2021年高考数学模拟考试卷(十二)(含解析).doc

2021年高考数学模拟考试卷（十二）（含解析）

2021年高考数学模拟考试卷（十二）（含解析）

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姓名：

高考数学模拟考试卷（十二）
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，集合，，0，，则　　
A．， B．，， C．，0， D．，，0，
2．（5分）若复数满足，则在复平面内所对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为、、，且、、构成等差数列，则第二车间生产的产品数为　　
A．800 B．1000 C．1200 D．1500
4．（5分）中，点为上的点，且，若，则的值是　　
A．1 B． C． D．
5．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
6．（5分）在中，，，，点，分别在边，上，点，在上，且四边形为矩形（如图所示），当矩形的面积最大时，在内任取一点，该点取自矩形内的概率为　　

A． B． C． D．
7．（5分）已知函数，若在区间上不存在零点，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
8．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线的离心率的取值范围是　　
A． B．， C． D．
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。
9．（5分）已知数列的通项公式为，，，下列仍是数列中的项的是　　
A． B． C． D．
10．（5分）为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列描述正确的有　　

A．甲、乙两组成绩的平均分相等
B．甲、乙两组成绩的中位数相等
C．甲、乙两组成绩的极差相等
D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差
11．（5分）设，为正数，若直线被圆截得弦长为4，则　　
A． B． C． D．
12．（5分）在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法中正确的　　
A．平面
B．与平面所成角的正切值的最大值是
C．的最小值为
D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若的展开式中的系数是，则它的展开式中的常数项为　　．
14．（5分）已知曲线和直线，点在曲线上，点在直线上，则的最小值是　　．
15．（5分）若函数的图象关于点，对称，且关于直线对称，则　　（写出满足条件的一个函数即可）．
16．（5分）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围为　　．
四、 解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，已知角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，，求的面积．

18．（12分）已知数列的前项和为，若，且的最大值为25．
（1）求的值及通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（12分）全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化、极端气候的出现、生物多样性减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难．某大学以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份知识问卷，并邀请40名同学（男女各占一半）参与问卷的答题比赛，将同学随机分成20组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分．最后20组同学得分如表：
组别号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
男同学得分
4
5
5
4
5
5
4
4
5
5
女同学得分
3
4
5
5
5
4
5
5
5
3
组别号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
男同学得分
4
4
4
4
4
4
5
5
4
3
女同学得分
5
5
4
5
4
3
5
3
4
5
（1）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“该次比赛是否得满分”与“性别”有关；

男同学
女同学
总计
该次比赛得满分

该次比赛未得满分

总计

（2）随机变量表示每组男生分数与女生分数的差，求的分布列与数学期望．
参考公式和数据：，．

0.10
0.05
0.010

2.706
3.841
6.635

20．（12分）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，点是棱上的动点（不含端点），，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面，，，，求二面角的余弦值．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，的长轴是圆的直径．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的最小值．

22．（12分）已知函数．
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在，最大值；
（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：．

高三模拟考试卷（十二）答案
1．解：，，，0，，
，0，．
故选：．
2．解：因为，
所以，
所以在复平面内所对应的点为在第二象限．
故选：．
3．解：、、构成等差数列，
，
则第二车间生产的产品数为，
故选：．
4．解：，
所以，
所以，
若，
则，，．
故选：．
5．解：函数为非奇非偶函数，图象不对称，排除，
当，，排除，
恒成立，排除，
故选：．
6．解：由题意知，边上的高为，设，，
，，，
矩形的面积为：
，
当且仅当，即时，取等号，
的面积为，
当矩形的面积最大时，在内任取一点，
该点取自矩形内的概率为．
故选：．

7．解：函数，
若在区间上不存在零点，
故或，
解得．
故选：．
8．解：在中，，，，，
由双曲线的定义知，，
在△中，由余弦定理知，，
，
解得，
，
，
，即，
，
离心率，．

故选：．
9．解：，，，
，，
，
，
故选：．
10．解：因为，所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分，
甲、乙两组成绩的中位数均为6，
甲、乙两组成绩的极差均为4，
甲组的成绩比乙组的更加稳定，所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方程．
故选：．
11．解：由，得，
可得圆心坐标为，半径为2，
直线被圆截得弦长为4，
直线过圆心，则，即，
又，为正数，，可得，当且仅当，时取等号．
又
，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
12．解：对于，由于平面平面，所以平面，所以正确；
对于，当时，与所成角的正切值最大，最大值是，所以正确；
对于，将△沿翻折与在同一个平面，且点，在直线的异侧，
此时，此时，所以的最小值为，所以正确；
对于，由于平面，所以交线为以为圆心，半径为1的四分之一圆周，所以交线长为，所以正确．

故选：．
13．解：展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数为，解得，
所以二项式的常数项为，
故答案为：．
14．解：由曲线的方程，得，则．
由直线的斜率为，可得，解得；因为曲线关于坐标原点对称，不妨取，结合，解得，
所以，在曲线上与直线平行的切线的切点坐标为，
因此的最小值即为该点到直线的距离，即，
故答案为：．
15．解：设，
函数的图象关于点，对称，且关于直线对称，
的一个周期为，
，
，
又的图象关于直线对称，
当时，有，
不妨取，则，，即，，
令，则，
．
故答案为：（答案不唯一）．
16．解：由，得，
由，得，
曲线与曲线存在公共切线，
设公切线与曲线切于点，，与曲线切于点，，
则，
可得，
，
记，
则，
当时，，递减；
当时，，递增．
当时，．
的范围是，．
故答案为：，．

17．解：（1）因为，
所以由余弦定理可得：，
所以解得．
（2）因为，，由正弦定理可得，解得，
又，
所以，可得，
可得．
18．解：（1），
当为偶数时，可得时，的最大值为，
则，解得成立；
若为奇数，则或时，
的最大值为，
该方程无整数解．
所以，
可得，
当时，，
上式对也成立，
故，；
（2），
则，
，
两式相减可得
，
化为．
19．解：（1）列联表如下：

男同学
女同学
总计
该次比赛得满分
8
11
19
该次比赛未得满分
12
9
21
总计
20
20
40
所以，
所以没有的把握认为“该次比赛是否得满分”与“性别”有关；
（2）可以取值为，，0，1，2，
；；；；，
所以的分布列为：

0
1
2

所以．
20．（1）证明：取中点，取中点，连接、，
所以，
又因为四边形是梯形，，所以，
，平面，
，、平面，
所以平面平面，因为平面，
所以平面．
（2）解：因为平面，所以，，又因为，
所以、、两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得各点坐如下：
，0，，，1，，，0，，，，
，1，，，0，，，，，
设平面与平面法向量分别为，，，，，，
，令，，，，
，令，，，，
，
所以二面角的余弦值为．

21．解：（1）由，得，
由，得，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）可得，
①当过点的直线的斜率不存在时，，，
所以，
②当过点的直线的斜率为0时，，，
这是，
③当过点的直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，，，，
由，得，
所以，，
，
所以，
直线的方程为，
坐标原点到直线的距离，
则，
所以，
由，得，
即，，
综上所述，四边形的面积的最小值为2．
22．解：（1）函数的定义域为，
，
在处的切线与直线垂直，
，
由，（负值舍去），
所以函数在上单调递增，在，单调递减，
故有最大值．
（2）当时，．．
函数在单调递增，在单调递减．
且（1），（e），，
故函数的两个零点为，满足，
令，，
在恒成立，
在递增，（1）在恒成立，
，又，
，
，，又在单调递减，
，即．