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2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.1 函数及其表示学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.1 函数及其表示学案北师大版

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第二章　函数
2.1　函数及其表示
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.函数与映射的概念

函　　数
映　　射
定　义
建立在两个　　　　　　A到B的一种确定的对应关系f,使对于集合A中的　　　　一个数x,在集合B中都有　　　　　　的数f(x)和它对应 
建立在两个　　　　　A到B的一种确定的对应关系f,使对于集合A中的　　　　　　元素x,在集合B中都有　　　　　　的元素y与之对应 
记　法
y=f(x),x∈A
f:A→B

2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,　　　　　　　　　　叫作函数的定义域;与x的值相对应的y值叫作函数值,　　　　　　　　　　　　　　叫作函数的值域,显然,值域是集合B的子集. 
(2)函数的三要素:　　　　　、　　　　和　　　　　　. 
(3)相等函数:如果两个函数的　　　　　相同,并且　　　　　　　完全一致,那么我们就称这两个函数相等. 
3.函数的表示方法
表示函数的常用方法有　　　　　、　　　　　　和　　　　　　　. 
4.分段函数
(1)定义:
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
(2)分段函数的相关结论
①分段函数虽然由几个部分组成,但是它表示的是一个函数.
②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.

1.映射:(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的映射就是函数;
(2)映射问题允许多对一,但不允许一对多.
2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数是其定义域到值域的映射.(　　)
(2)函数y=f(x)的图像与直线x=1有两个交点.(　　)
(3)定义域相同,值域也相同的两个函数一定是相等函数.(　　)
(4)对于函数f:A→B,其值域是集合B.(　　)
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.(　　)
2.(2020北京,11)函数f(x)=1x+1+ln x的定义域是　　　　. 
3.已知f,g都是从A到A的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:

x
1
2
3
f
3
1
2
g
3
2
1

则f(g(3))等于(　　)

A.1 B.2 C.3 D.不存在
4.(2020辽宁大连模拟,文2)设函数f(x)=1-x2,x≤1,x2+x-2,x>1,则f1f(2)的值为(　　)
A.1516 B.-2716 C.89 D.18
5.如图表示的是从集合A到集合B的对应,其中　　　　是映射,　　　　是函数. 

关键能力学案突破　

考点
函数及其有关的概念

【例1】以下给出的同组函数中,表示相等函数的有　　　　　.(只填序号) 
①f1(x)=xx,f2(x)=1;
②f1(x)=1,x≤1,2,1<x<2,3,x≥2,
f2(x):

x
x≤1
1<x<2
x≥2
y
1
2
3

③f1(x)=2x,f2(x):如图所示.

思考怎样判断两个函数是否相等?
解题心得两个函数是否相等,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,它们才相等.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可以用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均为相等函数.
对点训练1(1)下列四个图像中,是函数图像的是(　　)

A.① B.①③④ C.①②③ D.③④
(2)如图,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(1)+f(3)=(　　)

A.3 B.0 C.1 D.2

考点
求函数的定义域、值域

【例2】(1)(2020福建厦门期末,理3)函数f(x)=log2(1-x)+x+1的定义域为(　　)
A.(-∞,1) B.[-1,1)
C.(-1,1] D.[-1,+∞)
(2)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A.y=x B.y=lg x
C.y=2x D.y=1x
思考已知函数解析式,如何求函数的定义域?
解题心得1.函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,求解时,把自变量的限制条件列成一个不等式(组),不等式(组)的解集就是函数的定义域,解集要用集合或者区间表示.
2.由实际问题求得的函数定义域,除了要使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.
对点训练2(1)(2020湖南湘潭三模,文14)函数f(x)=25-4x2+ln(ex-1)的定义域为　　　　. 
(2)若函数y=f(x+1)的值域为[-1,1],则函数y=f(3x+2)的值域为(　　)
A.[-1,1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[2,8]
(3)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为(　　)
A.[-1,1] B.[1,2]
C.[10,100] D.[0,lg 2]

考点
求函数的解析式

【例3】(1)已知f2x+1=lg x,求f(x).
(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式.
(3)已知f(x)+2f1x=x(x≠0),求f(x).
(4)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.
思考求函数解析式有哪些基本的方法?

