基于大概念的单元结构化教学思考与实践——以“三位数乘两位数”单元为例.pdf

36数学教学研究第4 2 卷第5 期2 0 2 3 年9 月基于大概念的单元结构化教学思考与实践以“三位数乘两位数”单元为例翟志宏（广东省东莞市松山湖第二小学5 2 3 0 0 0）摘要：“大概念”是一种深层次的本质概念，它能使离散的事实和技能相互联系并延伸出更深的意义，基于“大概念”视角的单元结构化设计，以整体推进的方式引发学生深度思考，对单元内或单元间的目标进行分析、梳理，通过调整、优化、丰盈单元学习内容，助力学生构建整体性、发展性的数学认知结构，形成具有高度迁移能力的数学素养.关键词：大概念；单元结构化教学；核心素养为了改变“小步子、一课一例”的碎片化教学，基于数学核心概念和学习者认知特点的单元结构化教学倍受关注，是以单元、领域、项目视角进行单元内或者单元间的纵横联结，把内容相近、结构相似的课时进行结构化备课，通过整合、重构、重组单元学习内容，助力学生形成整体性、发展性的数学认知结构.传统课堂中仅仅依靠知识的积累和技能的熟练并不会形成学科素养，“大概念”的统整让核心素养在学科内容间顺利落地，让“思维迁移与创造”这一高阶思维在结构化教学中实现.因此，要在“大概念”统领下对单元进行结构化分析、重构、添加，以构建联系更为密切的新序列，具体教学框架见图1.本文以人教版四年级上册“三位数乘两位数”单元为例.教材分析大概念视角下单元结构化教学教学建议教材地位教材对比内容结构数学思惠开放性评价表现性评价学情分析提取大概念1基于单元分析提取大概念数学的学科概念虽多，但只有居于学科核心地位且占据提纲挚领作用的概念，才能称为“大概念(Bigidea)”，大概念并非具体的概念、问题或主题，收稿日期：2 0 2 3-0 4-0 5作者简介：翟志宏（1 9 9 3 一）男，广东惠州人，主要从事数学教育的研究。整体设计学情调研调研分析核心素养课标指引知识内容分析图1基于大概念的单元结构化教学框架而是能统摄整个单元教学内容、具有逻辑关系的数学知识联结而成的数学结构体系的内核，是能够反映学科本质的上位思想，它就如同一个庞大的仓库，为海量的小概念提供了科学编排的结构和有序存放教学实践教学序列重构反思与评价数学方法数学文化添加评价第4 2 卷第5 期2 0 2 3 年9 月的框架，构建起联结更为密切的学科整体，是学生从课本、课堂走向社会解决真实问题的核心素养.基于单元整体分析、梳理教材设计思路，了解学生认知水平和实际情况，能帮助我们有效提取“大概念”，从而调整和优化各项因素，实现对知识的深度理解与迁移应用，提升整体思维能力和学习能力.1.1教材分析(1)教材地位把“三位数乘两位数”单元放在乘法的脉络上进行整体梳理，对知识进行深度的处理和挖掘，对思想进行高度的渗透和迁移，有助于教师对内容有系统性的认识和把握，根据单元整体特点，调整、优化、丰盈教学目标与学习序列，有助于学生建立整体性的课时内容一三位数乘两位数二因数中间和末尾有0的乘法三积的变化规律四常见的数量关系：单价数量总价五常见的数量关系：速度时间路程六体现总整理的教学意图；强化了与乘法相关的编排特点数量关系的学习；注意对数学规律的总结提炼计算教学渗透在问题解决过程中；注重算理的迁移、应用，对整数乘法计算进行整体把握；关注数学抽共同点象、推理、建模思想的建立.(3)内容结构逻辑性是数学的本质特点，现行的小学教材遵循“逐级递进、螺旋上升”的原则.在单元内，大多数内容编排呈递进关系，前者是后者的学习基础，前后数学教学研究数学认知结构.从知识的结构和联系出发，本单元是在表内乘法、多位数乘一位数、两位数乘两位数基础上展开的探索，作为整数乘法的最后一个阶段，本单元要掌握多位数乘多位数的算法和算理，承担延伸整数乘法一般规则的使命。