2022高考数学一轮复习-第二章-函数-2.1-函数及其表示学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.1 函数及其表示学案北师大版2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.1 函数及其表示学案北师大版年级：姓名：第二章函数2.1函数及其表示必备知识预案自诊知识梳理1.函数与映射的概念函数映射定义建立在两个A到B的一种确定的对应关系f,使对于集合A中的一个数x,在集合B中都有的数f(x)和它对应建立在两个A到B的一种确定的对应关系f,使对于集合A中的元素x,在集合B中都有的元素y与之对应记法y=f(x),xAf:AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),xA中,x叫作自变量,叫作函数的定义域;与x的值相对应的y值叫作函数值,叫作函数的值域,显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:、和.(3)相等函数:如果两个函数的相同,并且完全一致,那么我们就称这两个函数相等.3.函数的表示方法表示函数的常用方法有、和.4.分段函数(1)定义:如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.(2)分段函数的相关结论分段函数虽然由几个部分组成,但是它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.1.映射:(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的映射就是函数;(2)映射问题允许多对一,但不允许一对多.2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)函数是其定义域到值域的映射.()(2)函数y=f(x)的图像与直线x=1有两个交点.()(3)定义域相同,值域也相同的两个函数一定是相等函数.()(4)对于函数f:AB,其值域是集合B.()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.()2.(2020北京,11)函数f(x)=1x+1+ln x的定义域是.3.已知f,g都是从A到A的映射(其中A=1,2,3),其对应关系如下表:x123f312g321则f(g(3)等于()A.1B.2C.3D.不存在4.(2020辽宁大连模拟,文2)设函数f(x)=1-x2,x1,x2+x-2,x1,则f1f(2)的值为()A.1516B.-2716C.89D.185.如图表示的是从集合A到集合B的对应,其中是映射,是函数.关键能力学案突破考点函数及其有关的概念【例1】以下给出的同组函数中,表示相等函数的有.(只填序号)f1(x)=xx,f2(x)=1;f1(x)=1,x1,2,1x2,3,x2,f2(x):xx11x1,则ff(-2)=.思考求分段函数的函数值如何选取函数的解析式?考向2已知分段函数的等式求参数的值【例5】已知函数f(x)=ex-1,x1,x2-1,x1,则f(x)f(x+1)的解集为()A.(-1,+)B.(-1,1)C.-12,+D.-12,1思考如何选取由分段函数构成的不等式中函数的解析式?解题心得分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题,应首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.(2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,应分类讨论.(3)解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.对点训练4(1)(2020湖南郴州二模,文14)函数f(x)=1+log3(3-x),x0,且ff-76=1,则a=()A.32B.2C.3D.ln 2(3)设函数f(x)=x+1, x0,2x,x0,则满足f(x)+fx-121的x的取值范围是.考点函数在实际生活中的应用【例7】某地区上年度电价为0.80元/kWh,年用电量为a kWh.本年度计划将电价降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之间,而用户期望电价为0.40元/kWh.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.30元/kWh.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?解题心得利用函数的有关知识解决数学应用问题,关键是建立函数关系式,为此,要从题目的文字表述中寻找等量关系.对点训练5(2020北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,甲企业在0,t1的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.1.函数的定义域是研究函数的基础,它与函数的对应关系决定了函数的值域,同时,定义域和对应关系相同的两个函数是同一个函数.因此要树立函数定义域优先的意识.2.求函数y=f(x)定义域的方法:函数给出的方式确定定义域的方法列表法表中实数x的集合图像法图像在x轴上的投影所覆盖实数x的集合解析法使解析式有意义的实数x的集合实际问题有实际意义且使相应解析式有意义的x的集合第二章函数2.1函数及其表示必备知识预案自诊知识梳理1.