解题心得函数解析式的求法
(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;
(3)方程法:已知关于f(x)与f1x或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,与其组成方程组,通过解方程组求出f(x).
提醒:由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域.
对点训练3(1)函数f1x=11+x,则函数f(x)的解析式是(　　)
A.xx+1 B.1+x
C.1x+1 D.x
(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=　　　　　. 
(3)已知f(x)满足2f(x)+f1x=3x,则f(x)=　　　　　　　　. 
(4)已知函数的定义域为R,且f(x)+2f(-x)=x2-x,则f(x)=　　　　. 

考点
分段函数(多考向探究)

考向1　分段函数求值
【例4】(2020广东汕头一模,文13)已知函数f(x)=2-x,x≤1,2-x,x>1,则f[f(-2)]=　　　　. 
思考求分段函数的函数值如何选取函数的解析式?
考向2　已知分段函数的等式求参数的值
【例5】已知函数f(x)=ex-1,x<2,log3(x2-1),x≥2,若f(a)=1,则a的值是(　　)
A.1 B.2
C.-2或2 D.1或2
思考求分段函数的含有参数的函数值如何选取函数的解析式?
考向3　已知函数不等式求自变量的范围
【例6】(2020安徽合肥二模,文9)已知函数f(x)=log2x,x>1,x2-1,x≤1,则f(x)<f(x+1)的解集为(　　)
A.(-1,+∞) B.(-1,1)
C.-12,+∞ D.-12,1
思考如何选取由分段函数构成的不等式中函数的解析式?
解题心得分段函数问题的求解策略
(1)分段函数的求值问题,应首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.
(2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,应分类讨论.
(3)解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.
对点训练4(1)(2020湖南郴州二模,文14)函数f(x)=1+log3(3-x),x<0,3x,x≥0,则f(-6)+f(log37)=　　　　. 
(2)(2020山东青岛二模,4)已知函数f(x)=sinx,x≤0,log2(a+x),x>0,且ff-7π6=1,则a=(　　)
A.32 B.2 C.3 D.ln 2
(3)设函数f(x)=x+1, x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+fx-12>1的x的取值范围是　　　　　　　. 

考点
函数在实际生活中的应用

【例7】某地区上年度电价为0.80元/kW·h,年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间,而用户期望电价为0.40元/kW·h.
经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.30元/kW·h.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?

解题心得利用函数的有关知识解决数学应用问题,关键是建立函数关系式,为此,要从题目的文字表述中寻找等量关系.
对点训练5(2020北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[0,t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　. 

1.函数的定义域是研究函数的基础,它与函数的对应关系决定了函数的值域,同时,定义域和对应关系相同的两个函数是同一个函数.因此要树立函数定义域优先的意识.
2.求函数y=f(x)定义域的方法:
函数给出的方式
确定定义域的方法
列表法
表中实数x的集合
图像法
图像在x轴上的投影所覆盖实数x的集合
解析法
使解析式有意义的实数x的集合
实际问题
有实际意义且使相应解析式有意义的x的集合

