2018年高考数学模拟试卷(文科).doc

2018年高考数学模拟试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x2≤1}，B={x|0＜x＜1}，则A∩B=（　　）
A．[﹣1，1） B．（0，1） C．[﹣1，1] D．（﹣1，1）
2．（5分）若i为虚数单位，则复数z=在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）已知等差数列{an}前3项的和为6，a5=8，则a20=（　　）
A．40 B．39 C．38 D．37
4．（5分）若向量，的夹角为，且||=4，||=1，则||=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x+4）2+y2=8无交点，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，） B．（） C．（1，2） D．（2，+∞）
6．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（5分）函数y=log（x2﹣4x+3）的单调递增区间为（　　）
A．（3，+∞） B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，1）∪（3，+∞） D．（0，+∞）
8．（5分）宜宾市组织“歌颂党，歌颂祖国”的歌咏比赛，有甲、乙、丙、丁四个单位进入决赛，只评一个特等奖，在评奖揭晓前，四位评委A，B，C，D对比赛预测如下：
A说：“是甲或乙获得特等奖”； B说：“丁作品获得特等奖”；
C说：“丙、乙未获得特等奖”； D说：“是甲获得特等奖”．
比赛结果公布时，发现这四位评委有三位的话是对的，则获得特等奖的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（5分）某几何组合体的三视图如图所示，则该几何组合体的体积为（　　）
A． B． C．2 D．
10．（5分）若输入S=12，A=4，B=16，n=1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．（5分）分别从写标有1，2，3，4，5，6，7的7个小球中随机摸取两个小球，则摸得的两个小球上的数字之和能被3整除的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：
①当x≥0时，f（x）=e﹣x（x+1）；
②∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；
③f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪，（1，+∞）；
④方程2[f（x）]2﹣f（x）=0有3个根．
其中正确命题的序号是（　　）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）在等比数列{an}中，若a2+a4=，a3=，且公比q＜1，则该数列的通项公式an=　 　．
14．（5分）已知y=f（x）是偶函数，且f（x）=g（x）﹣2x，g（3）=3，则g（﹣3）=　 　．
15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC是边长为的等边三角形，PA=PB=PC，PB⊥平面PAC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为　 　．
16．（5分）在△ABC中，D为AC上一点，若AB=AC，AD=，则△ABC面积的最大值为　 　．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.
17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，
（1）若C=，△ABC的面积为，求a的值；
（2）求的值．

18．（12分）每年4月15至21日是全国肿瘤防治宣传周，全国每天有超1万人确诊为癌症，其中肺癌位列发病首位，吸烟人群是不吸烟人群患肺癌的10倍．某调查小组为了调查中学生吸烟与家庭中有无成人吸烟的关系，发放了500份不记名调查表，据统计中学生吸烟的频率是0.08，家庭中成人吸烟人数的频率分布条形图如图．
（1）根据题意，求出a并完善以下2×2列联表；

家中有成人吸烟
家中无成人吸烟
合计
学生吸烟人数
28

学生不吸烟人数

合计

（2）能否据此判断有97.5%的把握认为中学生吸烟与家庭中有成人吸烟有关？
附表及公式：
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879

K2=，n=a+b+c+d

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，AD=2BC=2，CD=．
（1）求证：平面BMQ⊥平面PAD；
（2）当M是PC的中点时，过B，M，Q的平面去截四棱锥P﹣ABCD，求这个截面的面积．

20．（12分）已知抛物线C的焦点在x轴上，顶点在原点且过点p（2，1），过点（2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作y轴的垂线交C于点N．
（1）求抛物线C的方程；
（2）是否存在直线l，使得以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=alnx+x．
（1）函数y=g（x）有两个零点，求a的取值范围；
（2）当a=1时，证明：f（x）＞g（x）．

（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（参数φ∈R）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，
（I） 求圆C的极坐标方程；
（II） 直线l，射线OM的极坐标方程分别是，，若射线若射线OM分别与圆C分别交于O，P两点，与直线l的交点为Q，求|PQ|的值．

[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|2x﹣1|+2|x+1|．
（I） 若存在x0∈R，使得，求实数m的取值范围；
（II） 若m是（I）中的最大值，且a3+b3=m，证明：0＜a+b≤2．

2018年高考数学模拟试卷（文科）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：集合A={x∈R|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，
B={x|0＜x＜1}，
则A∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）．
故选：B．

