2022高考数学一轮复习-第二章-函数-2.3-函数的奇偶性与周期性学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.3 函数的奇偶性与周期性学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.3 函数的奇偶性与周期性学案北师大版

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2.3　函数的奇偶性与周期性
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.函数的奇偶性

奇偶性
定　　义
图像特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有　　　　　　　,那么函数f(x)是偶函数 
关于　　　对称 
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有　　　　　　　,那么函数f(x)是奇函数 
关于　　　对称 

2.函数的周期性
(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:①T≠0;②　　　　　　　　　对定义域内的任意x都成立. 
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　　　　　,那么这个　　　　　　　　就叫作f(x)的最小正周期. 
(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).

1.函数奇偶性的五个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
(5)只有f(x)=0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数.
2.周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数):
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;
(2)若f(x+a)=±1f(x),则T=2a;
(3)若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b.
3.对称性的四个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图像关于直线x=a对称.
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称;
(4)若y=f(x)对任意的x∈R,都有f(a-x)=f(b+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a+b2对称;都有f(a-x)=b-f(x),即f(a-x)+f(x)=b,则函数y=f(x)的图像关于点a2,b2中心对称.
(5)已知函数f(x)图像的对称轴为x=m,若f(x)在区间(m,+∞)上递增,则当|x1-m|>|x2-m|时,f(x1)>f(x2);若f(x)在区间(m,+∞)上递减,则当|x1-m|>|x2-m|时,f(x1)<f(x2).

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=x2在区间(0,+∞)内是偶函数.(　　)
(2)偶函数的图像不一定过原点,奇函数的图像一定过原点.(　　)
(3)若函数y=f(x-2)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称.(　　)
(4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.(　　)
(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)上递减,则f(x)在(0,+∞)上递增.(　　)
(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.(　　)

2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=aln x+a.若f(-e)=4,则f(0)+f(1)=(　　)
A.-1
B.0
C.-2
D.1
3.(2019全国2,文6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(　　)
A.e-x-1
B.e-x+1
C.-e-x-1
D.-e-x+1
4.(2020全国2,文10)设函数f(x)=x3-1x3,则f(x)(　　)
A.是奇函数,且在(0,+∞)递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)递减
5.(2020江苏,7)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x23,则f(-8)的值是　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
函数奇偶性的判断

【例1】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xlg(x+x2+1);
(2)f(x)=-x2+2x+1(x>0),x2+2x-1(x<0);
(3)f(x)=4-x2|x+3|-3.
思考判断函数的奇偶性要注意什么?

解题心得判断函数的奇偶性要注意两点
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.
(2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
对点训练1(1)(2020河南实验中学4月模拟,3)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(　　)

A.f(x)·g(x)是偶函数
B.|f(x)|·g(x)是奇函数
C.f(x)·|g(x)|是奇函数
D.|f(x)·g(x)|是奇函数
(2)在下列函数中,与函数f(x)=2x-1-12x+1的奇偶性、单调性均相同的是(　　)
A.y=ex B.y=ln(x+x2+1)
C.y=x2 D.y=tan x

考点
函数奇偶性的应用

【例2】(1)设f(x)-x2=g(x),x∈R,若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为(　　)

A.g(x)=x3 B.g(x)=cos x
C.g(x)=1+x D.g(x)=xex
(2)已知函数y=f(x+1)-2是奇函数,g(x)=2x-1x-1,且f(x)与g(x)的图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则x1+x2+…+x6+y1+y2+…+y6=　　　　　. 
(3)(2020河北武邑中学三模,5)已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上递增,则f(x-1)≤f(2x)的解集为(　　)
A.-1,23 B.-1,13
C.[-1,1] D.13,1
思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?
解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等.
2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.
对点训练2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若x>0时,f(x)=xln x,则x<0时,f(x)=(　　)
A.xln x B.xln(-x)
C.-xln x D.-xln(-x)
(2)已知函数f(x)=a-22x+1(a∈R)为奇函数,则f(1)=(　　)
A.-53 B.13 C.23 D.32
(3)(2020湖南师大附中一模,理13)已知函数f(x)=ax-log2(2x+1)+cos x(a∈R)为偶函数,则a=　　　. 