第二章　函数
2.1　函数及其表示
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.非空数集　任意　唯一确定　非空集合　任意一个　唯一确定　
2.(1)x的取值范围A　函数值的集合{f(x)|x∈A}　(2)定义域　值域　对应关系　(3)定义域　对应关系
3.解析法　图像法　列表法
考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.(0,+∞)　由题意得x>0,x+1≠0,则x>0,故答案为(0,+∞).
3.C　由题中表格知g(3)=1,
故f(g(3))=f(1)=3.
4.A　因为当x>1时,f(x)=x2+x-2,所以f(2)=4,1f(2)=14.又当x≤1时,f(x)=1-x2,所以f1f(2)=f14=1-142=1516,故选A.
5.①②④　①②　函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,所以③不是映射也不是函数;①②④表示的对应是映射;①②是函数,由于④中集合A,B不是数集,所以不是函数.
关键能力·学案突破
例1②③　①不是相等函数.f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为R.
②是相等函数.x与y的对应关系完全相同且定义域相同.
③是相等函数.理由同②.
对点训练1(1)B　(2)A　(1)①③④图像中的每一个x的值对应唯一的y值,因此都是函数图像;②,当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图像.故选B.
(2)由题中函数f(x)的图像可得,f(1)=2,f(3)=1,故f(1)+f(3)=3,故选A.
例2(1)B　(2)D　(1)要使函数有意义,则x满足1-x>0,x+1≥0,解得-1≤x<1,即函数f(x)=log2(1-x)+x+1的定义域为[-1,1),故选B.
(2)y=10lgx=x,定义域与值域均为(0,+∞).y=x的定义域和值域均为R;y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R;y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞);y=1x的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.
对点训练2(1)0,52　(2)A　(3)C
(1)要使函数f(x)=25-4x2+ln(ex-1)有意义,则x满足25-4x2≥0,ex-1>0,解得-52≤x≤52,x>0,所以0<x≤52,所以f(x)的定义域为0,52.
(2)函数y=f(x+1)的值域为[-1,1],由于函数中的自变量取定义域内的任意数时,函数的值域都为[-1,1],故函数y=f(3x+2)的值域为[-1,1].故选A.
(3)因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,故0≤x2≤1,所以1≤x2+1≤2.因为f(x2+1)与f(lgx)的外函数是同一个对应关系,所以1≤lgx≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lgx)的定义域为[10,100].
例3解(1)令2x+1=t.∵x>0,∴t>1,且x=2t-1.∴f(t)=lg2t-1.
故f(x)=lg2x-1(x>1).
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=0,知c=0,则f(x)=ax2+bx,
又由f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
所以2a+b=b+1,a+b=1,解得a=b=12.
所以f(x)=12x2+12x,x∈R.
(3)∵f(x)+2f1x=x,
∴f1x+2f(x)=1x.
解方程组f(x)+2f1x=x,f1x+2f(x)=1x,
得f(x)=23x-x3(x≠0).
(4)由f(-x)+2f(x)=2x,①
得f(x)+2f(-x)=2-x,②
①×2-②,得3f(x)=2x+1-2-x,
即f(x)=2x+1-2-x3.故f(x)的解析式是f(x)=2x+1-2-x3,x∈R.
对点训练3(1)A　(2)2x+7　(3)2x-1x(x≠0)　(4)13x2+x　(1)令t=1x,t≠0,t≠-1.则有x=1t,所以f(t)=11+1t=tt+1,t≠0,t≠-1,
所以f(x)=xx+1,x≠0,x≠-1,故选A.
(2)设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b,即ax+5a+b=2x+17不论x为何值都成立,则有a=2,b+5a=17,解得a=2,b=7.故f(x)=2x+7.
(3)∵2f(x)+f1x=3x,①
把①中的x换成1x,
得2f1x+f(x)=3x.②
①×2-②,得3f(x)=6x-3x,
∴f(x)=2x-1x(x≠0).
(4)由f(x)+2f(-x)=x2-x,①
得f(-x)+2f(x)=x2+x,②
①-2×②,得f(x)=13x2+x.
例414　已知f(x)=2-x,x≤1,2-x,x>1,
则f[f(-2)]=f(2)=2-2=14.
例5D　当ex-1=1时,x=1<2符合题意.
当log3(x2-1)=1时,x2-1=3,解得x=2(负根舍去),
故a的值为1或2.故选D.
例6C　当x≤0时,x+1≤1,则不等式f(x)<f(x+1),即x2-1<(x+1)2-1,求得-12<x≤0.
当0<x≤1时,x+1>1,则不等式f(x)<f(x+1),
此时f(x)=x2-1<0<f(x+1)=log2(x+1),则0<x≤1成立.
当x>1时,不等式f(x)<f(x+1),即log2x<log2(x+1),求得x>1.
综上可得,不等式的解集为-12,+∞,故选C.
对点训练4(1)10　(2)A　(3)-14,+∞　(1)由题意,得f(-6)+f(log37)=1+log39+3log37=1+2+7=10.
故答案为10.
(2)因为f-7π6=sin-7π6=-sinπ+π6=sinπ6=12,
所以ff-7π6=f12
=log2a+12=1,
所以a+12=2,a=32.
(3)由题意得当x>12时,2x+2x-12>1恒成立,即x>12;当0<x≤12时,2x+x-12+1>1恒成立,即0<x≤12;
当x≤0时,x+1+x-12+1>1,解得x>-14,即-14<x≤0.综上,x的取值范围是-14,+∞.
例7解(1)依题意,当实际电价为x元/kW·h时,用电量将增加至kx-0.4+akW·h,故电力部门的收益为y=kx-0.4+a(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)易知,上年度的收益为[(0.8-0.3)a]元,依题意,0.2ax-0.4+a(x-0.3)≥a(0.8-0.3)(1+20%),且0.55≤x≤0.75,解得0.60≤x≤0.75.所以,当电价最低定为0.60元/kW·h时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
对点训练5①②③　-f(b)-f(a)b-a表示区间端点连线斜率的相反数,在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,故①正确;在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[t1,t2]这段时间内,斜率最小,其相反数最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最强,故④错误;在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故②正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,故③正确.