(2)教材对比横向对比不同教材的设计能更好的理解编者的意图，为后续学习序列的重构、调整、丰盈提供更多元的思路，以符合学生的认知规律，形成横向融合、纵向联结的学科核心素养结构.下面就“人教版”与“北师大版”在单元结构化教学方面进行对比，见表1.表1“人教版”与“北师大版”教材对比人教版例题145X12160X30106X306X26X206X200求总价问题：单价数量一总价求路程问题：速度X时间一路程两个板块只能循序渐进开展教学.但“三位数乘两位数”这个单元板块间呈并列关系，三个板块都是相对独立的乘法内容.具体序列见图2.37北师大版内容三位数乘两位数试一试：因数中间和末尾有0 的乘法20X4估算10X45X4例题114X21408X2354X312210X47情景：体育场看台观众数做估算计算器略探索规律略*除法单元求速度问题：路程一时间一速度求单价问题：总价路程一数量=单价注重片法多样化，采取分拆、分解、表格乘法等方法渗透位置值；强化对估算策略的培养；关注运算规律的探索.把速度、单价数量关系放在除法单元.38数学教学研究第4 2 卷第5 期2 0 2 3 年9 月三位数乘两位数笔算例1三位数乘两位数笔算因数中间、末尾有0 的乘法三位数乘两位数积的变化规律例3单价、数量和总价例4常见的数量关系速度、时间和路程例5图2“三位数乘两位数”单元序列对于这种学习序列呈并列关系的单元，板块间案，但竖式与图画、情景的勾连较为欠缺，更多的是相互影响、联系较少，若按照教材编排采用一课一教对算法的模仿，对整数乘法缺乏整体性的认识，对三的组织形式，会存在主要的几个问题，一是不同板块位数乘三位数更是无从下手。对学生而言较为割裂，课时内容间难以形成有效连接，不利于学生构建更为完整的数学认知结构.二是教学展开缺乏层次，不利于学生知识的迁移和应用.三是数学思想方法的渗透受到禁，许多有价值的规律、数量关系得不到有效拓展.1.2学情分析（1)学情调研（见图3）(2)调研分析选四年级某班共4 0 名孩子进行前测，并通过访谈的方式确定理解水平层次.前测表明，大多数孩子能把两位数乘两位数的算理迁移到三位数乘两位数中，具体算理理解层次见表2，虽然能正确算出答水平层次包含的内容要素水平O无水平一认识数的结构水平二表征计算过程水平三理解竖式的意义三位数乘两位水平四数与整数乘法的区别、联系（3）提取大概念核心素养描述和刻画了学生预期的发展样态和发展质量，还暗含着新的知识特性以及由此所决定的新的学习方式和发展路径，知识内容是发展学生学科素养的现实载体，“大概念”则在知识内容与核心素养间起到桥梁作用，是从抽象理论到实际达成的阶梯，核心素养、课程标准与知识内容也是大概念提炼的基本路径.例2前测挑战一：一所学校买了1 3 4 本故事书作为奖品，每本故事书1 2 元，一其花了多少元？（把算法记录下来，并配上简易说明，可以用多种算法）尝试用竖式计算的方法解决挑战一。挑战二：对比上面的计算与原来学的整数乘法，他们有什么联系与区别？挑战三：要是遇到三位数乘三位数，你想怎么计算，请举例说明.图3“三位数乘两位数”单元前测表2“三位数乘两位数”算理理解层次表具体描述无法对与算理相关的任何问题作出回应。理解乘法算式的意义和数的组成，只能算出正确的答案.基于乘法的意义，通过画一画、分一分、写一写等学习活动，将自己的计算方法通过画图、模式等进行表征。能用竖式记录自已的计算过程，并且与情境、操作相对应，知道每一步的意义，能正确描述算式的含义，能认识到三位数乘两位数是整数乘法的一部分.区别：三位数乘两位数计算的位数更多.