2022高考数学一轮复习-第二章-函数-2.2-函数的单调性与最值学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的单调性与最值学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的单调性与最值学案北师大版

年级：
姓名：

2.2　函数的单调性与最值
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1<x2时,都有　　　　　　　　,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 
当x1<x2时,都有　　　　　　　　　,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 
图像
描述

自左向右看图像是　　　　　 

自左向右看图像是　　　　　 

(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是　　　　　　　或　　　　　　,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,　　　　　叫作函数y=f(x)的单调区间. 
2.函数的最值

前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I,都有　　　　　; 
(2)存在x0∈I,使得　　　　　　 
(3)对于任意x∈I,都有　　　　　; 
(4)存在x0∈I,使得　　　　 
结论
M为最大值
M为最小值

1.函数单调性的常用结论:

f(x)在区间D上是增函数
f(x)在区间D上是减函数
定义法
x1<x2⇔f(x1)<f(x2)
x1<x2⇔f(x1)>f(x2)
图像法
从左到右函数图像上升
从左到右函数图像下降
导数法
导数大于零
导数小于零
运算法
增加的+增加的
减少的+减少的
复合函
数法
内外层单调性相同
内外层单调性相反

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)内是减少的.(　　)
(2)函数f(x)=log5(2x+1)的递增区间是(0,+∞).(　　)
(3)函数y=f(x)在[a,+∞)上是增加的,则函数的递增区间是[a,+∞).(　　)
(4)设任意x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,那么f(x)在[a,b]上是增加的⇔f(x1)-f(x2)x1-x2>0.(　　)
(5)所有的单调函数都有最值.(　　)
2.(2020广东潮州检测)下列函数在区间(0,1)上为增加的是(　　)

A.y=-x3+1 B.y=cos x
C.y=log12x D.y=x-1x
3.(2020广东佛山一中月考)已知a>0且a≠1,函数f(x)=ax,x≥1,ax+a-2,x<1在R上递增,那么实数a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞) B.(0,1) C.(1,2) D.(1,2]
4.已知函数f(x)=2x+1x-1,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)有最大值53,无最小值
B.f(x)有最大值53,最小值75
C.f(x)有最大值75,无最小值
D.f(x)有最大值2,最小值75
5.(2020湖南三湘名校十月联考,14)已知函数f(x)的图像关于y轴对称,当x≥0时,f(x)递增,则不等式f(2x)>f(1-x)的解集为　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
证明或判断函数的单调性

【例1】讨论函数f(x)=x+ax(a>0)在(0,+∞)内的单调性.
思考判断函数单调性的基本方法有哪些?

解题心得1.判断函数单调性的四种方法
(1)定义法;
(2)图像法;
(3)利用已知函数的单调性;
(4)导数法.
2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法
(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断;
(2)可导函数可以利用导数证明.
3.复合函数单调性的判断方法
复合函数y=f(g(x))的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
对点训练1判断并证明函数f(x)=axx-1(a≠0)在(-1,1)上的单调性.

考点
求函数的单调区间

【例2】(1)函数f(x)=|x2-3x+2|的递增区间是(　　)

A.32,+∞
B.1,32和[2,+∞)
C.(-∞,1]和32,2
D.-∞,32和[2,+∞)
(2)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的递增区间是(　　)
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
(3)函数f(x)=(3-x2)ex的递增区间是　　　　　;递减区间是　　　　　. 
思考求函数的单调区间有哪些方法?
解题心得求函数的单调区间与确定函数单调性的方法一致,常用以下方法:
(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.
(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义.
(3)图像法:如果f(x)是以图像形式给出的,或者f(x)的图像易作出,可由图像的直观性写出它的单调区间.
(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
对点训练2(1)函数f(x)=log2(x2-3x-4)的递减区间为(　　)
A.(-∞,-1) B.-∞,-32
C.32,+∞ D.(4,+∞)
(2)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x),则(　　)
A.f(x)在(2,6)上递增
B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2
C.f(x)在(2,6)上递减
D.y=f(x)的图像关于点(4,0)对称
(3)已知函数y=|x|(1-x)在区间A上递增,则区间A是(　　)
A.(-∞,0) B.0,12
C.[0,+∞) D.12,+∞

考点
函数单调性的应用(多考向探究)

考向1　利用函数的单调性求函数的值域或最大(小)值
【例3】(1)(2020河南驻马店二模,文13)函数f(x)=9x2+x-1的最小值为　　　. 

