北京艺术生高考数学复习资料—八导数.doc

导数概念与运算
知识清单
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。
即f（x）==。
说明：
求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：
（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；
（2）求平均变化率=；
（3）取极限，得导数f’(x)=。
2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。
3．几种常见函数的导数:
① ② ③; ④;
⑤⑥; ⑦; ⑧.
4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。
形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|
导数应用
知识清单
1． 单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，
如果，则为增函数； 如果，则为减函数；
如果在某区间内恒有，则为常数；
2．极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
3．最值：
一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ在(a，b)内的极值；
②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
课前预习
1．求下列函数导数
（1） （2）
（3） （4）y=
2．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
3．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为
4．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 。
5．在区间上的最大值是 2
典型例题
一 导数的概念与运算
例1：如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为54m/s
变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，
都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.a≥2
例：求所给函数的导数：。
变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 (－∞,－ 3)∪(0, 3)

例2：已知函数.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点处的切线的方程.
变式1：已知函数.
（1）求这个函数在点处的切线的方程；
（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.
变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝
例3：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

变式1：函数的一个单调递增区间是
变式2：已知函数
(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则的是 .
(2)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是 .
例4：求函数的极值.
求函数在上的最大值与最小值..
变式1：已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.
变式2：若函数，当时，函数极值，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．
变式3：已知函数，对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。
　 实战训练
1. 已知曲线S:y=3x－x3及点,则过点P可向S引切线的条数为
2. y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于
3. 函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是
4.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(,0)处的切线，则l1与l2的夹角为___________.
5. 设函数f (x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 .
6．已知函数的图象在点处的切线方程是，则
7．函数在区间上的最小值是
实战训练B
1．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
2．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为 2
3．若，则下列命题正确的是（ ）B
A． B． C． D．
4．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
5．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 1
6． 是的导函数，则的值是 3
8．函数的单调递增区间是
9．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则