2021年高考数学模拟考试卷(四)(含解析).doc

2021年高考数学模拟考试卷（四）（含解析）

2021年高考数学模拟考试卷（四）（含解析）

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高考数学模拟考试卷（四）
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知，，则　　
A． B． C． D．
2．（5分）已知复数满足，则复数的模　　
A．0 B．1 C． D．2
3．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
4．（5分）下列选项中，是的必要不充分条件的是　　
A．，且
B．，，的图象不过第二象限
C．且，
D．，在上为增函数
5．（5分）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：和燃料的质量（单位：、火箭（除燃料外）的质量（单位：的函数关系表达式为．如果火箭的最大速度达到，则燃料的质量与火箭的质量的关系是　　
A． B． C． D．
6．（5分）若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
7．（5分）已知在中，，，设是的内心，若，则　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数，若，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。
9．（5分）2019年1月到2019年12月某地新能源汽车配套公共充电桩保有量如图：

则下列说法正确的是　　
A．2019年各月公共充电桩保有量一直保持增长态势
B．2019年12月较2019年11月公共充电桩保有量增加超过2万台
C．2019年6月到2019年7月，公共充电桩保有量增幅最大
D．2019年下半年各月公共充电桩保有量均突破45万台
10．（5分）已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是　　
A．
B．
C．当或时，取得最大值
D．当时，的最大值为21
11．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，能确定为锐角的有　　
A． B．
C．，均为锐角，且 D．
12．（5分）已知函数为自然对数的底数），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的值不可能为　　
A． B． C．6 D．
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.（5分）利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形，图象形似如图所示的函数称为型函数，写出一个定义域为，且值域为，的型函数是　 （答案不唯一）　．

14.（5分）设随机变量的分布列为，则的值为　　．
15．（5分）已知椭圆的焦点为，，若在长轴上任取一点，过点作垂直于的直线交椭圆于点，若使得的点的概率为，则的值为　　．
16．（5分）如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为　　．

四、 解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知等差数列的公差大于0，且，是方程的两根，数列的前项和为，且，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．（12分）在①，②，③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知中的内角，，的对边分别为，，，面积为，若，，_____，求和．
19．（12分）如图，已知直三棱柱中，，是棱上的动点，是的中点，，．
（1）当是棱的中点时，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角的大小是？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．

20．（12分）某企业办有甲乙两个工厂，为了解其工人的生产能力以及生产效益情况，现用分层抽样的方法，分别从甲乙两个工厂的工人中抽取100名、50名进行测评，并根据5项最重要的指标评分合计出每名工人的生产能力总分．由测评可知，工人月生产效益与生产能力密切相关，统计结果如表：
生产能力总分（分
，
，
，
，
，
月生产效益（元
10000
15000
20000
25000
30000
工人的生产能力总分测评结果统计如图：

将生产能力总分落入相应组别的频率视为该工人对应生产能力的概率，假设每名工人生产能力相互独立．
（1）若某工人生产能力总分不少于80分，则评定其为生产能手．现从甲工厂随机选取一名工人，估计此工人是生产能手的概率；
（2）随机从甲工厂中选取1名工人，用表示其月生产效益，求的分布列及数学期望；
（3）该企业拟以月生产效益均值为标准对甲乙两个工厂的工人进行考察，并对生产效益相对较好的工厂工人进行奖励，对生产效益较差的工厂工人进行技能培训，请依据抽测结果给出决策方案．
21．（12分）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点对应的切点弦．已知抛物线为，点，在直线上，过，两点对应的切点弦分别为，．
（1）当点在上移动时，直线是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由．
（2）当时，求线段长度的最小值，及此时点，的坐标．
22．（12分）已知函数．
（1）当函数在处的切线斜率为时，求的单调减区间；
（2）当时，，求的取值范围．
高三模拟考试卷（四）答案
1．解：，，
则故选：．
2．解：复数满足，所以，
即，解得复数的模为．
故选：．
3．解：根据题意，函数，其定义域为，
有，则为奇函数，排除，
4．解：对于：由且，得：，满足条件，故正确；
对于：若的图象不过第二象限，
则，，则是的充要条件，故错误；
对于：由能推出，反之不成立，故是的充分不必要条件，故错误；
对于：若，则在递增，是的充要条件，故错误．
故选：．
5．解：由题意可得：，
得，解得：，
如果火箭的最大速度达到，则燃料的质量与火箭的质量的关系是，
故选：．
6．解：双曲线的渐近线：，
所以双曲线的渐近线：，
可得，
所以双曲线的离心率为：．
故选：．
7．解：如图所示，设三角形的三条内角平分线、、相交于点．
，，三点共线，
存在实数使得，
，是的内心，平分，．
，
同理由，，三点共线和角平分线的性质可得，
，解得
与比较可得：，，
则．
故选：．

