专题02+新题精选30题-2018年高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版).doc

2018年高考数学走出题海之黄金30题系列
专题二 新题精选
1．（三角函数与函数周期相结合的创新题）设函数满足，当时， ，则___________.
【答案】
【解析】
∵
∴，则.
∴，即.
∴函数的周期为
∴
∵时，
∴
故答案为.
2．（概率与程序框图相结合的创新题）已知为集合中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的算法输出一个整数，则输出的数的概率是__________．

【答案】

3．（幂函数与线性规划相结合的创新题）若幂函数的图象上存在点，其坐标满足约束条件则实数的最大值为__________．
【答案】2
【解析】
作出不等式组满足的平面区域（如图中阴影所示），

由函数为幂函数，可知，∴，
∴.作出函数的图象可知，该图象与直线
交于点，当该点在可行域内时，图象上存在符合条件的点，
即，故实数m的最大值为2.
故答案为：2
4．（等比数列与体积、表面积相结合的创新题）已知轴截面边长分别是2和1的矩形的圆柱体积最大时其全面积为，等比数列，且，则的值为　　　　．
【答案】
5．（向量、解三角形与基本不等式相结合的创新题）在中，角所对的边分别为若对任意,不等式恒成立，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】

6．（三角函数与基本不等式相结合的创新题）四边形中， ， ，设、的面积分别为、，则当取最大值时， __________．
【答案】
【解析】
设,
,
当时,取得最大值,故填.

7．（等高条形图的创新题）如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出　　　　．（填写正确的序号）

① 性别与喜欢理科无关； ②女生中喜欢理科的比为80%；③ 男生比女生喜欢理科的可能性大些； ④男生不喜欢理科的比为6O%
【答案】③
8．（复数的新定义的创新题）欧拉公式 (为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知, 表示的复数的模为　　　　．
【答案】1
【解析】，所以．
9．（函数与含绝对值不等式相结合的创新题）设函数满足则=__________．
【答案】
【解析】

即
10．（新定义函数与解不等式相结合的创新题）是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是___________．
【答案】或

11．（向量与三角函数相结合的创新题）已知其中,若函数在区间内没有零点,则的取值范围是　　　　．
【答案】
【解析】
，
12．（解三角形与向量相结合的创新题）在中,内角的对边分别为是外接圆的圆心,若,且,则的值是　　　．
【答案】
【解析】因为，由余弦定理得，整理得，所以，即，因为是的外心，则对于平面内任意点，均有： ，令与重合，及得，∵，∴．
13．(向量与不等式结合的创新题)已知，且三点在同一条直线上，则的最小值为__________．
【答案】

14．（函数与新定义的创新题）若对于任意一组实数都有唯一一个实数与之对应，我们把称为变量的函数，即，其中均为自变量，为了与所学过的函数加以区别，称该类函数为二元函数，现给出二元函数，则此函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为点 在圆 上,点 在曲线 上,所以本题转化为求圆与曲线上的两点之间的最小值,如下图，作直线 与它们的图象在第一象限交于A,B两点，显然圆与曲线的图象都关于直线对称，所以 就是圆与曲线上的两点之间距离的最小值,求出 ,所以,所以 .

点睛: 本题主要考查了新定义下的距离公式, 涉及的考点有参数方程化为普通方程,两点间距离公式,考查了学生的阅读理解能力和转化能力,属于中档题.
15．（茎叶图与概率相结合的创新题）如图,茎叶图表示的是甲,乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污染,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为　　　　．

【答案】
16．（平面向量与椭圆的创新题），分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则__________．
【答案】
【解析】椭圆中a=6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，
,可得B为AF1的中点，
,可得C为AF2的中点，
由中位线定理可得|OB|= |AF2|，
|OC|= |AF1|，
即有= (|AF1|+|AF2|)=a=6.
点睛：一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．
17．（数列与不等式的创新题）已知数列中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围为__________．
【答案】
点睛：本题将数列的列项求和与不等式恒成立问题有机地加以整合，旨在考查数列通项递推关系，列项法求和，不等式恒成立等有关知识和方法．解答本题的关键是建立不等式组，求解时借助一次函数的图像建立不等式组，最后通过解不等式组使得问题巧妙获解．
18．（几何概型的创新题）折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也是正方形，连接，则向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．

【答案】
【解析】设，则，，故多边形的面积；阴影部分为两个对称的三角形，其中，故阴影部分的面积，故所求概率.
19．（三角函数与绝对值相结合的创新题）
函数，对于且（），
记，
则的最大值等于____．
【答案】16
【解析】

所以。
20．（球与三棱锥相结合的创新题）已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为__________．
【答案】
【解析】由题意可知,该三棱锥为正三棱锥,
三棱锥的体积设内切圆的半径为,则

21．（新定义与函数的创新题）设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函数的值域也是，则称函数是函数的一个“保值域函数”.已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”， 是的一个“保值域函数”，则__________.
【答案】1
【解析】根据“保值域函数”的定义可知；如果函数是函数的一个“保值域函数”，那么的值域就等于的定义域。所以， 的值域等于的定义域； 的值域等于的定义域。因为函数与互为反函数，所以的定义域等于的值域。因此的值域等于的定义域。函数，
所以在是单调递减，在是单调递增。（1）当时， ，消元得到，解得，舍去；（2）当时， ，整理可得，解得，故
点睛：本题属于定义题，有点难。需要在审题过程中把题干上给的定义读懂，理解透彻，灵活运用，对学生能力要求高。本题需要注意两点：（1）复合函数中内涵数的值域等于外函数的定义域，所以能够得出的值域就等于的定义域；（2）互为反函数的两个函数，一个函数定义域等域另一个的值域，这个性质是解本题的关键。本题易错的是遗忘了定义中对函数单调的要求。
22．（函数的零点与三角函数相结合的创新题）已知非零常数是函数的一个零点，则的值为__________．
【答案】
【解析】由题意，则．
23．（函数的性质与数列相结合的创新题）已知定义在上的奇函数满足， 为数列的前项和，且，则__________．
【答案】3

