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k=1ak+1a1求S一的最小值，其中2n+1n-2n中等数学462023年全国高中数学联赛四川赛区预赛中图分类号：G424.79文献标识码：A文章编号：10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 5-0 0 46-0 6引用格式：2 0 2 3年全国高中数学联赛四川赛区预赛J.中等数学，2 0 2 3（5）：46-51.一、填空题（每小题8 分，共6 4分）1.已知f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x，均有2f()+f(x2-1)=1.则f(V2)的值是2.设平面向量a、b 满足：lal=1,lbl=2，工b.O、A、B为平面上的三个点,满足：OA=2a+b，O B=-3a+2 b.则AOB的面积是3.在(-xy+2x+3y-6)的展开式中,x*y3的系数是（用具体数字作答）4.设P(0,a)是y轴上异于原点的任意一点，过点P且平行于轴的直线与曲线y=lnx交于点0,曲线y=lnx在点Q处的aa切线交y轴于点R.则PQR的面积的最小值是5.设集合1=10,1,2 2 ,A=(a,b,c,d)la、b、c、d EI,a +d =l(mo d 2 3),且ad-bc=0(mod 23).则集合A中元素的个数是6.在直三棱柱ABC-ABC,中，AB=1,BC=CC,=V3,ZABC=90,P是平面ABC上一动点.则AP+=PC的最小值是27.如图1,将函数y=BCcOS x+1(0 x2元)的图像Ax厂画在矩形OABC内，将图1AB与OC重合围成一个圆柱，则曲线厂在圆AB与OC重合围成一个圆柱.则曲线厂在圆柱表面形成的曲线的离心率是8.设A、B、C是ABC的三个内角.则3cosA+2cos2B+cos3C的取值范围是二、解答题（共56 分）9.（16 分）已知抛物线的顶点是原点0，焦点是F(0,1).过直线y=-2上任意一点A作厂的两条切线，切点分别为P、Q.求证：(1)直线PQ过定点；(2)ZPFQ=2 ZPAQ.10.(20分）给定正整数n(n2).已知2 n个正实数aj,a2,a2,满足Za2=Iak-1+na2kak=1k=1K=1k=111.(20分）给定正整数、b(a b).数列满足：fi=a,f2=b,n+2=n+f,(n=1,2,.).若对任意的正整数n，都有k=1元fn+，求实数元的最小值.参考答案1一、1.3在式中，将x换成一x得2 f(-x)+f(x2-1)=1.由式、知 f(x)=f(-x).472023年第5期在式中令x=0得2 f(0)+f(-1)=1,即2f(0)+f(1)=1.在式中令x=1得2 f(1)+f(0)=1.由式、知f(I)=再在式中令x=V2得2.f(/2)+f(I)=1.由题意得0A=/(2a+b)2=/4lal2+4a.b+1b12=V4+0+4=2/2,0B|=/(-3a+2b)2=/9la12-12a.b+41b12=V9+0+16=5,0A.0B=(2a+b)(-3a+2b)=-6lal2+a.b+2lb12=-6+0+8=2.OA.OB1故cOSZAOB=5V27sin ZAOB/2.10则SAOABOA|B sin ZAOB21.2/2.5.V2=7.2103.-21 600.由于(-xy+2x+3y-6)=(-x+3)(则展开式中，x3的系数是C(-1)*3 C(-2)=-21 600.4.2e2易知点Q(e,a).故曲线y=lnx在点Q处的切线方程为12ay-a=e2aea1从而，点R0,a-a2于是,SAroR=IPRIIPQI=-ae212al注意到,S(a)=e是偶函数，故只需考12al虑其在区间(0,+8）上的最小值.令f(x）e二0)2x(2x2-1)则F()=e2元2令()=0,得2V2又因为当0 时,f()22V2时,f(x)0:所以,f(x)在x=处取得22V2V2e最小值厂22因此，PQR的面积的最小值是25.552.(1)若=0,则d=1,从而bc=0,此时b=0或c=0,故符合条件的(a,b,c,d)有2 3+22=45个;(2)若=1,则d=0,从而bc=0,此时b=0或c=0,故符合条件的(a,b,c,d)有2 3+22=45个;(3）若2 a22,则d=24-a,从而ad丰0(mod23)，b c 0,当b取1,2,22时，有唯一的一个c满足ad-bc=0(mod 23),故符合条件的(a,b,c,d)有2 12 2=46 2 个.综上，集合A中元素的个数为45+45+此L定APP=9048中等数学462=552.56.一21如图2,若A,P+=PC2取最小值时，点P不在直线AC上，则过P作AC的垂线,垂足为P.由面ABC上面AACC=PP 1面 A,ACC,11AP+=1PCAP+=PC,22矛盾.