2022高考数学一轮复习-第二章-函数-2.7-函数的图像学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.7 函数的图像学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.7 函数的图像学案北师大版

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姓名：

2.7　函数的图像
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.利用描点法作函数图像的流程

2.函数图像间的变换
(1)平移变换

对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减,上加下减.
(2)对称变换

(3)伸缩变换
y=f(x)y=f(ax),
y=f(x)y=Af(x).

1.函数图像自身的轴对称
(1)f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图像关于y轴对称;
(2)函数y=f(x)的图像关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)=f(2a+x);
(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a+b2对称.
2.函数图像自身的中心对称
(1)f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图像关于原点对称;
(2)函数y=f(x)的图像关于(a,0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x);
(3)函数y=f(x)的图像关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x);
(4)若函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图像关于点a+b2,c2对称.
3.两个函数图像之间的对称关系
(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=b-a2对称(由a+x=b-x得对称轴方程);
(2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称;
(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图像关于点(0,b)对称;
(4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)对称.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)将函数y=f(x)的图像先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f(x+1)+1的图像.(　　)
(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图像相同.(　　)
(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称.(　　)
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.(　　)
(5)若函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.(　　)
2.(2020山东师大附中月考)函数y=log2|x|的图像大致是(　　)

3.(2020天津,3)函数y=4xx2+1的图像大致为(　　)

4.(2020浙江,4)函数y=xcos x+sin x在区间[-π,π]上的图像可能是(　　)

5.已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　)

A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
关键能力学案突破　

考点
作函数的图像

【例1】作出下列函数的图像:
(1)y=|lg x|;(2)y=2x+2;
(3)y=x2-2|x|-1;(4)y=x+2x-1.

解题心得作函数图像的一般方法
(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.
(2)图像变换法.变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换.
(3)描点法.当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图像,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出.
对点训练1作出下列函数的图像:
(1)y=10|lg x|;
(2)y=|x-2|·(x+1);
(3)y=x+2x+3.

考点
函数图像的识辨(多考向探究)

考向1　知式判图
【例2】(2020山东潍坊一模,5)函数f(x)=x-sinxex+e-x在[-π,π]上的图像大致为(　　)

考向2　知图判式

【例3】(2020河北沧州一模,理5)已知函数f(x)的图像如图所示,则f(x)可以为(　　)
A.f(x)=x3-3x　　
B.f(x)=ex-e-xx
C.f(x)=2x-x
D.f(x)=e|x|x
考向3　知图判图
【例4】已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图所示,则y=-f(2-x)的图像为(　　)

解题心得函数图像辨识的入手方面
(1)从函数的定义域判断图像“左右”的位置;从函数的值域判断图像的“上下”位置.
(2)从函数的单调性判断图像的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性判断图像的对称性.
(4)从函数的周期性判断图像的循环往复.
(5)必要时可求导研究函数性质,从函数的特征点,排除不合要求的图像.
利用上述方法,可排除、筛选错误与正确的选项.
对点训练2(1)(2019全国1,理5)函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[-π,π]的图像大致为(　　)

(2)(2020山东青岛5月模拟,4)下列函数的解析式(其中e=2.718 28…为自然对数的底数)与所给图像最符合的是(　　)

A.y=sin(ex+e-x) B.y=sin(ex-e-x)
C.y=tan(ex-e-x) D.y=cos(ex+e-x)
(3)已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的图像,则函数y=f(x)·g(x)的部分图像可能是(　　)

考点
函数图像的应用(多考向探究)

考向1　与函数零点有关的参数范围
【例5】(2018全国1,理9)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,
g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　)
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
解题心得将函数的零点转化为方程的根,构造方程两边的函数,通过函数图像的交点个数满足已知函数零点个数,求出参数的取值范围.
对点训练3已知f(x)=12|x|,x≤1,-x2+4x-2,x>1,若关于x的方程a=f(x)恰有两个不同实数根,则实数a的取值范围是(　　)

A.-∞,12∪[1,2) B.0,12∪[1,2)
C.(1,2) D.[1,2)
考向2　已知函数不等式求参数的范围
【例6】(2020湖南永州二模,理9)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2-|x+2|.若对任意的x∈[-1,2],f(x+a)>f(x)成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.(0,2)
B.(0,2)∪(-∞,-6)
C.(-2,0)
D.(-2,0)∪(6,+∞)
解题心得有关函数不等式的问题,常常转化为两函数图像的上、下关系来解.