考点
函数的周期性的应用

【例3】(1)(2018全国2,理11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(　　)
A.-50 B.0 C.2 D.50
(2)(2020江西名校大联考,理13)已知函数f(x)=2x,x≤4,f(x-1),x>4,则f(5+log26)的值为　　　　. 
解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.
对点训练3(1)(2020陕西西安中学八模,理8)已知函数f(x)定义域为R且满足f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x),若f(1)=4,则f(6)+f(7)=(　　)
A.-8 B.-4 C.0 D.4
(2)(2020陕西二模,文6)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-52+f(2 019)=(　　)
A.-2 B.2 C.4 D.6

考点
函数的对称性

【例4】已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)的图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑i=1m(xi+yi)=(　　)

A.0 B.m
C.2m D.4m
思考你知道的函数的对称性的结论有哪些?
解题心得函数对称性的判断与应用
(1)对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴或对称中心对称.
(2)轴对称的等价描述:①f(a-x)=f(a+x)⇔f(x)的图像关于直线x=a轴对称(当a=0时,恰好就是偶函数);②f(a-x)=f(b+x)⇔f(x)的图像关于直线x=a+b2轴对称;③f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),进而可得到f(x)的图像关于直线x=a轴对称.
(3)中心对称的等价描述:①f(a-x)=-f(a+x)⇔f(x)的图像关于点(a,0)中心对称(当a=0时,恰好就是奇函数);②f(a-x)=-f(b+x)⇔f(x)的图像关于点a+b2,0中心对称;③f(x+a)是奇函数,则f(x+a)=-f(-x+a),进而可得到f(x)的图像关于点(a,0)中心对称.
对点训练4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=　　　　. 

考点
函数性质的综合应用

【例5】(1)(2020江西名校大联考,理9)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(log24.1),b=g(-20.2),c=g(π),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
(2)(2020安徽合肥一中模拟,理5)已知函数f(x)的图像为[-1,1]上连续不断的曲线,且2 019f(-x)=12019f(x),f(x)在[0,1]上递减.若flog12m<flog14(m+2)成立,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-1,2) B.12,2
C.12,2 D.(0,2)
(3)(2020山东潍坊二模,5)设函数f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-cos x,则不等式f(2x-1)+f(x-2)>0的解集为(　　)
A.(-∞,1) B.-∞,13
C.13,+∞ D.(1,+∞)
思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?
解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.
(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.
(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.
对点训练5(1)(2020河南开封三模,文12,理11)若函数f(x)对任意a,b∈R,同时满足当a+b=0时有f(a)+f(b)=0;当a+b>0时有f(a)+f(b)>0,则称f(x)为Ω函数.下列函数:①f(x)=x-sin x,②f(x)=ex-e-x,③f(x)=ex+e-x,④f(x)=0,x=0,-1x,x≠0,是Ω函数的为(　　)

A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
(2)(2020河北张家口二模,文6,理6)已知函数f(x)是偶函数,f(x+1)为奇函数,并且当x∈[1,2]时,f(x)=1-|x-2|,则下列选项正确的是(　　)
A.f(x)在(-3,-2)上为减少的,且f(x)>0
B.f(x)在(-3,-2)上为减少的,且f(x)<0
C.f(x)在(-3,-2)上为增加的,且f(x)>0
D.f(x)在(-3,-2)上为增加的,且f(x)<0

1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.
2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)⇔f(-x)∓f(x)=0⇔f(-x)f(x)=±1(f(x)≠0).
3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.
4.求函数周期的方法

1.判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域.
2.函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此.