因此，A,P+=PC取最小值时，必有点P2在直线AC上.这样将问题转化为平面问题：P是线段AC上一动点，求AP+=PC的最小值.2如图3,过点C在AC的下方作一条与CA夹角为30 的射线1，射线1与直线AA交于点D,过点P、A 作射线1的垂线，垂足分别为E、Q.1则PE=PPC21=A,P+=PC=AP+PEAQ.22又知AC=2,AD=3V3,A,D=545CD=3，33A,D.AC5由面积关系知AQ二CD25综上，A,P+PC的最小值是2227.2BA11C1-BAPC图2C1APAC一1-一1D图3如图4,将AB与OC重合围成一个圆柱，圆柱的底面半径为1,高为2.过CE作与平面COE垂直的平面.CQD一一DE0PPI图4设P(0,0),Q(,cos+1),围成侧面后分别对应点P和Q.则Z00P=0,AO=DD=PQ=1+cos 0.因为COE是等腰直角三角形,所以，AD=AS=AO-SO=1+cos 0-1=cos 0.结合AQ=1,ZQAD=0,有ADLDQ.又DO工DD,则DO工平面COE.故点Q在平面上，即曲线在圆柱表面形成的曲线是一条平面曲线，是平面截圆柱侧面形成的截线。从而，曲线在圆柱表面形成的曲线是椭圆，且这个椭圆的长半轴为2，短半轴为1.V2258.616记T=3cosA+2cos2B+cos3C.一方面，注意到，IT=I3coSA+2cos2B+cos3CI3/cosAl+2Icos2BI+Icos3Cl6,等号显然不成立，而当B元，A、C0 时，T6,则T16显然T最小时B号,否则,让代替B，22元一+元其中，元2元-2 x一322xcos6sin3sin3x3sin(0-x)而f(x)元f(C)+2cos 20.则TV31V 2构造f(x)：3cos(0-x)+cos 3x(xE0,=记A+C元C=0.注意元 0 492023年第5期元A+B-代替A，可使T值减小.2，否则，让代儿类似地，T最小时C元，代替33元C,A+C-元代替A，可使T值减小.3固定A+C先求最小值时的C.25引理2cos 20+3cos 0+116证明这等价于证明94cos?0+3cos+0，16这显然成立.3注意等号取到的条件为cos=8引理得证.故f(x)=0的两个零点是和x=4元22元2由二元=0,分段讨论。22432元元0（1）当元时32224元0故f()在0,上为正，在4422元元上为负，在上为正.223元从而,f(x)在0,上的最小值f(x)min=3元22注意到,f(0)=3cos 0+1,元3=2sin一0.2223证明此时2 sin03cos 0+1,这样2f(x)min=f(0).使用三倍角公式，即323sin31-2sin2+1一4sin22，2004sin3-3sin%+2.23sin222因式分解得4sin20.1sin+sin2一222厂7因为一元二，所以,sin322220于是,4sin-20，从而式成立.2故Tf(0)+2cos 20=2cos 20+3cos 0+1.25由引理有T162元0(2)当元 0 元时，一3224元故()在元0,上为正，在22220元上为负，在上为正.443元从而,f(x)在0,上的最小值f(x）mi n=3f(O),fmin注意到,f(0)=3cos 0+1,34=4cos 二0.4163元.g()g(元)=2 而：元|=12 元,g(元)=23元，则上为正，在g(xo)=0,且 g(x)在元，X0而在xE二元，元，有且仅有一个xo，满足4sin 2x-则g(x):3x(xE元，元构造函数g()=2cos 2x-162cos.20即可.1640+下面证明对任意元 二元，4cosf(0)+2cos 202cos20+3cos0+150中等数学由引理得25-163元0.元元因为二0E，所以，42?3元3元sin一一（42）4233故4cos元一9=4sin二2元-30.+442下面证明：2 元-30+2 c0s20(0，元）上为负，从而，2g(x),mlg一元3故2 元-30+2 c0s202元+2-3元25=2-元16综上，所求的取值范围是二、9.（1）易得抛物线厂：x=4设点 A(t,-2),P(x,y),Q(x2,y2).则过点P的抛物线的切线的方程为y-y2即xix-2y-2yi=0.类似地，过点Q的抛物线的切线1的方程为x2x-2y-2y2=0.由、L过点A可得xt+4-2yi=0,x2t+4-2y2=0.这表明,点P(x,y)、Q(x 2,y 2)的坐标满足方程tx-2y+4=0.则 lpo:tx-2y+4=0.易得直线PQ过定点(0,2)。(2)不妨设点P在Q的左边,则xx2x2因为tan ZPAQ=222(x1-x2)x21+X2+4222tan ZPAQ所以,tan 2ZPAQ:1-tan?ZPAQ4(x-x2)22+44(x1-x2)(x)x2+4)4(x;-x,)(/x2+4)2-4(x-x,)2(%/x2+4)2Y1-1_ y2-1X2又tan ZPFQ=1+Y-1,2-1X22X244X2+4-1?44(xi-x2)(xix2+4)(gx2+4)-4(x;-x2)2故tan 2ZPAQ=tan ZPFQ.