联系；算理都是通过“先分后合”对计数单位的叠加。赋分百分比0分2.5%1分55%2分30%3分12.5%4分0%核心素养通用素养：参照2 1 世纪核心素养5 C模型中关于“文化理解与传承、审辨思维、创新、沟通、合作”的素养要求，结合四年级学生的年龄特征，本单元重点培养“审辨思维”与“沟通”两个方面的素养.学科素养：包括数学核心素养和数学思想.本单元主要培养学生运算能力、推理能力、应用意识等学科素养，其中重点让学生理解整数乘法的算理都是第4 2 卷第5 期2 0 2 3 年9 月通过“先分后合”对计数单位的叠加.本单元主要渗透抽象思想、归纳推理、数形结合思想、函数思想等，其中重点渗透数学建模思想，学生在具体情境中区分“每份数、份数、总数”的关系.课标指引数学课程标准（2 0 2 2 版）指出，小学阶段数与代数领域包括“数与运算”和“数量关系”两个主题，数的运算重点在于理解算理、掌握算法，体会运算的一致性，一是运算要基于数的意义理解，即数的本质都是计数单位的累加；二是得到运算结果的方式，都是先确定单位再确定对应单位的个数.从三位数乘两位数到多位数乘多位数，再延伸到所有乘法计算，关注学生学习过程的结构化，形成运算能力；数量关系则是在解决问题、解释意义的过程中体会数学与现实世界的关联，感悟模型中量纲的意义，启发学生板块内容14512三位数乘两位数2901451740160106;X30X3D4.8003180一个因数不变，另一个因积的变化规律数乘几，积也乘几。常见的数量关系单价数量=总价要多少钱？一辆汽车每小时行7 0 千速度时间=路程米，4 小时行多少千米？图4“三位数乘两位数”单元教材编排基于以上分析，我们提炼出本单元大概念”：融行解析,现有的基础难以作为新知识的生长点2.因通“乘法运算”结构的一般性.此把“积的变化规律”调整到“例2”前，不仅仅能作为2基于逻辑关系辨析重构新序列其算理上的解释，让知识脉络变得更为通畅，还能把基于“大概念”我们能更好的辨辩析教材编排逻辑学习到的规律应用到运算中，提升学生的应用意识.关系，发现原有学习序列不适合现有学情的地方，为例1 是笔算“三位数乘两位数”，教材提供的情编排新的序列寻求依据.科学的学习序列不仅给学境实质上是对数量关系“（火车的）速度时间=（到生提供了知识技能学习的沃土，还能给学生缔造思北京的)路程”的应用，若把“常见的数量关系”前置维碰撞的舞台，达到把知识转化成能力的目的.到第一个板块前，即成为新的第二个板块，学生能更实践中发现，例2 中因数末尾有零的乘法，学生深刻的体会到数学在生活中的应用，激发学习兴能想到把问题转化成多位数乘一位数（几个十)的运趣 2.同时，“积的变化规律”包含了正反比例函数的算，但是讲解时却不知所云，是因为之前的课本中面模型，在学习了这一个“模型”后，也可以从“函数”的对这种情况也仅是方法上的规定，并没有通过算理进视角设计问题，如速度不变的情况下，时间随着路程数学教学研究会用数学的语言表达世界，形成初步的模型意识和应用意识1.知识内容本单元的内容：第一个板块是笔算“三位数乘两位数”，例1 要在“两位数乘两位数”基础上，通过迁移掌握算法，实现法理相融。例2 则是对因数中间、末尾有0 的情况展开研究，“多位数乘一位数”提供了分步积的计算方法，最终目的都是转化成表内乘法和二十以内加减法解决的问题；第二个板块是例3“积的变化规律”，对有联系的乘法题组进行观察、发现与归纳，学习起点是先前掌握的整数乘法；第三个板块“常见的数量关系”则是对解决问题时常见的数量关系进行提炼与概括，例3 和例4 对应的分别是购物、行程问题.每个版块都围绕整数乘法展开却又各有侧重.图4 是单元教材编排.