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2021年高考数学模拟考试卷（十一）（含解析）

2021年高考数学模拟考试卷（十一）（含解析）

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姓名：

高考数学模拟考试卷（十一）
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，，，，若，则所有符合条件的实数组成的集合是　　
A． B．，0， C．， D．
2．（5分）已知复数满足，则复数的模　　
A．0 B．1 C． D．2
3．（5分）的展开式中的系数为　　
A．10 B．20 C．30 D．40
4．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是　　

A． B． C． D．
5．（5分）电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.80，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是　　
A．0.75 B．0.60 C．0.48 D．0.20
6．（5分）“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）在公差为1的等差数列中，已知，，若对任意的正整数，恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B． C． D．
8．（5分）在平面四边形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值为　　
A． B． C．12 D．6
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。
9．（5分）如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下命题正确的是　　

A．与成角 B．与是异面直线
C． D．平面平面
10．（5分）已知，，，且，若，则，，的大小关系可以是　　
A． B． C． D．
11（5分）下列命题正确的有　　
A．若方程表示圆，则的取值范围是
B．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是
C．已知点在圆上，的最大值为1
D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为
12．（5分）已知函数，，则　　
A．在上单调递增
B．是周期函数，且周期为
C．直线是的对称轴
D．函数在上有且仅有一个零点
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知函数，则　　．
14．（5分），，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是　　．
15．（5分）已知为抛物线的焦点，点，在抛物线上，且分别位于轴的上、下两侧，若的面积是为坐标原点），且，则直线的斜率是　　．
16．（5分）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在，上的零点之和为　　．
四、 解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在中，角，，的对边分别为，，，，，且______．求的面积．

18．（12分）如图，平面，四边形是正方形，，、分别是、的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．

19．（12分）设正项数列的前项和为，，且．
（1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式；
（2）已知，数列的前项的和为，若对一切恒成立，求的取值范围．

20．（12分）近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是，中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖，某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出值．
（1）根据调查结果制作了如下列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为肥胖与不经常运动有关；

肥胖
不肥胖
合计
经常运动员工

40
60
不经常运动员工
24

40
合计

100
（2）若把表中的频率作为概率，现随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人中“经常运动且不肥胖”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
附：，其中．

0.10
0.05
0.01
0.005

2.706
3.811
6.635
7.879

21．（12分）已知为坐标原点，椭圆，点，，为上的动点，，，三点共线，直线，的斜率分别为，．
（1）证明：；
（2）当直线过点时，求的最小值；
22．（12分）已知函数，．，且为常数，为自然对数的底数）．
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围．

高三模拟考试卷（十一）答案
1．解：集合，，，，，
，
当时，，成立；
当时，，
由，得或，
解得或．
所有符合条件的实数组成的集合是，0，．
故选：．
2．解：复数满足，
所以，
即，
解得复数的模为．
故选：．
3．解：，
故它的展开式中的系数为，
故选：．
4．解：函数的定义域为，排除选项和，
当时，，
但在选项中，由于，所以，可排除选项，
故选：．
5．解：记“开关了10000次还能继续使用”为事件，记“开关了15000次后还能继续使用”为事件，
根据题意，易得（A），（B），
则，
由条件概率的计算方法，
可得，
故选：．
6．解：因为，解得，
又，解得，
即由可推出，而时，在的情况下，不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
7．解：等差数列的首项，公差，则，
，
则点在函数的图象上，
由恒成立，得为数列的最大项，
可知，得．
实数的取值范围是．
故选：．

8．解：如图所示：以为原点，以所在的直线为轴，
所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
过点作轴，轴，
，，，，
，，
，，
，
，
，，，，
设，，
，，，
，
当时，取得最小值为．
故选：．