易知0 ZPAQ90ZPFQ180，则ZPFQ=2ZPAQ.12n10.一方面,记A=kk=1n-1n-1则S=Za2ka2k-1a2k+1a2kk=1k=1JnJn+2(-1)T2bfnn+1JnJn+2JnJn+2n+2nn+1n+2(fn+2-f.)+2(fn+2-f)f2-f+fn.nJ厂n+1+2fn+2f2-f2+2f,fn+2-2f.fz+f,n+JnJn+2(Jn+2n+1f.)+2f.(n+2JnJn+lJn+2n+I(fn+2-f2)+2fnfn+1(fn+2-f2)+f.fz+lJnJn+lJn+2nJn+ln+f.f2nJn+l512023年第5期1n-1二n-1a2k-1na2knnnn+na2k+1a2kk=lk=l+nna2k-112k-1aa2k一XA2kk=1k=1Ak=1k=111nn立na2k3一n2k-1n=n.Ak=1k=1另一方面,当n=2时,取=1,2=a4=2+V/3可满足条件，且S=n；当n3时，1n-2n取a=a2=.=2n可满足条件，且2S=n3综上，所求的最小值是n.11.先证以下三个引理.引理1对任意nEZ，有fn+2=f+fn+1证明月fn+2=Z(f-f.)+fzk=2n+12f+f2=i+f2k=2k=1引理2记T=a+ab-b,则对任意nEZ+,有 f.fa+2+(-1)T=fan+1证明用数学归纳法证明.由条件知f=a+b.则 fif;+(-1)T=a(a+b)-(+ab-b)=62=J2.故结论对n=1成立。假设n=k(k1)时,结论成立,即fi fa+2+(-1)T=fa.当n=k+1时,Ja+fi+3+(-1)*IT=fa(fa+f2)+fif2-fa=fk+1Ji+2+fia+2=fa2+2故当n=k+1时，结论也成立.由归纳原理知对任意的正整数n，都有fufa2+(-1)T=fa1.引理3lim=V5-1n-802Jn+1证明由条件易知n-1n-11+V5VSf,=A+222其中,=2V52V5V5-1则limn-802回到原题2九记T,=k=1(n=1,2,).22n+1则T,k=1k=1Tn+1fu+1fa+2f.fa+1n22Zfi+J+n+2k=1k=1f.fn+1fn+2注意到，f+Ib,且(-1)T=(-1)(a+ab-b)b?.故 2 bfn+1-b2-(-1)T2b2-b2-b2=0.2 023+a,+a2an=2023,M为2 023+aja11.设n个正10满足a+a，+种.立，则所有这样的排列数有列.若不存在1ijk5使得a,aa,成10.设aj,az是数字1,2,5的排a+(1-t)b最大夹角为0.则cos向量21bl=10.当0 t1时，记向量ta+(1-t)b与9.设a、b 是两个垂直的平面向量，且ll引用格式：2023年全国高中数学联赛浙江赛区预赛中等2023(5):52-55.中图分类号：G424.79文章编号：10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 5-0 0 52-0 4文献标识码：A52中等数学2023年全国高中数学联赛浙江赛区预赛一、填空题（每小题8 分，共9 6 分）1.已知集合S=1xERlx?+2x+a=0/.若-1ES,则实数a=(sin x+1)(cos x+1)2.函数f(x)在区间sinx.cosx元0，上的最小值是一23.已知四面体SABC，A 为SBC的重IAGI心，点G在线段AA上，=3,联结SG,交IGA.1IA,MIA BC所在的平面于点M.则IASIV12-3x2,-2x1;4.已知f()=2+2x,x1关于的方程f(x)=+a存在四个不同的实根.则实数的取值范围是5.设函数 f(z)(z E C)满足f(f(z)=(zz-z-z)2.若f(1)=0,则1f(i)-1/=6.已知m、n、k 是正整数.若存在正整数对(a,b)满足(1+a)n-4(m+a)n+4m+4a+b(k-1)3,因此，T,+T,对任意的正整数n均成立.由T，单调不减可知若limT,存在，则n一其值为元的最小值。事实上，2lim T,=limk=1f.J+n-80n-0则m+n+k可能值的个数是7.已知a、b、c EC,且a+b+c=a+b?+c?=3,a+b3+c=6.则(1)23(1)023(1)0238.已知数列ia,满足：a,=，n(n=1,2,.).an+12-(2n+1)(2n-5)an2.023则之a;=Z=1=lim(S+2-J.)2=lim(fn+1+f,-f.)2f.fn-8n-o(fau+f.)=limfnlimn+2一n8Jn+1V5-1+V5+1+2=2+V5.22综上，几的最小值是2+V5.（李昌勇提供）