2.3　函数的奇偶性与周期性
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.f(-x)=f(x)　y轴　f(-x)=-f(x)
原点
2.(1)②f(x+T)=f(x)　(2)最小的正数　最小的正数
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
2.C　由题意f(-e)=-f(e)=-2a=4,可得a=-2.所以当x>0时,f(x)=-2lnx-2,所以f(1)=-2.又因为f(0)=0,所以f(0)+f(1)=-2.故选C.
3.D　∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选D.
4.A　由题意可知,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵f(x)=x3-1x3,
∴f(-x)=(-x)3-1(-x)3=-x3-1x3=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
易知f(x)=x3-1x3在区间(0,+∞)内递增.
故选A.
5.-4　∵y=f(x)是奇函数,
∴f(-8)=-f(8)=-823=-4.
关键能力·学案突破
例1解(1)∵x2+1>|x|≥0,∴函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)lg(-x+(-x)2+1)
=-xlg(x2+1-x)
=xlg(x2+1+x)=f(x),
即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
(2)由题意知函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);
当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).
故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
(3)∵4-x2≥0,|x+3|≠3,
∴-2≤x≤2,且x≠0.
∴函数的定义域关于原点对称.
∴f(x)=4-x2x+3-3=4-x2x.
又f(-x)=4-(-x)2-x=-4-x2x,
∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
对点训练1(1)C　(2)B　(1)∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),故函数f(x)·g(x)是奇函数,故A错误;
|f(-x)|·g(-x)=|f(x)|·g(x),故函数|f(x)|·g(x)是偶函数,故B错误;
f(-x)·|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,故函数f(x)·|g(x)|是奇函数,故C正确;
|f(-x)·g(-x)|=|f(x)·g(x)|,故函数|f(x)·g(x)|为偶函数,故D错误.故选C.
(2)由题意,f(-x)=2-x-1-12-x+1=12x+1-2x-1=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数.因为2x-1和-12x+1都为R上的增函数,所以f(x)=2x-1-12x+1为R上的增函数.对于A,y=ex不是奇函数,排除A;对于B,由f(-x)=ln(-x+(-x)2+1)=ln1x+x2+1=-ln(x+x2+1)=-f(x),所以f(x)为奇函数,由复合函数的单调性知y=ln(x+x2+1)为增函数,故B正确;对于C,y=x2不是奇函数,排除C;对于D,y=tanx在R上不是单调函数,排除D.故选B.
例2(1)B　(2)18　(3)B　(1)因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(-x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B中的函数为偶函数,故选B.
(2)因为函数y=f(x+1)-2为奇函数,所以函数f(x)的图像关于点(1,2)对称,g(x)=2x-1x-1=1x-1+2关于点(1,2)对称,所以两个函数图像的交点也关于点(1,2)对称,则(x1+x2+…+x6)+(y1+y2+…+y6)=2×3+4×3=18.故答案为18.
(3)∵f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,∴2b+1-b=0,∴b=-1.
∵f(x)在[-2,0]上递增,
∴f(x)在[0,2]上递减.
由f(x-1)≤f(2x)可得|x-1|≥|2x|,即(x-1)2≥4x2,且-2≤x-1≤2,-2≤2x≤2,求得-1≤x≤13,故选B.
对点训练2(1)B　(2)B　(3)12　(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-xln(-x).又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=xln(-x).故选B.
(2)由题意得f(0)=0,∴a-22=0,
∴a=1.经检验,当a=1时,函数f(x)是奇函数.
所以f(1)=1-22+1=13.故选B.
(3)f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即a(-x)-log2(2-x+1)+cos(-x)=ax-log2(2x+1)+cosx,变形可得2ax=log2(2x+1)-log2(2-x+1)=x,解得a=12.
