上海市浦东新区2018届高三数学一模试卷(有答案).pdf

上海市浦东新区上海市浦东新区 2018 届高三一模数学试卷届高三一模数学试卷一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分）1.集合，则 1,2,3,4A 1,3,5,7B AB 2.不等式的解集为 11x3.已知函数的反函数是，则 ()21f xx1()fx1(5)f4.已知向量，则向量在向量的方向上的投影为 (1,2)a(3,4)b ab5.已知 是虚数单位，复数满足，则 iz(13)1zi|z 6.在的二项展开式中，的系数是 5(21)x3x7.某企业生产的 12 个产品中有 10 个一等品，2 个二等品，现从中抽取 4 个产品，其中恰好有 1 个二等品的概率为 8.已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若()yf xR0,)，则实数的取值范围是 (1)(4)f afa9.已知等比数列前项和为，则使得的的最小值为 1 1,1,9 3nnS2018nS n10.圆锥的底面半径为 3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为23 11.已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数()sinf xx0()f x2的()g x图像，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有()()()h xf xg xmx成立，则的最小值为 ()()(1)h mh xh m12.在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，OMN22124xy动点满足，直线与直线斜率之积为 2，已知平面内存在两定点P2OPOMON OMON、1F，使得为定值，则该定值为 2F12|PFPF二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分）13.若实数，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件,x yR44xyxy22xy A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要14.已知中，点是边上的动点，点是边上ABC2A1ABACPABQAC的动点，则的最小值为（）BQ CP A.B.C.D.042115.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系yxkx bye（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在 0的保鲜时间是 192 小2.718e kb时，在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是（）小时 A.22 B.23 C.24 D.3316.关于的方程恰有 3 个实数根、，则x2arcsin(cos)0 xxa1x2x3x222123xxx（）A.1 B.2 C.D.2222三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+18=76 分）分）17.如图，在长方体中，.1111ABCDABC D2AB 1AD 11A A（1）求异面直线与所成的角；1BC1CD（2）求三棱锥的体积.1BD AC18.在中，角、所对的边分别为、，已知，ABCABCabc(2,1)m，且.(cos,coscos)ncC aBbAmn（1）求；C（2）若，且，求的值.227cb2 3ABCSb19.已知等差数列的公差为 2，其前项和（，）.nan22nSpnn*nNpR（1）求的值及的通项公式；pna（2）在等比数列中，令（），nb21ba324ba(21)(2)nnnankcbnk*kN求数列的前项和.ncnnT20.已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，设点，2222:1xyab0ab1F2F(0,)Ab在中，周长为.12AFF1223F AF42 3（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线 与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为AlBCABAC，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标；1l（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的EPAEPS不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.AEP21.已知函数的定义域为，值域为，即，()f xD()f D()|(),f Dy yf x xD若，则称在上封闭.()f DD()f xD（1）分别判断函数，在上是否封闭，说明理由；2017()2017logxf xx2()1xg xx(0,1)（2）函数的定义域为，且存在反函数，若函数()1f xxk ,Da b1()yfx()f x在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；D1()fx()f Dk（3）已知函数的定义域为，对任意，若，有恒成立，()f xD,x yDxy()()f xf y则称在上是单射，已知函数在上封闭且单射，并且满足，其中()f xD()f xD()xfDD（），证明：存在的真子集，1()()nnfxf fx*nN1()()f xf xDnD1nD，使得在所有（）上封闭.3D2D1DD()f xiD1,2,3,in参考答案参考答案一一.填空题填空题1.2.3.4.5.6.1,3(,0)(1,)U3112807.8.9.10 10.11.12.16335,3362 10二二.选择题选择题13.B 14.B 15.C 16.B三三.解答题解答题17.（1）是异面直线与所成的角或其补角.2 分11/ADBCQ1ADC1BC1CD在等腰中，1ACD115,5,2ACCDAD易得4 分11010CD A即：异面直线与所成的角1 分1BC1CD10arccos10（2）4 分11B D ACDABCVV3 分111(1 2)1323 18.（1）由，2 分mnu rr2 coscoscos0cCaBbA由正弦定理得：，2 分2sincossincossincos0CCABBA；2sincossin0CCAB；2sincossin0CCC由，2 分sin0C 1cos2C ；1 分23C（2）由，2222coscababC22272cosbababC，；4 分2260aabb2ab由知，2 分2 3ABCS1sin2 32abC 1322 322b b.1 分2b 19.（1）22nSpnnQ*2,22,2npanNpnpn3 分*22,napnpnN122nnaap，3 分1p122)1(3nnan（2），21323,49baba，2 分3q22123 33nnnnbb q 当时，*2,nk kN1234212nkkTabababL 1321242(+)()kkaaabbbLL21(37+4-1)(3273)kkLL(341)3(1 9)3(91)(21)21 98kkkkkk3 分(1)3(31)28nn n当时，是偶数，*21,nkkN1n111(1)(2)3(31)TT328nnnnnnnb(1)(2)3328nnn3 分*(1)3(31);2,28(1)(2)33;21,28nnnn nnk kNTnnnkkN20.（1）由得：，所以1223F AF13F AO2 323abc又周长为，所以12AFF42 32242 3ac解方程组，得21ab所以椭圆方程为4 分2214xy（2）设直线 方程：，交点lykxm1122(,),(,)B x yC x y1 分22222(14)84(1)044ykxmkxkmxmxy 1 分212122284(1),1414kmmxxxxkk 1 分121211,ABACyykkxx依题：即：1 分1ABACkk 1212111yyxx 1122,ykxmykxmQ121212121112(1)1kxmkxmxxkmxxx x 1 分21mk 过定点1 分21ykxmkxk(2,1)（3），1 分:10AElxy(0,1),(2,1),2 2AEAE设直线与椭圆相切，:l yxt 2214xy1 分2222521041405yxtxtxtxyt 得两切线到的距离分别为:10AElxy 125151,22dd11512 25122AEPdS1 分21512 25122AEPdS当时，个数为 0 个51AEPSAEP当时，个数为 1 个51AEPSAEP当时，个数为 2 个5151AEPS AEP当时，个数为 3 个51AEPSAEP当时，个数为 4 个3 分051AEPSAEP21.（1）因为函数的定义域为，值域为，（取一个具体例子也可），()f x(0,)(,)所以在上不封闭.（结论和理由各 1 分）()f x0,11(1,2)tx 2(1)11()()2(0,)(0,1)2tg xh tttt 在上封闭（结论和理由各 1 分）()g x0,1（2）函数在 D 上封闭，则.函数在上封闭，则，()f x()f DD1()fx()f D()Df D得到：.（2 分）()Df D在单调递增.1f xxk,Da b则在两不等实根（1 分）(),()f aa f bb 1f xxkx 1,，221g()2110 xxxkxkxk 故，解得（3 分）22(21)4(1)0g(1)0g()02122112kkkkkk 5,14k 另解：另解：在两不等实根令 1f xxkx 1,1(0)txt在有两个不等根，画图，由数形结合可知，21ktt 0,t11,04k 解得5,14k（3）如果，则，与题干矛盾.()f DD()nfDD()nfDD因此，取，则.（2 分）()f DD1()Df D1DD接下来证明，因为是单射，因此取一个，11()f DD()f x1pD D则是唯一的使得的根，换句话说.（2 分）p()()f xf p1()()f pf D考虑到，即，1pD D 1DDp因为是单射，则()f x 111()()()()f Df Dpf Df pDf pD这样就有了.（3 分）11()f DD接着令，并重复上述论证证明.（1 分）1()nnDf D1nnDD