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考点规范练10 函数的图像
考点规范练B册第6页
基础巩固组
1.(2015河北保定模拟)函数y=的大致图像为( )
答案:A
解析:y=21-x=,因为0<<1,所以y=为减函数,取x=0时,则y=2,故选A.
2.已知f(x)=2x,则函数y=f(|x-1|)的图像为( )
答案:D
解析:法一:f(|x-1|)=2|x-1|.
当x=0时,y=2.可排除A,C.
当x=-1时,y=4.可排除B.
法二:y=2x→y=2|x|→y=2|x-1|,经过图像的对称、平移可得到所求.
3.(2015河北唐山高三质检)为了得到函数y=log2的图像,可将函数y=log2x的图像上所有的点( )
A.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,再向右平移1个单位
B.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向左平移1个单位
C.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位
D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,再向右平移1个单位
答案:A
解析:y=log2=log2(x-1log2(x-1),由y=log2x的图像纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,可得y=log2x的图像,再向右平移1个单位,可得y=log2(x-1)的图像,也即y=log2的图像.
4.(2015浙江,文5)函数f(x)=cos x(-π≤x≤π且x≠0)的图像可能为( )
〚导学号32470724〛
答案:D
解析:因为f(-x)=cos(-x)=-cos x=-f(x),所以f(x)为奇函数.排除A,B;
又f(π)=cos π=-π+<0,排除C.故选D.
5.
(2015安徽,文10)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>0,b<0,c>0,d>0
B.a>0,b<0,c<0,d>0
C.a<0,b<0,c>0,d>0
D.a>0,b>0,c>0,d<0
答案:A
解析:由图像可知f(0)=d>0,f'(x)=3ax2+2bx+c,x1,x2为方程3ax2+2bx+c=0的两根,因此x1+x2=-,x1·x2=.由图像可知x∈(-∞,x1)时,f'(x)>0,所以a>0.而由图像知x1,x2均为正数,所以->0,>0,由此可得b<0,c>0,故选A.
6.(2015江西九江模拟)由函数y=log2x的图像变为y=log2(2-x)的图像,所经过的变化是( )
A.先关于x轴对称,再向左平移2个单位
B.先关于x轴对称,再向右平移2个单位
C.先关于y轴对称,再向左平移2个单位
D.先关于y轴对称,再向右平移2个单位
答案:D
解析:函数y=log2x先关于y轴对称得到y=log2(-x),再向右平移2个单位,
得到y=log2[-(x-2)]=log2(2-x).
7.(2015课标全国Ⅰ,文12)设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=( )
A.-1 B.1 C.2 D.4
答案:C
解析:设(x,y)是函数y=f(x)图像上的任意一点,它关于直线y=-x的对称点为(-y,-x),由已知得点(-y,-x)在曲线y=2x+a上,∴-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,
∴f(-2)+f(-4)=-log22+a+(-log24)+a=1,解得a=2.
8.函数y=xcos x+sin x的图像大致为( )
〚导学号32470725〛
答案:D
解析:因为f(-x)=-x·cos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-f(x),故该函数为奇函数,排除B,又x∈,y>0,排除C,而x=π时,y=-π,排除A,故选D.
9.已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )
A. B.(-∞,)
C. D.〚导学号32470726〛
答案:B
解析:由已知得函数f(x)的图像关于y轴对称的函数为h(x)=x2+e-x-(x>0).
令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-,作函数M(x)=e-x-的图像,显然当a≤0时,函数y=ln(x+a)的图像与M(x)的图像一定有交点.
当a>0时,若函数y=ln(x+a)的图像与M(x)的图像有交点,则ln a<,则0<a<.综上a<.故选B.
10.(2015安徽,文14)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图像只有一个交点,则a的值为 .
答案:-
解析:在同一坐标系画出y=2a和y=|x-a|-1的图像如图.由图可知,要使两函数的图像只有一个交点,则2a=-1,a=-.
11.(2015山东日照一模)已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是 .
答案:5
解析:方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=或1.作出y=f(x)的图像,由图像知零点的个数为5.
12.(2015石家庄二中月考)若函数y=f(x)的图像过点(1,1),则函数f(4-x)的图像一定经过点 .
答案:(3,1)
解析:由于函数y=f(4-x)的图像可以看作y=f(x)的图像先关于y轴对称,再向右平移4个单位得到.点(1,1)关于y轴对称的点为(-1,1),再将此点向右平移4个单位可推出函数y=f(4-x)的图像过定点(3,1).
能力提升组
13.(2015东北三校第一次联合模拟)已知函数f(x)=的值域是[0,2],则实数a的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,] C.[1,2] D.[,2]〚导学号32470727〛
答案:B
解析:先作出函数f(x)=log2(1-x)+1,-1≤x<0的图像,再研究f(x)=x3-3x+2,0≤x≤a的图像.令f'(x)=3x2-3=0,得x=1(x=-1舍去),由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.∴当x=1时,f(x)在0≤x≤a有最小值f(1)=0,又f()=2.∴1≤a≤.故选B.
14.已知函数f(x)=-|x|+1,若关于x的方程f2(x)+(2m-1)f(x)+4-2m=0有4个不同的实数解,则实数m的取值范围是( )
A.m≥ B.m>
C.m>- D.m<-〚导学号32470728〛
答案:B
解析:函数f(x)的图像如图所示.
设t=f(x)∈(-∞,1],
则关于x的方程f2(x)+(2m-1)·f(x)+4-2m=0有4个不同的实数解,
等价于方程t2+(2m-1)t+4-2m=0有2个小于1的不同的实数解.
设g(t)=t2+(2m-1)t+4-2m,则
解得故m>.
15.(2015天津,文8)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案:A
解析:因为f(x)=
所以f(2-x)=
=
f(x)+f(2-x)=
所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=
其图像如图所示.
显然函数图像与x轴有2个交点,故函数有2个零点.
16.已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是 .
答案:(-∞,0)∪(1,+∞)
解析:要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图像与直线y=b有两个不同的交点.
当0≤a≤1时,由f(x)的图像知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.
当a<0时,由f(x)的图像(如图①)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,0)上递减,在[0,+∞)上递增,且a3<0,a2>0,所以,当0<b<a2时,f(x)图像与y=b有两个不同交点.
图①
图②
当a>1时,由f(x)的图像(如图②)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,+∞)上递增,但a3>a2,所以当a2<b≤a3时,f(x)图像与y=b有两个不同的交点.
综上,实数a的取值范围是a<0或a>1.
17.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则k的取值范围是 .
答案:
解析:由题意作出f(x)在[-1,3]上的图像如图所示.
记y=k(x+1)+1,故函数y=k(x+1)+1的图像过定点A(-1,1).
记B(2,0),由图像知,方程f(x)=kx+k+1有四个根,
即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图像有四个交点,
故kAB<k<0.又kAB==-,
故-<k<0.
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