对点训练4(2019全国2,理12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m的取值范围是(　　)
A.-∞,94
B.-∞,73
C.-∞,52
D.-∞,83

考点
函数图像对称性的应用

【例7】已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2.当x>1时,f(x)=1x-1.则关于x的方程f(x)+2a=0没有负实数根时,实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1]∪-12,+∞
B.(0,1)
C.-1,-12∪-12,+∞
D.-2,-12∪-12,0
解题心得由f(-x)=-f(x)⇔y=f(x)的图像关于原点对称,f(-x)=-f(x)⇔f(0-x)=-f(0+x),当把0换成a时,则有f(a-x)=-f(a+x)⇔函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称,推广可得f(a+x)=2b-f(a-x)⇔函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称.
对点训练5(2020北京海淀一模,7)已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图像关于y轴对称.若g(x)在区间(1,2)内递减,则m的取值范围为(　　)
A.[-1,+∞)
B.(-∞,-1]
C.[-2,+∞)
D.(-∞,-2]

1.作图的方法有:
(1)直接法,利用基本初等函数作图;
(2)图像变换法,如平移变换、对称变换、伸缩变换等;
(3)描点法,为使图像准确,可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等了解图像的大体形状.
2.识图题与用图题的解决方法:
(1)识图:对于给定函数的图像,要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图像与函数解析式中参数的关系.
(2)用图:要用函数的思想指导解题,即方程、不等式的问题用函数图像来解.

1.确定函数的图像,一定要从函数的定义域及性质出发.
2.识图问题常常结合函数的某一性质或特殊点进行排除.
3.要注意一个函数的图像自身对称和两个不同的函数图像对称的区别.

2.7　函数的图像
必备知识·预案自诊
知识梳理
2.(1)y=f(x)-k　(2)函数y=-f(-x)的图像
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2.C　函数y=log2|x|为偶函数,作出x>0时y=log2x的图像,图像关于y轴对称,故选C.
3.A　∵函数y=4xx2+1为奇函数,∴排除选项C,D.再把x=1代入得y=42=2>0,排除选项B.故选A.
4.A　因为f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcosx+sinx)=-f(x),x∈[-π,π],所以函数f(x)是奇函数,故排除C,D,当x∈0,π2时,xcosx+sinx>0,所以排除B.故选A.
5.D　因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1,
在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图像.如图,

两函数图像的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.
关键能力·学案突破
例1解(1)y=lgx,x≥1,-lgx,0<x<1的图像如图1.
(2)y=2x+2的图像是将y=2x的图像向左平移2个单位长度.其图像如图2.

(3)y=x2-2x-1,x≥0,x2+2x-1,x<0的图像如图3.
(4)因为y=1+3x-1,先作出y=3x的图像,将其图像向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,
即得y=x+2x-1的图像,如图4.

对点训练1解(1)当x≥1时,lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;当0<x<1时,lgx<0,y=10|lgx|=10-lgx=10lg1x=1x.
故y=x,x≥1,1x,0<x<1.

图1
这是分段函数,每段函数的图像可根据正比例函数或反比例函数图像作出,如图1.
(2)当x≥2,即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=x-122-94;
当x<2,即x-2<0时,y=-(x-2)·(x+1)=-x2+x+2=-x-122+94.
所以y=x-122-94,x≥2,-x-122+94,x<2.