∵数列满足，且，两式相减整理得 是以 为公比的等比数列， ，∴.
∴,故答案为.
24．（双曲线与圆相结合的创新题）点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________．
【答案】

25．（线性规划与圆的创新题）已知动点满足：则的最小值为__________．
【答案】
【解析】∵，∴，
∵函数是减函数，∴x⩽y，
∴原不等式组化为.
该不等式组表示的平面区域如下图：

∵x2+y2−6x=(x−3)2+y2−9.
由点到直线的距离公式可得,P(3,0)区域中的距离最小,所以x2+y2−6x的最小值为.
点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
26．（新定义函数与导数的创新题）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）定义：“对于在区域上有定义的函数和，若满足恒成立，则称曲线为曲线在区域上的紧邻曲线”.试问曲线与曲线是否存在相同的紧邻直线，若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增;(2)见解析.
【解析】分析：（1）先求导，再对m分类讨论，求出函数的单调性.(2)先把命题等价转化为曲线与曲线是否相同的外公切线，再去求两支曲线的外公切线令它们相等，最后转化为唯一解问题求出m的值.
详解：（1）.
当时，，函数在上单调递减；
当时，令，得，函数在上单调递减；
令，得，函数在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）原命题等价于曲线与曲线是否相同的外公切线.
函数在点处的切线方程为
，即，
曲线在点处的切线方程为，即.
曲线与的图象有且仅有一条外公切线，
所以
有唯一一对满足这个方程组，且，
由（1）得代入（2）消去，整理得，
关于的方程有唯一解.
令，
∴.
当时，在上单调递减，在上单调递增；
所以.
因为，；，，只需.
令，在为单减函数，
且时，，即，
所以时，关于的方程有唯一解，
此时，外公切线的方程为.
∴这两条曲线存在相同的紧邻直线，此时.
27．（解三角形的创新题）在中，分别是内角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积.
【答案】（1）;(2).
【解析】试题分析：（1）余弦定理 ，结合已知条件求的大小，得到角，（2）根据两角差的正弦公式以及化简等式，得到，结合（1）的结果再计算面积.
试题解析：（1）把整理得，，
由余弦定理有，
∴.
(2)中，，即，故，
由已知可得，
∴，
整理得.
若，则，
于是由，可得，
此时的面积为.
若，则，
由正弦定理可知，，
代入整理可得，解得，进而，
此时的面积为.
∴综上所述，的面积为.
28．（圆与椭圆相结合的创新题）已知椭圆的一个焦点为,为椭圆的右顶点,以为圆心的圆与直线 相交于两点,且.
(1)求椭圆的标准方程和圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆相较于两点，设直线，直线的斜率分别为，且成等比数列.
①求的值；
②是否存在直线使得满足的点在椭圆上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），；（2）不存在

详解：(1)如图，设为线段的中点，连接，

则,
即,
则,
又，则,
,即,
由已知，则，
故椭圆的方程为；
又,则,
故圆的方程为.
(2)①设直线的方程为,
由,
则,
由已知,
则，即.
②假设存在直线满足题设条件，且设,
由，得,
代入椭圆方程得：,
即：,
则，即,
则,
所以,
化简得：，而,则，
此时，点中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点），与成等比数列相矛盾，
故这样的直线不存在.
29．（立体几何的创新题）如图，在直角梯形中， // ， ⊥， ⊥, 点是边的中点, 将△沿折起，使平面⊥平面，连接, , , 得到如
图所示的空间几何体.
（Ⅰ）求证： ⊥平面；
（Ⅱ）若，求点到平面的距离.

【答案】（I）详见解析；（II）.
【解析】试题分析：（I）先利用折叠前后的变和不变得到面面垂直和线线垂直，再利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理进行证明；（II）合理转化四面体的顶点，利用等体积法将点到平面的距离转化为求四面体的体积.

(Ⅱ) ，.
依题意△～△，
所以，即.
故.
由于⊥平面，⊥, 为的中点,
得
同理
所以
因为⊥平面，所以.
设点到平面的距离为,
则,
所以，即点到平面的距离为.
30．（数列的创新题）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”．
（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数的取值范围；
（Ⅱ）是否存在首项为-1的等差数列为“K数列”，且其前n项和满足
？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
得出，所以或，分类讨论即可得到结论.
试题解析：（Ⅰ）由题意得，
，②
解①得 ；
解②得 或
所以，故实数的取值范围是．

（Ⅲ）设数列的公比为，则，
因为的每一项均为正整数，且，
所以，且.
因为，
所以在中，“”为最小项．
同理，在中，“”为最小项．
由为“K数列”，只需， 即 ，
又因为不是“K数列”， 且“”为最小项，所以， 即 ，
由数列的每一项均为正整数，可得 ，
所以或.
当时，， 则，
令，则，
又 ，
所以为递增数列，即 ，
所以．
因为，
所以对任意的，都有，
即数列为“K数列”．
当时，，则．因为，
所以数列不是“K数列”．
综上：当时，数列为“K数列”，
当时，数列不是“K数列” ．
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