非空数集任意唯一确定非空集合任意一个唯一确定2.(1)x的取值范围A函数值的集合f(x)|xA(2)定义域值域对应关系(3)定义域对应关系3.解析法图像法列表法考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.(0,+)由题意得x0,x+10,则x0,故答案为(0,+).3.C由题中表格知g(3)=1,故f(g(3)=f(1)=3.4.A因为当x1时,f(x)=x2+x-2,所以f(2)=4,1f(2)=14.又当x1时,f(x)=1-x2,所以f1f(2)=f14=1-142=1516,故选A.5.函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,所以不是映射也不是函数;表示的对应是映射;是函数,由于中集合A,B不是数集,所以不是函数.关键能力学案突破例1不是相等函数.f1(x)的定义域为xR|x0,f2(x)的定义域为R.是相等函数.x与y的对应关系完全相同且定义域相同.是相等函数.理由同.对点训练1(1)B(2)A(1)图像中的每一个x的值对应唯一的y值,因此都是函数图像;,当x0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图像.故选B.(2)由题中函数f(x)的图像可得,f(1)=2,f(3)=1,故f(1)+f(3)=3,故选A.例2(1)B(2)D(1)要使函数有意义,则x满足1-x0,x+10,解得-1x0,解得-52x52,x0,所以00,t1,且x=2t-1.f(t)=lg2t-1.故f(x)=lg2x-1(x1).(2)设f(x)=ax2+bx+c(a0),由f(0)=0,知c=0,则f(x)=ax2+bx,又由f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,所以2a+b=b+1,a+b=1,解得a=b=12.所以f(x)=12x2+12x,xR.(3)f(x)+2f1x=x,f1x+2f(x)=1x.解方程组f(x)+2f1x=x,f1x+2f(x)=1x,得f(x)=23x-x3(x0).(4)由f(-x)+2f(x)=2x,得f(x)+2f(-x)=2-x,2-,得3f(x)=2x+1-2-x,即f(x)=2x+1-2-x3.故f(x)的解析式是f(x)=2x+1-2-x3,xR.对点训练3(1)A(2)2x+7(3)2x-1x(x0)(4)13x2+x(1)令t=1x,t0,t-1.则有x=1t,所以f(t)=11+1t=tt+1,t0,t-1,所以f(x)=xx+1,x0,x-1,故选A.(2)设f(x)=ax+b(a0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b,即ax+5a+b=2x+17不论x为何值都成立,则有a=2,b+5a=17,解得a=2,b=7.故f(x)=2x+7.(3)2f(x)+f1x=3x,把中的x换成1x,得2f1x+f(x)=3x.2-,得3f(x)=6x-3x,f(x)=2x-1x(x0).(4)由f(x)+2f(-x)=x2-x,得f(-x)+2f(x)=x2+x,-2,得f(x)=13x2+x.例414已知f(x)=2-x,x1,2-x,x1,则ff(-2)=f(2)=2-2=14.例5D当ex-1=1时,x=12符合题意.当log3(x2-1)=1时,x2-1=3,解得x=2(负根舍去),故a的值为1或2.故选D.例6C当x0时,x+11,则不等式f(x)f(x+1),即x2-1(x+1)2-1,求得-12x0.当01,则不等式f(x)f(x+1),此时f(x)=x2-10f(x+1)=log2(x+1),则01时,不等式f(x)f(x+1),即log2x1.综上可得,不等式的解集为-12,+,故选C.对点训练4(1)10(2)A(3)-14,+(1)由题意,得f(-6)+f(log37)=1+log39+3log37=1+2+7=10.故答案为10.(2)因为f-76=sin-76=-sin+6=sin6=12,所以ff-76=f12=log2a+12=1,所以a+12=2,a=32.(3)由题意得当x12时,2x+2x-121恒成立,即x12;当01恒成立,即01,解得x-14,即-14x0.综上,x的取值范围是-14,+.例7解(1)依题意,当实际电价为x元/kWh时,用电量将增加至kx-0.4+akWh,故电力部门的收益为y=kx-0.4+a(x-0.3)(0.55x0.75).(2)易知,上年度的收益为(0.8-0.3)a元,依题意,0.2ax-0.4+a(x-0.3)a(0.8-0.3)(1+20%),且0.55x0.75,解得0.60x0.75.所以,当电价最低定为0.60元/kWh时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.对点训练5-f(b)-f(a)b-a表示区间端点连线斜率的相反数,在t1,t2这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,故正确;在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,甲企业在t1,t2这段时间内,斜率最小,其相反数最大,即在t1,t2的污水治理能力最强,故错误;在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,故正确.