8．解：由题可知，

，
，
令，则，即为奇函数，
函数与在上均单调递增，
在上单调递增，即在上也单调递增，
不等式，等价于，
，
在上单调递增，
，
解得，
实数的取值范围是，．
故选：．
9．解：对于选项，从图象看来，数据呈上升趋势，
故2019年各月公共充电桩保有量一直保持增长态势，故选项正确；
对于选项，2019年12月较2019年11月公共充电桩保有量增加了：
，故选项正确；
对于选项，2019年6月到2019年7月，
公共充电桩保有量增幅为，
而2019年2月到2019年3月，公共充电桩保有量增幅为：
，故选项错误；
2019年7月公共充电桩保有量小于45万台，故选错误．
故选：．
10．解：由公差，，可得，即，①
由是与的等比中项，可得，即为，
化为，②
由①②解得，，故错误，正确；
由，
由于为正整数，可得或11时，取得最大值110；故正确；
由，解得，可得的最大值为20．故错误．
故选：．
11．解：对于，，，为锐角，故正确；
对于，，，，为钝角，故错误；
对于，，均为锐角；且，，，可得，则为锐角，故正确；
对于，，由正弦定理得，，，则，为锐角，故正确．
故选：．
12．解：设，可得，即有为偶函数，
由题意考虑时，有两个零点，
当时，，，
即有时，，
由，可得，
由，相切，设切点为，
的导数为，可得切线的斜率为，
可得切线的方程为，
由切线经过点，，可得，
解得或（舍去），
即有切线的斜率为，
由图象可得时，直线与曲线有两个交点，
综上可得的范围是，不可能是，，
故选：．

解：根据题意，要求函数的定义域为，，值域为，，
其图像关于轴对称，是偶函数，可以考虑二次函数变换得到，
则，
故答案为：．
14.解：因为随机变量的分布列为，
所以根据分布列的性质有，
所以，
解得．
故答案为：．
15．解：联立椭圆，，
当时，解得，故只要在长轴上任取一点，
过点作垂直于的直线交椭圆于点，
若使得的点的概率为，可得，．
当时，解得，由，解得．
故答案为：2或．
16．解：大球的半径为，设小球的半径为，如图，
由题意可知，，，，
所以，，
，
解得，故答案为：．

17．解：（1），是方程的两根，且数列的公差，
，，公差
（3分）
又当时，有，
当，
又数列是首项，公比的等比数列，
（6分）
（2）由（1）知（7分）
（1）（2）（9分）
（1）（2）：
，
．（12分）
18．解：若选①：
，
利用正弦定理可得，
在中，，可得，
，可得，
在中，，可得，
在中，，且，可得，
正弦定理，且，可得，则，
，
．
若选②：
，
，即，则，
在中，，可得，
在中，，且，可得，
正弦定理，且，可得，则，
，
．
若选③：
，
由余弦定理得：，
在中，，可得，
在中，，且，可得，
正弦定理，且，可得，则，
，

19．解：（1）取中点，连接、（1分）
△中，、分别是、的中点，
且，
又矩形中，且，
且，可得四边形是平行四边形（4分）

平面，平面，
平面（6分）
（2）以、、为、、轴，建立如图空间直角坐标系，
可得，0，，，2，，设，得，0，
，0，，，2，
设平面的法向量为，，
则有，解之并取，得，，

平面的法向量为，0，，（8分）
当二面角的大小是时，有
，，解之得．
因此，在棱上存在点，当时，二面角的大小是．（12分）

20．解：（1）根据所给甲工厂频率分布直方图可知，
生产能力总分的频率为，
生产能力总分的频率为，
将测评生产能力总分落入各组频率视为概率，
则从该工厂随机选取一名工人其生产能力总分超过80分的概率是，即他是生产能手的概率为0.35．
（2）据甲厂频率分布直方图可知甲工厂工人在各组相应的频率如下表
生产能力总分（分
，
，
，
，
，
频率
0.1
0.25
0.3
0.2
0.15
随机从甲工厂中选取1名工人，用表示其月生产效益，则的分布列：
（元
10000
15000
20000
25000
30000
概率
0.1
0.25
0.3
0.2
0.15
所以（元．
（3）由（2）知甲工厂工人月生产效益均值即数学期望（元；
根据频率分布直方图知乙工厂工人生产能力总分频率分布表：
生产能力总分（分
，
，
，
，
，
频率
0.04
0.2
0.4
0.24
0.12
由此可得乙工厂工人生产效益的分布列：
（元
10000
15000
20000
25000
30000
概率
0.04
0.2
0.4
0.24
0.12
所以乙工厂工人月生产效益均值（元．
因为，所以推断乙工厂工人月均生产效益比甲的好，
所以应对乙工厂工人进行奖励，对甲工厂工人进行技能培训．
21．解：（1）设，，，，，，
则，，
抛物线的方程变形为，则，
所以直线的斜率为，
直线的方程为，
化简得，
同理得直线的方程为，
由，，得，
所以直线的方程为，
所以直线经过定点．
（2）设，，，，
由（1）知，，
因为，所以，即，
所以和异号，不妨设，则且，
，
当且仅当，时取等号，
即当，时取得最小值4．
22．解：（1）定义域为，，，
因为，
所以在处的切线斜率为，
所以，
所以，，
令，则，

0

极小值

由表可知：的单调减区间为和．
（2）由题对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
方法一：所以对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，则对任意恒成立，
因为，所以在上单调增，
所以对任意恒成立，所以，
令，因为，所以在上单调减，
所以（1），所以，即，所以的取值范围是，．
方法二：设，则，
所以在单调递增，又（1），
若，则（1），所以恒成立，所以在单调递增，
又（1），所以恒成立，符合题意．
若，则（1），不符合题意，舍去．
综上所述，，
所以的取值范围是，．