2022高考数学一轮复习-第二章-函数-2.8-函数与方程学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.8 函数与方程学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.8 函数与方程学案北师大版

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2.8　函数与方程
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使　　　　成立的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点. 
(2)与函数零点有关的等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与　　　　有交点⇔函数y=f(x)有　　　　. 
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系

函　数
y=ax2+bx+c(a>0)
Δ>0
Δ=0
Δ<0
图　像

与x轴
的交点

无交点
零点个数

3.二分法
函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上连续不断,且　　　　　　,通过不断地把它的零点所在区间　　　　　,使所得区间的两个端点逐步逼近　　　　　　,进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 

1.若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像连续不断,且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.
2.f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图像连续不断,则f(a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).(　　)
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(　　)
(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.(　　)
(4)已知函数f(x)在(a,b)内图像连续且单调,若f(a)f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.(　　)
(5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个.(　　)
2.(2020云南玉溪一中二模)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是(　　)

A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
3.(2020山东济南二模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为(　　)
A.(-1,0)　　B.(0,1)　　C.(1,2)　　D.(2,3)
4.若函数f(x)=2x-a2-a在(-∞,1]上存在零点,则正实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(0,1] C.(0,2) D.(0,2]
5.(2020天津和平区一模)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点,则g(x0)=　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
判断函数零点所在的区间

【例1】(1)(2020陕西西安中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为(　　)

x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5

A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(e-1,1)
C.(0,e-1) D.(1,e)
解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是否连续,然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点.
(3)通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
对点训练1(1)(2020辽宁沈阳二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)-2x的一个零点所在的区间是(　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

(2)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图像,则g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区间是(　　)
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)

考点
判断函数零点的个数

【例2】(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(2020广东肇庆二模,理11)已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,则函数F(x)=f(x)+x+41-2x在区间[-9,10]上零点的个数为(　　)
A.10 B.12
C.18 D.20
解题心得判断函数零点个数的方法
(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图像在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.
(3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.
对点训练2(1)(2020山东青岛二模,8)已知图像连续不断的函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2 020]上的零点个数为(　　)

A.5 050 B.4 041
C.4 040 D.2 020
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x),若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为　　　　. 

考点
函数零点的应用(多考向探究)

考向1　已知函数零点所在区间求参数
【例3】(1)(2020山东烟台模拟,6)函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
(2)(2020湖南湘潭三模,理16)已知函数f(x)=2x(x2+m),0≤x≤1,2x+1-x2-m,-1≤x<0,若在区间[-1,1]上方程f(x)=1只有一个解,则实数m的取值范围为　　　. 
解题心得对于已知函数零点所在区间求参数的问题:若已知函数在所给区间上连续且单调,则由零点存在定理列出含参数的不等式,求出参数的范围;若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图像利用数形结合法求参数的范围.
对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若存在x∈(-1,1),f(x)=0,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-3)∪(1,+∞)
B.(-∞,-3)
C.(-3,1)
D.(1,+∞)
(2)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是　　　　. 

考向2　已知函数零点个数求参数问题
【例4】(1)(2020东北三省四市模拟,理11)已知函数f(x)=2x+1+2,x≤0,|log2x|,x>0,若关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则实数a的取值范围为(　　)

A.3,165
B.3,165
C.(3,4)
D.(3,4]
(2)(2020四川成都七中三模,文16)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与一次函数y=x的图像恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是　　　　. 
解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,再数形结合求解.
对点训练4(1)(2020天津河北区一模,9)已知函数f(x)=x3-2x,x≤0,-lnx,x>0,若函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,2) B.[0,1)
C.(-∞,2] D.(-∞,1]
(2)(2020山东济宁5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,任意x∈R都有f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-loga(x+1)(a>0,a≠1)在区间(-1,9]内恰有三个不同零点,则实数a的取值范围是　　　. 

1.函数零点的常用判定方法:
(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0.
2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.
3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.

1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.
2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像等综合考虑.

2.8　函数与方程
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)f(x)=0　(2)x轴　零点　(3)连续不断的　f(a)·f(b)<0　f(x0)=0
2.(x1,0),(x2,0)　(x1,0)　2　1　0
3.f(a)f(b)<0　一分为二　零点
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2.B　易知f(x)=2x+3x在R上递增,且f(-2)=2-2-6<0,f(-1)=2-1-3<0,f(0)=1>0,所以由函数零点存在定理得,零点所在的区间是(-1,0).故选B.
3.C　易知函数f(x)=x3+x-4在R上递增,因f(0)=-4<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C.
4.B　由f(x)=2x-a2-a=0,得2x=a2+a,由x∈(-∞,1],得2x∈(0,2],可得0<a2+a≤2,解得0<a≤1,故选B.
5.2　∵函数f(x)=lnx+x-4在定义域(0,+∞)上单调递增,且其图像是连续不断的,f(e)=1+e-4<0,f(3)=ln3-1>0,∴函数的零点所在的区间为(e,3),g(x0)=[x0]=2.
关键能力·学案突破
例1(1)C　(2)D　(1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)<0,f(2)>0,所以方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C.
(2)令f(x)-lnx=k,则f(x)=lnx+k.由f[f(x)-lnx]=e+1,得f(k)=e+1.
又f(k)=lnk+k=e+1,可知k=e.故f(x)=lnx+e,所以f'(x)=1x,x>0.
所以f(x)-f'(x)=lnx-1x+e.令g(x)=lnx-1x+e-e=lnx-1x,x∈(0,+∞).
因为g(x)=lnx-1x在(0,+∞)内的图像是连续的,且g(1)=-1<0,g(e)=1-1e>0,
所以存在x0∈(1,e),使g(x0)=0.故选D.
对点训练1(1)B　(2)B　(1)∵f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3-1>lne-1=0,即f(1)f(2)<0,∴函数f(x)的零点在区间(1,2)上.故选B.
(2)由图像知12<b2<1,得1<b<2,f'(x)=2x-b,所以g(x)=ex+f'(x)=ex+2x-b,由g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,所以g(0)g(1)<0,则g(x)的零点在区间(0,1)上,故选B.
例2(1)B　(2)A　(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=12x.
令g(x)=|log0.5x|,h(x)=12x,画出g(x),h(x)的图像如图所示.