2．【解答】解：∵===所对应的点为位于第四象限．
故选：D．
3．【解答】解：（1）设{an}的公差为d，
由已知得若a1+a2+a3=6，a5=8，⇒3a1+3d=6，a1+4d=8，解得a1=0，d=2
故a20=0+（20﹣1）×2=38；
故选：C．　
4．【解答】解：向量，的夹角为，且||=4，||=1，
可得•=4×1×cos=4×=2，
则||==
==4，
故选：C．
5．【解答】解：由圆（x+4）2+y2=8，得到圆心（﹣4，0），半径为：．
∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x+4）2+y2=8无交点，
可得：，化为2b2＞c2．c2＞2a2
∴e．
∴该双曲线的离心率的取值范围是（）．
故选：B．
6．【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=x+2y，可看成是直线z=x+2y的纵截距，
由可得：A（2，3）．
画直线0=x+2y，平移直线过A（2，3）点时z有最大值8．
故z=x+2y的最大值为：8．
故选：C．

7．【解答】解：由x2﹣4x+3＞0，解得x＞3或x＜1．
∴函数y=log（x2﹣4x+3）的定义域为A={x|x＞3或x＜1}．
求函数y=log（x2﹣4x+3）的单调递增区，即求函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1在定义域A内的单调递减区间，
而此函数在定义域A内的单调递减区间为（﹣∞，1），
∴函数y=log（x2﹣4x+3）的单调递增区为（﹣∞，1），
故选：B．　
8．【解答】解：根据题意，假设甲单位获得特等奖，则A、C、D的说法都对，符合题意；
故选：A．
9．【解答】解：由题意可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥S﹣ACF；
右侧是三棱柱ABC﹣DEF，
SA=AB=1．AC=AE=，几何体是正四棱柱的一部分，
体积为：=2．
故选：C．

10．【解答】解：模拟程序的运行，可得
S=12，A=4，B=16，n=1，
满足条件S≤100，执行循环体，S=0，A=8，B=8，n=2
满足条件S≤100，执行循环体，S=0，A=16，B=4，n=3
满足条件S≤100，执行循环体，S=12，A=32，B=2，n=4
满足条件S≤100，执行循环体，S=42，A=64，B=1，n=5
满足条件S≤100，执行循环体，S=105，A=128，B=，n=6
此时，不满足条件S≤100，退出循环，输出n的值为6．
故选：C．
11．【解答】解：分别从标有1，2，3，4，5，6，7的7个小球中随机摸取两个小球，
基本事件总数n==21，
摸得的两个小球上的数字之和能被3整除包含的基本事件有：
（1，2），（1，5），（2，4），（2，7），（3，6），（4，5），（5，7），共7个，
∴摸得的两个小球上的数字之和能被3整除的概率为p==．
故选：D．　
12．【解答】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x），
∴f（x）=e﹣x（x﹣1），
∴故①错误；
②当x＜0时，f′（x）=ex（x+2）；
∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；
∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；
∴f（x）＜f（0）=1；
即﹣e﹣2＜f（x）＜1；
当x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；
∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；
x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；
∴f（x）＞f（0）=﹣1；
∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；
∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；
∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，故②正确；
③当x＜0时，由f（x）=ex（x+1）＜0，得x+1＜0；
即x＜﹣1，
当x＞0时，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＜0，得x﹣1＜0；
得0＜x＜1，
∴f（x）＜0的解集为（0，1）∪（﹣∞，﹣1），
f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故③正确；
④方程2[f（x）]2﹣f（x）=0，即有f（x）=0或f（x）=，
由f（x）=0，可得x=0，1，﹣1；
由f（x）=，由f（﹣1）＜，f（0）＞，可得有一根介于（﹣1，0），
故共有4个根，故④错误．
故选：B．　
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．【解答】解：设等比数列{an}的首项为a1，公比q，（q＜1），
可得a1q+a1q3=，a1q2=，
解得a1=1，q=，
则该数列的通项公式an=．
故答案为：　
14．【解答】解：∵y=f（x）是偶函数，且f（x）=g（x）﹣2x，∴f（﹣3）=g（﹣3）+6，f（3）=g（3）﹣6
又f（﹣3）=f（﹣3），g（3）=3，则g（﹣3）=﹣9．
故答案为：﹣9．
15．【解答】解：由题意，底面△ABC是边长为的等边三角形，PA=PB=PC，PB⊥平面PAC，
把三棱锥P﹣ABC放到正方体中，可得PA=PB=PC是正方体的三个平面对角线．
可得：正方体的边长为1；
三棱锥P﹣ABC外接球半径R=．
球的表面积为：S=4πR2=3π．
故答案为：3π．　
16．【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC上一点，设AB=AC=3x，
则：故cosA=．
所以：==，
△ABC面积S==，
故三角形面积的最大值为9．
故先答案为：9．　
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.
17．【解答】解：（1）△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，
则：利用正弦定理得：a=2b．
∵，
所以：，
解得：．
（2），
=﹣4（1﹣cosC），
=．　
18．【解答】解：（1）由条形图可知，0.48+0.25+0.16+0.09+a=1，解得a=0.02；
由题意填写2×2列联表，如下；

