知式子化简计算出复数，从而可得|，复数，代入|2中化简可得1+(1)2 4，从而可求出实数m的取值范围.=(1+3i)(1i)(1+3i)i=(2+4i)(1+3i)i=1+ii=1 i，所以|=2，=1+(1)i 由|2得|2，所以1+(1)2 4，即(1)2 3，解得3+1 3+1 所以答案是：3+1,3+1 17、(1+i1i)100=_.答案：1 分析：根据复数的除法和乘方运算规则计算即可得出结果.根据复数的运算规则知，(1+i1 i)100=(1+i)(1+i)(1 i)(1+i)100=i100=125=1 所以答案是：1.解答题 18、求 tan，使得复数=cos2+(tan2 tan 2)是：（1）实数（2）纯虚数.（3）零.答案：（1）2；（2）1；（3）-1.分析：由复数的代数形式，结合其所代表的复数类型，列方程组求tan即可.（1）由题意，tan2 tan 2=0，得tan=1或tan=2.（2）由题意，2=0tan2 2 0，得cos2=sin2(+1)(2)0，即tan2=1(+1)(2)0，解得tan=1.（3）由题意，2=0tan2 2=0，得cos2=sin2(+1)(2)=0，即tan2=1(+1)(2)=0，解得tan=1.19、一般地，任何一个复数=+i（，）都可以表示成(cos+isin)形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数=+i的辐角，(cos+isin)叫做复数=+i的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，+i（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.(1)画出复数=1 i对应的向量，并把=1 i表示成三角形式；(2)已知1=cos1+isin1，2=cos2+isin2，cos(+1+2)=35，其中1(0,2)，2(0,2).试求12（结果表示代数形式）.答案：(1)图象见解析，2(cos74+isin74)(2)35+45i 分析：（1）根据=1 i对应的点(1,1)在第四象限画出图象，求得复数的模和辅角即可；（2）根据cos(+1+2)=cos(1+2)=35，进而求得cos(1+2)，sin(1+1)，再利用复数的乘法求解.(1)因为=1 i对应的点(1,1)在第四象限，所以对应的向量如图所示.易得=12+(1)2=2，cos=12=22，sin=12=22，所以=74.所以1 i=2(cos74+isin74).(2)因为cos(+1+2)=cos(1+2)=35，所以cos(1+2)=35 0.又1(0,2)，2(0,2)，所以1+2(2,).所以sin(1+1)=1 cos2(1+1)=1 (35)2=45.所以12=(cos1+isin1)(cos2+isin2)，=(cos1cos2 sin1sin2)+(cos1sin2+sin1cos2)i，=cos(1+2)+isin(1+2)=35+45i.20、如图所示，中，=,=，2=，3=.线段,相交于点.(1)用向量 与 表示 及；(2)若=+，试求实数,的值.答案：(1)=13 ，=12 ；(2)=25，=15.分析：（1）根据向量加法、数乘、相反向量的几何意义，将、用,表示即可.（2）由题图知=+(1 )，=+(1 )，结合已知条件求得,，根据平面向量的基本定理可得,的值.(1)由题设，=+=13 =13 ，=+=12 =12 .(2)设=，=所以=+(1 )，=+(1 )且0 ,1，所以+13=+12，则=12=13，可得=25=15，所以=25+15，故=25，=15.