学情分析14X122818314316854960428:08X38406X2=-12620=1206200=1200篮球每个8 0 元，买3 个39两位数乘两位数（三下年级）多位数一位数（三上年级）乘法题组计算（三年级）解决问题中的数量关系（二三年级）40的变化而怎样变化？路程不变的情况下，时间随着速度的变化而怎样变化？从常量到变量，数量关系得到更广泛的应用，笔算作为验证的手段，对学生数感的提升、早期代数思维的渗透也大有神益在“常见的数量关系”中，“单价数量二总价、速度时间一路程虽然名称不同，但是其模型本质都是乘法的意义“每份数X份数一总数”，这种结构相似、方法相同的内容可以适当的整合在一节课中。“速度”是描述物体位置变化快慢与方向的矢量，在物理性质划分中，“数量、时间、路程”是可以通过直接测量得到的外延量，而“速度”则是无法直接测量而由两个外延量的比值所得到的内包量，个体的比例推理能力是内包量概念发展的基础 3，因此教材原序列课时内容一三位乘两位数因数中间和末二尾有0 的乘法三积的变化规律常见的数量关系：笔算三位数乘两位数（因四单价的数量总价数中间和末尾有0 的乘法）常见的数量关系：五速度时间路程3基于结构化教学添加新资源“学生立场、单元视角、有机整合、适度拓展”的理念是鼓励教师合理、灵活的运用教材，指向学生数学素养的提升.通过对教材编排、学习序列的分析与梳理，揭示了适当整合、调整的方向和切入点，更好的建立符合学生认知的新序列，也挖掘出基于单元整体的拓展课.以下是落实“大概念”融通“乘法运算”结构的一般性重组后的单元学习序列，各部分间的关系更为密切.基于新的单元学习序列（图5），单课时的教学内容有了更多调整、添加的空间，数学思想得到更有效的提炼和渗透.(1)在“积的变化规律”中，探索新的规律“积的变化规律”实质是当一个乘数不变时，积与另一个乘数存在着正比例关系.还可能会存在怎数学教学研究新加坡、日本等教材把“速度”这一概念放在六年级“比”之后，由此可见，仅通过生活经验和数量关系变化并不能深人理解“速度”的本质，有必要在“常见的数量关系”前，增加“速度、单价的认识”概念课，经历从生活经验到数学抽象的提炼过程，通过线段图等方式多元表征速度、单价的意义，也为今后相遇问题、追及问题打下扎实的基础。基于逻辑关系辨析，我们重构了更适合学生能力发展的新序列，学习目标也得到更科学的定位，从相对独立的点状分布变成系统关联的网状结构，课时总量不变的情况下蕴含着更丰富的学习资源，更适合学生能力的发展.表3 为“三位数乘两位数”的单元新旧序列对比表.表3“三位数乘两位数”单元新旧序列对比“大概念”视角下新序列内容积的变化规律“速度、单价”的认识常见的的数量关系乘法竖式终结了第4 2 卷第5 期2 0 2 3 年9 月目标对运算规律适当的总结提炼，培养总结归纳、抽象概括能力.深人对概念的本质认识、经历从生活经验到数学抽象的提炼过程.经历常见数量关系的建立模过程、感受数量关系的模型本质，体会分类思想，发展建模能力法理相融，提升运算能力总结整数乘法的一般方法，对口算、做算、笔算、验算等计算有整体上的把握，深化位值制的认识样的变化情况呢？学生可能会想到，若两个乘数都同时扩大时，积是如何变化的？若一个乘数扩大，另一个乘数缩小，积会如何变化？若积保持不变，两个乘数间又有怎样的关系呢？对规律的适当总结是知识内化的有效途径，问题的延伸给学生提供了更广阔的探究、思考空间，让学生体会到数学是一个充满挑战与乐趣的探究过程.（2)在“常见的数量关系”中渗透函数思想函数思想是以变化和运动的视角去挖掘事物的变化规律和内在联系，对于以形象思维为主的小学生而言，函数思想的渗透要依托现实情境和素材，在相关联的“数量关系”中存在着大量的资源.