例3(1)C　(2)12　(1)∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.
∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.
(2)由题意当x>4时,函数f(x)=f(x-1),所以f(x)在(4,+∞)上的周期为1.因为2<log26<3,所以5+log26∈(7,8),1+log26∈(3,4),所以f(5+log26)=f(1+log26)=21+log26=2×6=12.
对点训练3(1)B　(2)A　(1)由f(-x)=-f(x),得f(x)为奇函数,所以f(0)=0.由f(x)=f(2-x)=-f(x-2),则f(x-2)=-f(x-4)=-f(x),所以f(x)的周期为4.f(6)+f(7)=f(2)+f(-1)=f(0)-f(1)=0-4=-4.故选B.
(2)因为f(x)的周期为2,所以f-52=f-12,f(2019)=f(1).
因为f(x)为奇函数,所以f-12=-f12=-2,f(-1)=-f(1).又因为f(-1)=f(1),
所以f(-1)=f(1)=0.
故f-52+f(2019)=-2.
故选A.
例4B　由f(-x)=2-f(x)得f(-x)+f(x)=2,即函数f(x)的图像关于点(0,1)中心对称.又y=x+1x=1+1x的图像也关于点(0,1)中心对称,∴x1+x2+…+xm=0,y1+y2+…+ym=m,∴∑i=1m(xi+yi)=m.
对点训练4-8　∵f(x)是奇函数,∴f(x-4)=-f(x)可化为f(x)=-f(x-4)=f(4-x),即f(x)的图像关于直线x=2对称,且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)可知函数周期为8.不妨设x1<x2<x3<x4,则x1+x2=2×(-6)=-12,x3+x4=2×2=4,∴x1+x2+x3+x4=-8.
例5(1)C　(2)C　(3)D　(1)因为奇函数f(x)在R上是增函数,所以当x>0时,f(x)>0.对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,有0<f(x1)<f(x2),故g(x1)<g(x2),所以g(x)在(0,+∞)上递增.因为g(-x)=-xf(-x)=xf(x),所以g(x)为偶函数.又因为log24.1∈(2,3),20.2∈(1,2),所以1<20.2<log24.1<π,而b=g(-20.2)=g(20.2),所以b<a<c,故选C.
(2)由2019f(-x)=12019f(x),得2019f(-x)·2019f(x)=1,
即2019f(-x)+f(x)=1,即f(x)+f(-x)=0,故函数f(x)为奇函数,则f(x)在[-1,1]上递减.
所以log12m>log14(m+2),-1≤log12m≤1,-1≤log14(m+2)≤1,m>0,m+2>0,
解得12≤m<2.故选C.
(3)当x≥0时,f'(x)=ex+sinx>0,则f(x)在[0,+∞)上递增.f(x)为奇函数,则f(x)在区间(-∞,0]上也递增,故f(x)为R上的增函数.由f(2x-1)+f(x-2)>0,可得f(2x-1)>-f(x-2),即f(2x-1)>f(2-x),又因为f(x)在R上为增函数,所以2x-1>2-x,解得x>1,故选D.
对点训练5(1)A　(2)C　(1)当a+b=0时有f(a)+f(b)=0,即f(-a)=-f(a),则f(x)为R上的奇函数;当a+b>0时有f(a)+f(b)>0,即当a>-b时有f(a)>-f(b)=f(-b),可得f(x)为R上的增函数.则函数f(x)为R上的奇函数,且为增函数.
由①f(x)=x-sinx,定义域为R,f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx=-f(x),即有f(x)为奇函数;
又f'(x)=1-cosx≥0,可得f(x)为R上的增函数,故①是Ω函数.
②f(x)=ex-e-x,定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),即有f(x)为奇函数,
又f'(x)=ex+e-x>0,可得f(x)为R上的增函数,故②是Ω函数.
③f(x)=ex+e-x,定义域为R,f(-x)=e-x+ex=f(x),可得f(x)为偶函数,故③不是Ω函数.
④f(x)=0,x=0,-1x,x≠0,定义域为R,当x≠0时,f(-x)=1x=-f(x),可得f(x)为奇函数,
又f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上递增,但在R上不为增函数,比如f(-1)>f(1),故④不是Ω函数.故选A.
(2)根据题意,函数f(x+1)为奇函数,则有f(x+1)=-f(-x+1),
即f(x+2)=-f(-x).
又由f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),
则有f(x+2)=-f(x),
即有f(x+4)=f(x).
当x∈[1,2]时,f(x)=1-|x-2|=x-1,
若x∈(-3,-2),则x+4∈(1,2),
则f(x+4)=(x+4)-1=x+3,
则当x∈(-3,-2)时,有f(x)=x+3,则f(x)为增加的且f(x)>f(-3)=0.
故f(x)在(-3,-2)上为增加的,且f(x)>0.故选C.