(2)函数y=2-xx+1,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是(　　)
A.(1,2) B.(-1,2)
C.[1,2) D.[-1,2)
解题心得函数最大(小)值的几何意义
函数的最大值对应图像最高点的纵坐标,函数的最小值对应图像最低点的纵坐标.利用单调性求解最大(小)值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.

对点训练3(2020辽宁大连模拟,文10)在实数的原有运算法则中,我们补充新运算“􀱇”,定义如下,当a≥b时,a􀱇b=a;当a<b时,a􀱇b=b2,则函数f(x)=(1􀱇x)·x-(2􀱇x)(x∈[-2,2])的最大值等于(　　)
A.-1 B.1 C.12 D.6
考向2　利用函数的单调性比较大小
【例4】(1)(2020全国1,理12)若2a+log2a=4b+2log4b,则(　　)

A.a>2b B.a<2b
C.a>b2 D.a<b2
(2)e416,e525,e636(其中e为自然常数)的大小关系是(　　)
A.e416<e525<e636
B.e636<e525<e416
C.e525<e416<e636
D.e636<e416<e525
解题心得对已知函数解析式比较函数值大小的问题,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决;对没有给出函数解析式的比较大小问题,需要先构造函数,再求函数的单调区间,最后利用函数的单调性比较大小.
对点训练4(2020天津和平一模,7)函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有f(x1)x1>f(x2)x2,记a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53×f(log135),则a,b,c大小关系为(　　)

A.c>b>a B.b>c>a
C.a>b>c D.a>c>b
考向3　利用函数的单调性解不等式
【例5】(2020新高考全国1,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)

A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
解题心得求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)<f(n)的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,应注意m,n应在定义域内取值.
对点训练5已知函数f(x)为(0,+∞)上是增加的,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为　　　　. 
考向4　利用函数的单调性求参数的值(或取值范围)
【例6】(2020山西太原三模,文10)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),则a的取值范围是(　　)

A.12,1 B.[1,2] C.12,2 D.(0,2]
解题心得利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.
对点训练6已知函数f(x)=log13(x2-ax+3a)在[1,+∞)上递减,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.-12,2 D.-12,2

1.函数单调性判定的常用方法:图像法、定义法、导数法、利用已知函数的单调性.
2.求函数值域或最值的常用方法:
(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.
(2)图像法:先作出函数在给定区间上的图像,再观察其最高点、最低点,求出值域或最值.
(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解.
(4)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值.
(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后,再用基本不等式求出值域或最值.
(6)导数法:首先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出值域或最值.
3.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解.
4.解决分段函数的单调性问题时,要高度关注:
(1)抓住对变量所在区间的讨论.
(2)保证各段上同增(减)时,要注意上段、下段的端点值之间的大小关系.
(3)弄清最终结果取并还是取交.

1.求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误.
2.不同的单调区间之间不能用符号“∪”连接.