当数量不变时，总价会随着单价的变化而怎样变化？当路程不变时，时间会随着速度的变化而怎样变化？当面积一定时，长方形的长和宽又是如何变化的？静第4 2 卷第5 期2 0 2 3 年9 月态的学习资源通过简单的加工，就形成动态的思考过程，让学生感受到世间万物都是变化发展又相互板块内容一个因数不变，另一个因积的变化规律数乘几，积也乘几。渗透函数思想的数量关系常见的数量关系数量关系的应用巨三位数乘两位数推广到多位数乘多位数乘法竖式终结了(拓展课）(3)在笔算“三位数乘两位数”中注重算法多样化横向对比“北师大版”教材可以发现，该教材还采用了分拆、分解、表格乘法的方法，这些方法虽然未必是最终通法，但反映的却是学生对数的组成、计数单位、位值制的理解水平，是学生认知结构、思维方式等方面的不同带来的必然结果.算法交流和算法体验是理解、优化算法的重要途径，多样化的方法能帮助学生对运算有更全面的认识，竖式计算的优势也在这种潜在的对比中得到凸显.分拆、分解的方法把三位数乘两位数的问题转化成原来掌握的知识，体现了问题解决策略的多样化，也为今后乘法结合律、乘法分配律的学习积累经验。（4)增加“乘法竖式终结了”的拓展课整数乘法都是怎样计算的？为何教材后面再也没有安排整数乘法的教学？本课以结构整体的经验为设计思路，把原有运算教学的经验串成线、连成面，把算理、算法有效勾连，实现笔算乘法的一般化.追溯竖式的前世今生，如中国古代“算筹、铺地锦”，印度画线的“交叉算法”，融通“乘法运算”结构的一般性，渗透数学文化.从多位数乘一位数到多位数乘多位数，带领学生经历乘法竖式的发生发展全过程.从算理和算法有什么区别引入，辨析算理与算法，认识两者在计算数学教学研究联系、相互制约的.学情分析62-12乘法题组计算620=120(三年级）6200-1200篮球每个8 0 元，买3 个认识速度、单价要多少钱？一辆汽车每小时行7 0 干米，4 小时行多少干米？速度时间-路程单价数量-总价145122901451740乘法竖式：算理+算法图5“三位数乘两位数”单元新序列中的重要地位及不同功能，再利用囊括了所有类型的乘法竖式学习单，以小组为单位先交流“乘法竖式的算理和算法是什么？”最后在汇报、质疑、提问、补充的过程中，总结归纳整数乘法竖式的算理是“先分后合”,是关于计算几个（）十几十个（）十几百个（）;算法则是“位置顺序”，即是从个位算起，先算第二个因数的个位与第一个因数各个数位上的数相乘，再算；疏通整数竖式计算的脉络，实现算理透、算法明，发展学生的运算能力.“反思与评价”是打通单元结构化教学闭环的关键，通过“开放性评价、表现性评价”了解学生的理解层次，能够帮助我们更好的改进设计、调整教学.以“大概念”为引领对单元进行“分析、重构、添加”，打破了教材原有的编排序列，以落实核心素养为出发点，使知识之间联系更密切，教学内容更完善，学习空间更广阔，能力迁移更流畅，助力学生数学素养的提升.参考文献1中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2 0 2 2 版）S.北京：北京师范大学出版社，2 0 2 2.2陈芳.单元整体设计完善学习序列，以“三位数乘两位数”的单元教学为例 J.教学月刊（小学版），2 0 1 9（3）：8-11.3金轩竹.小学数学速度概念的理解与认知阶段划分J.中小学教师培训，2 0 1 8（1 0）：5 2-5 7.41解决问题中的数量关系（二三年级）每份数份数-总数乘法的意义(二年级）183多位数一位数160106303048003180314549122814168（三上年级）两位数乘两位数(三下年级）