家中有成人吸烟
家中无成人吸烟
合计
学生吸烟人数
28
12
40
学生不吸烟人数
232
228
460
合计
260
240
500
…6分
（2）由表中数据，计算K2=≈5.644＞5.024；
∴有97.5的把握认为中学生吸烟与家庭中有成人吸烟有关…12分　
19．【解答】解：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，DQ=AD=BC，∠ADC=90°，
∴四边形BCDQ是矩形，∴BQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD，又BQ⊂平面BQM，
∴平面PAD⊥平面BQM．
（2）设平面BQM交PD于N，连接NQ，MN，则四边形BQNM就是截面．
由（I）知BQ∥DC，DC⊂平面PCD，
∴BQ∥平面PDC，∴BQ∥MN，又BQ∥CD，
∴MN∥CD，∵M是PC的中点，DN=PD=1，
∴N是PD的中点，∴MN=CD=，
∵BQ⊥平面PAD，QN⊂平面PAD，
∴BQ⊥QN，
∴四边形BQNM是直角梯形，
∴截面面积为S=×（+）×1=．

20．【解答】解：（1）由题意可设抛物线C的方程为y2=2px，而P（2，1）在抛物线上，
∴1=4p，即p=，
∴抛物线C的方程为：y2=x．
（2）由题意可设l：x=ty+2，代入y2=x，得：2y2﹣ty﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=﹣1，y1+y2=，
∴x1x2=（ty1+2）（ty2+2）=t2y1y2+2t（y1+y2）+4=4，
x1+x2=（ty1+2）+（ty2+2）=t（y1+y2）+4=+4，
∴N（，），=（x1﹣，y1﹣），=（x2﹣，y2﹣），
∵若以AB为直径的圆M经过点N，则=（x1﹣）（x2﹣）+（y1﹣）（y2﹣）=0，
∴x1x2﹣（x1+x2）++y1y2﹣（y1+y2）+=0，
∴t4+12t2﹣64=0，即t2=4，t=±2．
∴存在直线l，l的方程：x=±2y+2．
21．【解答】解：（1）g（x）=alnx+x，（x＞0），
当a≥0，g'（x）＞0，g（x）单调递增，不满足条件．
当a＜0，令g'（x）＞0，得x＞﹣a，g（x）单调递增；令g'（x）＜0，得0＜x＜﹣a，g（x）单调递减；
∴g（x）min=g（﹣a）=aln（﹣a）﹣a；又x→0，g（x）→+∞；x→+∞，g（x）→+∞
要使函数y=g（x）有两个零点，g（﹣a）＜0，a＜﹣e
故a的取值范围为：（﹣∞，﹣e）…（4分）
（2）证明：当a=1时，欲证f（x）＞g（x），只需证明ex﹣lnx﹣2＞0
设h（x）=ex﹣lnx﹣2，则，设，则，
所以函数在（0，+∞）上单调递增…（6分）
因为，h'（1）=e﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，
且，使得，即lnx0=﹣x0，
当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞），h'（x）＞0．所以h（x）min=h（x0）
故．
综上可知，f（x）＞g（x）…（12分）
他法：证ex≥x+1≥lnx+2，得证f（x）＞g（x），（等号不同时成立）　
（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为，（参数φ∈R）．
∴（ρcosθ﹣2）2+（ρsinθ）2=（﹣2cosφ）2+（2sinφ）2=4，
∴ρcosθ=4，
∴圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（2）∵直线l的极坐标方程是，射线OM的极坐标方程是，
∴ρcos（）=3，ρ=6，
∵射线OM分别与圆C分别交于O，P两点，与直线l的交点为Q，
∴，P（2，），
∴|PQ|=6﹣2=4．　
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】解：（I）f（x）=|2x﹣1|+|2x+2|≥|2x﹣1﹣（2x+2）|=3，
∵存在x0∈R，使得，∴3+m2≤m+5，
即m2﹣m﹣2≤0，解得﹣1≤m≤2．
（II）由（I）知：m=2，即a3+b3=2，
∵a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）=（a+b）[（a﹣）2+]=2，且（a﹣）2+＞0，
∴a+b＞0．
又2=a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）=（a+b）[（a+b）2﹣3ab]≥（a+b）[（a+b）2﹣（a+b）2]=（a+b）3，
∴（a+b）3≤8，
∴0＜a+b≤2．

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