双变量问题中一般穿插有两个及以上的“任意”或“存在”量词,学生往往因为不知道如何等价转换致使解题走向迷茫,部分学生甚至机械地背诵结论导致走入误区.解决双变量“存在性或任意性”问题,关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),旨在落实逻辑推理核心素养.
类型1　形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”
【例1】已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x)=196x-13,若对任意x1∈[-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f'(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
解由题意知,g(x)在[0,2]上的值域为-13,6.
令h(x)=f'(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2),则h'(x)=6x+2,由h'(x)=0得x=-13.
当x∈-1,-13时,h'(x)<0;
当x∈-13,1时,h'(x)>0.
所以[h(x)]min=h-13=-a2-2a-13.
又由题意可知,h(x)的值域是-13,6的子集,
所以h(-1)≤6,-a2-2a-13≥-13,h(1)≤6,解得实数a的取值范围是[-2,0].
思维突破此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于实数a的不等式组,求得参数的取值范围.
类型2　形如“存在x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”
【例2】已知函数f(x)=2x3x+1,x∈(12,1],-13x+16,x∈[0,12],函数g(x)=ksinπx6-2k+2(k>0),若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.
解由题意,易得函数f(x)在[0,1]上的值域为[0,1],g(x)在[0,1]上的值域为2-2k,2-3k2,并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况,即2-2k>1或2-32k<0,解得k<12或k>43,所以要使两个值域有公共部分,实数k的取值范围是12,43.
思维突破本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3　形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)<g(x2)成立”
【例3】已知函数f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若任意x1∈12,1,存在x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是　　　　. 
答案12,+∞
解析依题意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)=x+4x在12,1上递减,∴f(x)max=f12=172.又g(x)=2x+a在[2,3]上递增,
∴g(x)max=8+a,因此172≤8+a,解得a≥12.
思维突破理解量词的含义,将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max,利用函数的单调性,求f(x)与g(x)的最大值,得关于a的不等式,求得a的取值范围.
思考1:在[例3]中,若把“存在x2∈[2,3]”变为“任意x2∈[2,3]”时,其他条件不变,则实数a的取值范围是　　　　. 
提示问题“等价转化”为[f(x)]max≤[g(x)]min,请读者自行求解.
思考2:在[例3]中,若把“任意x1∈12,1”改为“存在x1∈12,1”,其他条件不变,则实数a的取值范围是　　　　. 
提示问题“等价转化”为f(x)min≤g(x)max,请读者自行求解.
思考3:在[例3]中,若把“使得f(x1)≤g(x2)”变为“f(x1)≥g(x2)”,其他条件不变,则实数a的取值范围是　　　　. 
提示问题“等价转化”为f(x)min≥g(x)min,请读者自行求解.

2.2　函数的单调性与最值
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)f(x1)<f(x2)　f(x1)>f(x2)　上升的
下降的　(2)增函数　减函数　区间D
2.f(x)≤M　f(x0)=M　f(x)≥M　f(x0)=M
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2.D　y=-x3+1,y=cosx,y=log12x在区间(0,1)上都是减少的,y=x-1x在区间(0,1)上是增加的.
3.D　因为a>0且a≠1,f(x)=ax,x≥1,ax+a-2,x<1在R上递增,所以a>1,a≥2a-2,解得1<a≤2.
4.A　f(x)=2x+1x-1=3x-1+2在[-8,-4)上是减少的,故f(x)有最大值f(-8)=53,无最小值,故选A.
5.(-∞,-1)∪13,+∞　结合题意,f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)递增,要满足f(2x)>f(1-x),则要求|2x|>|1-x|,即(2x)2>(1-x)2,解得x<-1或x>13.
关键能力·学案突破
例1解(方法1)
设x1,x2是任意两个正数,且0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+ax1-x2+ax2=x1-x2x1x2(x1x2-a).
当0<x1<x2≤a时,0<x1x2<a.
又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(0,a]上是减少的.
当a≤x1<x2时,x1x2>a.
又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2).
所以函数f(x)在[a,+∞)上是增加的.
(方法2)
因为f(x)=x+ax,所以f'(x)=1-ax2.
由f'(x)>0,得1-ax2>0,即x2>a,
解得x>a;
由f'(x)<0,得1-ax2<0,即x2<a,
解得0<x<a.
所以f(x)在(0,a)内是减少的,在(a,+∞)内是增加的.
对点训练1解当a>0时,f(x)在(-1,1)上递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上递增.证明如下:
(方法1　定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为f(x)=ax-1+1x-1=a1+1x-1,则f(x1)-f(x2)=a1+1x1-1-a1+1x2-1=a(x2-x1)(x1-1)(x2-1),
由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递增.
(方法2　导数法)f'(x)=a(x-1)-ax(x-1)2=-a(x-1)2,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上递增.
例2(1)B　(2)D　(3)(-3,1)　(-∞,-3),(1,+∞)　(1)y=|x2-3x+2|=x2-3x+2,x≤1或x≥2,-(x2-3x+2),1<x<2.
如图所示,函数的递增区间是1,32和[2,+∞).