9．解：把正方体的平面展开图还原为正方体，
对于，，是与所成角（或所成角的补角），
，，故与成角，故正确；
对于，与既不相交，又不平行，是异面直线，故正确；
对于，，，，、平面，
平面，平面，，故正确；
对于，，，，，
，平面，、平面，
平面平面，故正确．
故选：．
10．解：，，，且，，
，，，，
当时，，，，
取，则，，此时，故成立；
取，，，此时，故成立；
当时，，，，
取，则，，此时，故成立；
当时，，，，，不成立；
当时，，不成立；
当时，，不成立，故不成立．
故选：．
11解：对于，圆方程可化为．由于该方程表示圆，故，解得，故错误；
对于，圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，圆心的纵坐标是1，
设圆心坐标，则，又，，
该圆的标准方程是，故正确；
对于，设，即，则圆的标准方程为，
则圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，即，
即，平方得，解得，
故的最大值是，故错误；
对于，两圆方程相减，得圆和圆的公共弦所在直线方程为：，即．
圆心到直线的距离，
圆和圆的公共弦长，故正确．
故选：．
12．解：当时，，此时或，，，
当时，，此时，，
作出函数的图象如图：
则在上单调递减，故错误，
是周期函数，周期为，故正确，
直线是的对称轴，故正确，
由得，在上有且仅有一个零点，正确，故正确
故选：．

13．解：由分段函数可知，
．
故答案为：．
14．解：由题意可知，球的半径为，分别取球的两条弦，的中点，，
则，，即弦，分别是以为球心，
半径为3和2的球的切线，且弦在以为球心，半径为2的球的外部，
的最大距离为，最小距离为．
当，，三点共线时，分别取最大值5与最小值1．
故半径分别为，，
，的伴随球的体积的取值范围是，．
故答案为：，．
15．解：设直线的方程为：，
点，，，，
代入，可得，
根据韦达定理有，
，，从而，
点，位于轴的两侧，
，故．
不妨令点在轴上方，则，
又，，的面积是，可得，
即有，，，，
直线的斜率是：．
故答案为：．
16．解：原问题等价于求解函数与函数 的交点横坐标之和．
由题意可得：，
故函数的周期为2，
设，则，
设，则，
设，则，
据此绘制函数图像如图所示，观察可知，函数的图像关于点对称，

且函数 的图像也关于点对称，
两函数交点个数为6个，故零点之和为6．
故答案为：6．
17．解：若选择条件①，
由于，
由正弦定理可得，由余弦定理可得，
由，可得，
由，及正弦定理，可得，
将，和代入，解得，所以，，
所以．
若选择条件②，
由于，
可得，即，可得，
由，可得，
由余弦定理可得，
由，及正弦定理，可得，
将，和代入，解得，所以，，
所以．
若选择条件③，
由于，
由正弦定理可得，可得，
由于，可得，由于，解得，
由，可得，
由余弦定理可得，
由，及正弦定理，可得，
将，和代入，解得，所以，，
所以．

18．（1）证明：平面，，、、两两互相垂直，
如图所示，分别以、、所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，可得，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，
，0，，，1，，
，1，，，1，，，2，
设，，是平面的一个法向量，
可得，取，得，，
，，是平面的一个法向量，同理可得，1，是平面的一个法向量，
，，
即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，可得平面平面；
（2）解：由（1）得，，是平面的一个法向量，
，2，，得，
点到平面的距离．

19．解：（1），．
，，
，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，．
当时，，
当时，．故．
（2），
．
对一切恒成立，
，
，
，
当且仅当时取等号，，
故的取值范围是．
20．解：（1）列联表补充完整，如下表：

肥胖
不肥胖
合计
经常运动员工
20
40
60
不经常运动员工
24
16
40
合计
44
56
100
，
有的把握认为肥胖与不经常运动有关；
（2）经常运动且不肥胖的概率为：，的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：

0
1
2
3

．
21．解：（1）证明：设，，三点共线，且在椭圆上，
，关于原点对称，设，，，，则，，
所以，，
即，，
所以．
（2）设方程为：，即，
联立，消可得，
所以，所以，
所以，
所以
，
所以，
令，则，
，当且仅当，时取等，
所以的最小值为8．
22．解：（1）函数的你定义域为，，
，
在区间上单调递增，且，
①当时，在区间上恒成立，即，
函数在上单调递增，此时无极值点；
②当时，方程有唯一解，设为，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
是函数的极小值点，即函数只有一个极值点；
综上，当时，无极值点，当时，有一个极值点；
（2）当时，对任意的恒成立，即对恒成立，
即对恒成立，记，
记，故在上单调递增，
又，
存在，使得，且，，，，，
在上单调递减，在，上单调递增，
，
又，，，，
，即，
综上所述，实数的取值范围为，．