图2
这是分段函数,每段函数的图像可根据二次函数的图像作出,如图2.
(3)y=x+2x+3=1-1x+3,该函数图像可由函数y=-1x的图像向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,如图3所示.

图3
例2A　当x∈(0,π)时,x>sinx,此时f(x)=x-sinxex+e-x>0,只有选项A符合题意,故选A.
例3A　首先对4个选项进行奇偶性判断,可知f(x)=ex-e-xx为偶函数,不符合题意,排除选项B;其次对其在(0,+∞)上的零点个数进行判断,f(x)=e|x|x在(0,+∞)上无零点,不符合题意,排除选项D;然后进行单调性判断,f(x)=2x-x在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,排除选项C.故选A.
例4B　y=f(x)y=f(-x)y=f(2-x)y=-f(2-x).故选B.
对点训练2(1)D　(2)D　(3)A　(1)由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除选项A.又fπ2=1+π2π22=4+2ππ2>1,f(π)=π-1+π2>0,排除选项B,C.故选D.
(2)当x=0时,y=sin(e0+e0)=sin2>0,故排除选项A;y=sin(e0-e0)=0,故排除选项B;y=tan(e0-e0)=0,故排除选项C;y=cos(e0+e0)=cos2<0,符合题意.故选D.
(3)由已知图像可知,函数f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以函数y=f(x)·g(x)是奇函数,故排除选项B;当x∈-π,-π2时,f(x)·g(x)<0,当x∈-π2,0时,f(x)·g(x)>0,同时y=f(x)·g(x)在x=0处无定义,故选A.
例5C　要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个不同的实根,即函数y=f(x)的图像与直线y=-x-a的图像有两个交点,从图像可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.

对点训练3B　关于x的方程a=f(x)恰有两个不同的实根,等价于y=a,y=f(x)的图像有两个不同的交点,画出y=a,y=f(x)的图像,如图,

由图可知,当a∈0,12∪[1,2)时,y=a,y=f(x)的图像有两个不同的交点,此时,关于x的方程a=f(x)恰有两个不同的实根,所以实数a的取值范围是0,12∪[1,2),故选B.
例6D　因为x<0时,f(x)=2-|x+2|,又因为f(x)是R上的奇函数,作出函数f(x)的图像如下图,

y=f(x+a)的图像可以看成是y=f(x)的图像向左(a>0时)或向右(a<0时)平移|a|个单位长度而得.当a>0时,y=f(x)的图像至少向左平移6个单位长度(不含6个单位长度)才能满足f(x+a)>f(x)成立,当a<0时,y=f(x)的图像向右平移至多2个单位长度(不含2个单位长度)才能满足f(x+a)>f(x)成立(对任意的x∈[-1,2]),故a∈(-2,0)∪(6,+∞).故选D.
对点训练4B　∵f(x+1)=2f(x),
∴f(x)=2f(x-1).
∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),
∴f(x)的图像如图所示.

∵当2<x≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),∴令4(x-2)(x-3)=-89,整理得9x2-45x+56=0,
即(3x-7)(3x-8)=0,
解得x1=73,x2=83.
∵当x∈(-∞,m]时,f(x)≥-89恒成立,即m≤73,故m∈-∞,73.
例7A　∵f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2,∴f(x)的图像关于点(1,1)中心对称,作出其大致图像,如图所示,

∵f(x)+2a=0没有负实数根,即y=f(x)的图像与y=-2a图像在(-∞,0)无交点,
∴-2a≤1或-2a≥2,解得a≥-12或a≤-1.
故选A.
对点训练5D　因为f(x)=|x-m|与函数g(x)的图像关于y轴对称,又g(x)在区间(1,2)内递减,则f(x)在区间(-2,-1)内递增,而f(x)=|x-m|=x-m,x≥m,-x+m,x<m在区间(m,+∞)上递增,则有m≤-2,即m的取值范围为(-∞,-2],故选D.