因为两个函数的图像有两个交点,所以f(x)有两个零点.
(2)求F(x)在[-9,10]上零点的个数,等价于f(x)与g(x)=-x+41-2x的图像在[-9,10]上交点的个数,
∵f(x)为偶函数,且当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,∴当x∈[0,1]时,f(x)=x,
又f(1+x)=f(1-x),
∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(1-1-x)=f(-x)=f(x),即f(x)的周期为2,g(x)=-x+41-2x=x+42x-1=12+94(x-12),
∴g(x)的图像关于点12,12对称,作出f(x)与g(x)在12,10上的函数图像如图所示,

由图像可知f(x)与g(x)在12,10上有5个交点,根据对称性可知在-9,12上也有5个交点,故选A.
对点训练2(1)B　(2)7　(1)由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(0)=0,由f(x)的周期为2,得f(0)=f(2)=…=f(2020)=0,由y=|f(x)|是偶函数,得其图像关于y轴对称,由y=|f(x)|在[-1,1]上恰有5个零点,则y=|f(x)|在[-1,0)和(0,1]上各有两个零点,因f(x)的周期为2,所以y=|f(x)|的周期为1,所以y=|f(x)|在(1,2]上也有两个零点,同理在(2,3],…,(2019,2020]上各有两个零点.因为函数|f(x)|的图像是由f(x)的图像关于x轴对称到x轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f(x)在区间[0,2020]上的零点个数为1+2020×2=4041.
(2)由题意作出y=f(x)在区间[-2,4]上的图像,如图所示,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为7.

例3(1)C　(2)m-1≤m<-12,或m=1　(1)函数f(x)=2x-2x-a在区间(1,2)内连续,因为f(x)的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,解得0<a<3,故选C.
(2)当0≤x≤1时,由f(x)=1,得2x(x2+m)=1,即12x=x2+m;
当-1≤x≤0时,由f(x)=1,得2x+1-x2-m=1,即2x+1-1=x2+m.
设g(x)=(12) x,0≤x≤1,2x+1-1,-1≤x<0,h(x)=x2+m,则问题转化为g(x)与h(x)=x2+m的图像在[-1,1]上只有一个交点.
画出g(x)与h(x)在[-1,1]上的图像如图所示,

结合图像可知,当h(0)=1,即m=1时,两个函数的图像只有一个交点;
当h(1)<g(1),h(-1)≥g(-1),解得-1≤m<-12时,两个函数的图像只有一个交点,故所求实数m的取值范围是m-1≤m<-12,或m=1.
对点训练3(1)A　(2)-14,2　(1)由f(x)=2ax-a+3,若存在x∈(-1,1),f(x)=0,可得f(-1)f(1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,可得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).
(2)因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.方程a=4x-2x可变形为a=2x-122-14,
因为x∈[-1,1],所以2x∈12,2,
所以2x-122-14∈-14,2.
所以实数a的取值范围是-14,2.
例4(1)B　(2)1,e1e　　(1)令f(x)=t,则t2-2at+3a=0,作出函数f(x)和直线y=t的图像如图所示,

由图像可知y=t与y=f(x)最多有3个不同交点,又当x≤0时,2x+1+2>2,
要使关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则t2-2at+3a=0有两个不同的根t1,t2∈(2,4],设g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知,Δ=4a2-12a>0,2<a<4,g(2)>0,g(4)≥0,解得3<a≤165.故选B.
(2)由题意,ax=x,两边取对数得,xlna=lnx,
所以lna=lnxx,设y=lnxx,则y'=1-lnxx2,故y=lnxx在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减,
所以当x=e时,得ymax=1e,所以当0<lna<1e,方程lna=lnxx有两个实数根,所以a∈1,e1e.
对点训练4(1)A　(2)19,15∪(3,7)　(1)函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,等价于方程f(x)-x-a=0有3个实数根,即方程a=f(x)-x有3个实数根,设h(x)=f(x)-x,当x≤0时,h(x)=x3-3x,h'(x)=3x2-3,由h'(x)>0得x<-1或x>1(舍去),此时h(x)递增.由h'(x)<0得-1<x<1,∵x≤0,∴-1<x<0,此时h(x)递减,即当x=-1时,函数取得极大值为h(-1)=-1+3=2.当x>0时,h(x)=f(x)-x=-lnx-x递减,作出函数h(x)的图像如图所示,

要使a=h(x)有3个根,则0≤a<2,即实数a的取值范围为[0,2),故选A.
(2)∵f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2-x)=f(2+x),∴f(x-2)=f(2+x),令x-2=t,则f(t)=f(4+t),∴f(x)的周期为4.
由g(x)=f(x)-loga(x+1)=0得f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1).
函数y=f(x)和y=loga(x+1)的图像在区间(-1,9]内有3个不同的公共点.
作函数f(x)与y=loga(x+1)在(-1,9]上的图像如下,

当a>1时,loga(2+1)<2,loga(6+1)>2,
解得3<a<7.
当0<a<1时,loga(4+1)>-1,loga(8+1)<-1,
解得19<a<15.故实数a的取值范围为19,15∪(3,7).