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2013广东高考文科数学试卷及答案

一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分,满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合,则( ）
A。 B。 C。 D.
2. 函数的定义域是（ ）
A。 B。 C。 D。
3. 若，，则复数的模是（ ）
A. B. C。 D。
4. 已知，那么( ）
A. B。 C。 D.
5. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为,则输出的值是( ）
A。 B. C。 D。
6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A. B。 C. D.
7. 垂直于直线且与圆相切于第Ⅰ象限的直线方程是（ ）
A. B。 C. D。
8. 设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ )
A. 若,则 B. 若，则
C。 若，则 D。 若，则
9. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ )
A. B。 C。 D.
10. 设是已知的平面向量且,关于向量的分解，有如下四个命题：
① 给定向量，总存在向量,使;
② 给定向量和，总存在实数和，使;
③ 给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数，使；
④ 给定正数和，总存在单位向量和单位向量,使。
上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( ）
A。 B。 C。 D。
二、 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题,每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11～13题）
11. 设数列是首项为，公比为的等比数列,则____________；
12. 若曲线在点处的切线平行于轴，则=_____________；
13. 已知变量满足约束条件，则的最大值是_____________；
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题)
14. （坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为___________________；
15. (几何证明选讲选做题）如图,在矩形中，，，，垂足为,则=___________;

三、 解答题：本大题共6小题，满分80分。 解答须写出文字说明和演算步骤.
16. （本小题满分12分)
已知函数.
（1） 求的值；
（2） 若，，求。
17. （本小题满分12分）
从一批苹果中，随机抽取个，其重量（单位:克）的频数分布表如下：
分组（重量)

频数（个）

（1） 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；
（2） 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？
（3） 在（2)中抽出的个苹果中,任取个，求重量在和中各有一个的概率;

18. （本小题满分14分）
如图，在边长为的等边三角形中，分别是上的点，,是的中点，与交于点. 将沿折起，得到如图所示的三棱锥，其中。
（1） 证明：；
（2） 证明：；
（3） 当时，求三棱锥的体积。

图4 图5
;
19. （本小题满分14分）
设各项均为正数的数列的前项和为，满足,且构成等比数列;
（1） 证明：；
（2） 求数列的通项公式；
（3） 证明：对一切正整数,有。
20. （本小题满分14分)
已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为。 设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点。
（1） 求抛物线的方程；
（2） 当点为直线上的定点时，求直线的方程;
（3） 当点在直线上移动时，求的最小值.
21. 设函数。
（1） 当时，求函数的单调区间;
（2） 当时，求函数在上的最小值和最大值。
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