2高考数学一轮复习分层限时跟踪练25.doc

分层限时跟踪练(二十五)
(限时40分钟)

一、选择题
1．(2015·宁夏模拟)如图4­2­2，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，

图4­2­2
给出下列向量组：
①A与A；②D与B；③C与D；④O与O.其中可作为该平面内其他向量的基底的是(　　)
A．①②　　　B．①③　　　C．①④　　　D．③④
【解析】　A与A不共线，C与D不共线，而D与B共线，O与O共线，由平面向量基底的概念知①③可作为该平面内其他向量的基底．
【答案】　B
2．(2015·抚顺六校联考)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
【解析】　由已知得a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，因为a＋b与4b－2a平行，则有3(4x－2)＝6(x＋1)，解得x＝2.
【答案】　D

图4­2­3
3．(2015·龙岩模拟)如图4­2­3，A，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：①O＋2O；②O＋O；③O＋O；④O＋O；⑤O－O.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有(　　)
A．①② B．②④
C．①③ D．③⑤
【解析】　在ON上取C使OC＝2OB，以OA，OC为邻边作▱OCDA，O＝O＋2O，其终点不在阴影区域内，排除选项A，C；取OA的中点E，作EF綊OB，由于EF＜OB，所以O＋O的终点在阴影区域内，排除选项D，故选B.
【答案】　B
4．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于
(　　)
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
【解析】　法一：设b＝(x，y)，
由已知条件
整理得解得∴b＝(－3,6)．
法二：设b＝(x，y)，由已知条件
解得或(舍去)，∴b＝(－3,6)．
法三：∵|a|＝，∴a＝，
则b＝－3＝(－3,6)．
【答案】　A
5．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且B＝3C，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若A＝x＋(1－x)A，则x的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【解析】　依题意，设B＝λ，其中1＜λ＜，则有A＝A＋B＝A＋λ＝A＋λ(A－A)＝(1－λ)A＋λ.又A＝x＋(1－x)A，且A，A不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是.
【答案】　D
二、填空题
6．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为 ．
【解析】　A＝(a－1,3)，A＝(－3,4)，
据题意AB∥AC，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，
∴a＝－.
【答案】　－
7．(2016·冀州模拟)已知向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)．平面内任意向量c都可以唯一地表示为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则实数m的取值范围是 ．
【解析】　由题意可知{a，b}为平面向量的一组基底，故a，b不共线．所以2m－3≠3m，所以m≠－3.
【答案】　{m|m≠－3}
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝ .
【解析】　因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
所以a2＋b2－c2＝ab，＝，
结合余弦定理知，cos C＝，又0°＜C＜180°，∴C＝60°.
【答案】　60°
三、解答题
9．如图4­2­4，以向量O＝a，O＝b为邻边作▱OADB，B＝B，C＝C，用a，b表示O，O，M.

图4­2­4
【解】　∵B＝O－O＝a－b，
B＝B＝a－b，
∴O＝O＋B＝a＋b.
∵O＝a＋b，
∴O＝O＋C＝O＋O
＝O＝a＋b，
∴M＝O－O＝a＋b－a－b＝a－b.
综上，O＝a＋b，O＝a＋b，M＝a－b.
10．(2015·郑州模拟)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设A＝a，B＝b，C＝c，且C＝3c，C＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m、n的值；
(3)求M，N的坐标及向量M的坐标．
【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴
解得
(3)设O为坐标原点，
∵C＝O－O＝3c，
∴O＝3c＋O＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M(0,20)．
又∵C＝O－O＝－2b，
∴O＝－2b＋O＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，
∴M＝(9，－18)．

1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(　　)
A．(1，－1)　B．(－1,1)　　C．(－4,6)　　D．(4，－6)
【解析】　4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－8,18)，
设向量c＝(x，y)，依题意得4a＋(3b－2a)＋c＝0，
所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，
解得x＝4，y＝－6.
【答案】　D
2．(2015·青岛模拟)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　由已知，得a＋b＝(2,2＋m)．若m＝－6，则a＋b＝(2，－4)，a∥(a＋b)成立；若a∥(a＋b)，则＝，解得m＝－6，所以“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
【答案】　A
3．已知向量O＝(3，－4)，O＝(6，－3)，O＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是 ．
【解析】　因为O＝(3，－4)，O＝(6，－3)，
O＝(5－m，－3－m)，
所以A＝(3,1)，B＝(－m－1，－m)．
由于点A，B，C能构成三角形，所以A与B不共线，
而当A与B共线时，有＝，解得m＝，
故当点A，B，C能构成三角形时实数m满足的条件是m≠.
【答案】　
4．(2015·成都二诊)在如图4­2­5所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为 ．

图4­2­5
【解析】　设e1，e2为水平方向(向左)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ，则的值为.
【答案】　
5．(2016·莱芜模拟)如图4­2­6，已知△OCB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将O分为2∶1两部分的一个内分点，DC和OA交于点E，设O＝ a，O＝b.

图4­2­6
(1)用a和b表示向量O，D；
(2)若O＝λ，求实数λ的值．
【解】　(1)由题意知，A是BC的中点，且O＝O.
由平行四边形法则，得O＋O＝2.
∴O＝2－O＝2a－b，
D＝O－O＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)如题图，E∥D.
又∵E＝O－O＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
D＝2a－b，
∴＝，∴λ＝.
6．如图4­2­7，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．

图4­2­7
(1)设P＝λ，将O用λ，O，O表示；
(2)设O＝x，O＝y，证明：＋是定值．
【解】　(1)O＝O＋P＝O＋λ
＝O＋λ(O－O)＝(1－λ)O＋λ.
(2)证明：一方面，由(1)，得
O＝(1－λ)O＋λ＝(1－λ)x＋λy；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，
∴O＝O＝×(O＋O)＝O＋O.②
而O，O不共线，
∴由①②，得
解得
∴＋＝3(定值)．