(2)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的递增区间为(4,+∞).
(3)f'(x)=-2x·ex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex[-(x+3)(x-1)],当-3<x<1时,f'(x)>0,当x>1或x<-3时,f'(x)<0,所以函数y=(3-x2)ex的递增区间是(-3,1),递减区间是(-∞,-3),(1,+∞).
对点训练2(1)A　(2)B　(3)B　(1)由x2-3x-4>0,得f(x)的定义域为x>4或x<-1,由y=log2x是增函数,知f(x)的递减区间即y=x2-3x-4的递减区间,
当x∈-∞,32时,函数y=x2-3x-4递减,
结合f(x)的定义域,可得函数f(x)=log2(x2-3x-4)的递减区间为(-∞,-1).故选A.
(2)f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)],定义域为(2,6),令t=(x-2)(6-x),则y=lnt,
二次函数t=(x-2)(6-x)的对称轴为直线x=4,
所以f(x)在(2,4)上递增,在(4,6)上递减,A错,C也错,D显然是错误的;当x=4时,t有最大值,所以f(x)max=ln(4-2)+ln(6-4)=2ln2,B正确.
(3)y=|x|(1-x)
=-x-122+14,x≥0,x-122-14,x<0.
画出函数的图像如图所示.

由图易知原函数在0,12上递增.故选B.
例3(1)9　(2)D　(1)∵f(x)的定义域为[1,+∞),且f(x)在定义域上递增,
∴f(x)min=f(1)=9.故答案为9.
(2)函数y=2-xx+1=3-(x+1)x+1=3x+1-1在区间(-1,+∞)上递减.
当x=2时,y=0.根据题意x∈(m,n]时,ymin=0.所以m的取值范围是[-1,2).故选D.
对点训练3D　因为a􀱇b=a,a≥b,b2,a<b,所以f(x)=(1􀱇x)·x-(2􀱇x)=x-2,-2≤x≤1,x3-2,1<x≤2,易知函数在[-2,2]上递增,所以f(x)max=f(2)=6,故选D.
例4(1)B　(2)A　(1)由指数与对数运算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.
因为22b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a<22b+log22b.
令f(x)=2x+log2x,由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+∞)上递增.由f(a)<f(2b)可得a<2b.
(2)由于e416=e442,e525=e552,e636=e662,故可构造函数f(x)=exx2(x≠0),于是f(4)=e416,f(5)=e525,f(6)=e636.而f'(x)=exx2'=ex·x2-ex·2xx4=ex(x2-2x)x4,令f'(x)>0得x<0或x>2,即函数f(x)在(2,+∞)上递增,因此有f(4)<f(5)<f(6),即e416<e525<e636.
对点训练4C　构造函数g(x)=f(x)x,则函数g(x)是减函数.
a=25f(0.22)=f(0.22)0.22=g(0.22),
b=f(1)=f(1)1=g(1),
c=-log53f(log135)=f(log35)log35=g(log35),
∵0.22<1<log35,∴a>b>c.
例5D　不等式xf(x-1)≥0可化为x≥0,f(x-1)≥0或x≤0,f(x-1)≤0,
∵f(2)=0,∴f(-2)=0.
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.
∵f(x)在(-∞,0)上递减,
∴f(x)在(0,+∞)上也递减.
∴x≥0,x-1≥0,x-1≤2或x≤0,x-1≤0,x-1≥-2,
解得1≤x≤3或-1≤x≤0,
∴满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选D.
对点训练5(-3,-1)∪(3,+∞)　由已知可得a2-a>0,a+3>0,a2-a>a+3,解得-3<a<-1或a>3,所以实数a的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).
例6C　原问题等价于f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上递增,所以f(|log2a|)≤f(1),所以|log2a|≤1.求解关于实数a的对数不等式,可得实数a的取值范围是12,2.
对点训练6D　令t=g(x)=x2-ax+3a,易知f(t)=log13t在其定义域上递减,要使f(x)=log13(x2-ax+3a)在[1,+∞)上递减,则t=g(x)=x2-ax+3a在[1,+∞)上递增,且t=g(x)=x2-ax+3a>0,即--a2≤1,g(1)>0,所以a≤2,a>-12,即-12<a≤2,故选D.