高考数学一轮复习分层限时跟踪练.doc

分层限时跟踪练(二十八)
(限时40分钟)

一、选择题
1．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}中的公差为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【解析】　法一　利用基本量法求解．
设等差数列{an}的公差为d，由题意得
解得
∴d＝2.
法二　利用等差数列的性质求解．
∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，
∴a3＝5.
又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.
【答案】　B
2．(2015·兰州一诊)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8＝(　　)
A．18 B．36
C．54 D．72
【解析】　由题意，得a4＋a5＝18，所以S8＝＝＝＝72，故选D.
【答案】　D
3．(2015·沈阳模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】　法一　Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2，则Sn＋2＝(n＋2)2，由Sn＋2－Sn＝36，得(n＋2)2－n2＝4n＋4＝36，所以n＝8.
法二　Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.所以选D.
【答案】　D
4．(2015·郑州模拟)在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为(　　)
A．14 B．15
C．16 D．17
【解析】　设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.
【答案】　C
5．(2015·泰安模拟)设等差数列{an} 的前n项和为Sn，若a2＝－11，a5＋a9＝－2，则当Sn取最小值时，n＝(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
【解析】　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由得解得
∴an＝－15＋2n.
由an＝－15＋2n≤0，解得n≤.
又n为正整数，
∴当Sn取最小值时，n＝7，故选C.
【答案】　C
二、填空题
6．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于 ．
【解析】　由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.
【答案】　27
7．(2016·海南模拟)已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n＝ .
【解析】　∵a1＋a2＋a3＋a4＝21，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝67，
∴(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＝88.
∴a1＋an＝22.
又Sn＝＝11n＝286，
∴n＝26.
【答案】　26
8．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝ .
【解析】　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.
又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.
【答案】　－
三、解答题
9．(2015·辽宁五校联考)已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】　(1)－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列．
(2)由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋(n∈N*)，
∴an－1＝，∴an＝(n∈N*)．
10．(2015·山西模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1·an＝an－an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝lg，求数列{bn}的前n项和Sn，
【解】　(1)由题意得－＝1，又a1＝1，所以＝1.
所以数列{}是首项、公差均为1的等差数列，
所以＝n，即an＝.
所以数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*.
(2)由(1)得bn＝lg n－lg(n＋2)，
所以Sn＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋lg(n－2)－lg n＋lg(n－1)－lg(n＋1)＋lg n－lg(n＋2)
＝lg 1＋lg 2－lg(n＋1)－lg(n＋2)
＝lg(n∈N*)．

1．(2015·黄冈模拟)设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若＝(n∈N*)，则＝(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
【解析】　根据等差数列的前n项和公式及＝(n∈N*)，可设Sn＝kn2，Tn＝kn(2n＋1)，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(2n－1)，bn＝Tn－Tn－1＝k(4n－1)，所以＝，故选D.
【答案】　D
2．(2015·枣庄模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－a2 013＜a1＜－a2 014，则必定有(　　)
A．S2 013＞0，且S2 014＜0 B．S2 013＜0，且S2 014＞0
C．a2 013＞0，且a2 014＜0 D．a2 013＜0，且a2 014＞0
【解析】　∵{an}为等差数列，∴S2 013＝，S2 014＝，由－a2 013＜a1＜－a2 014得a1＋a2 013＞0，a1＋a2 014＜0，所以S2 013＞0，S2 014＜0，故选A.
【答案】　A
3．(2015·济南模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若－＝1，则其公差d＝ .
【解析】　由等差数列的性质可知，{}成等差数列．
又＝n＋a1－，且－＝1，
∴＝1，∴d＝2.
【答案】　2
4．(2016·潍坊模拟)把数列{3n}(n∈N*)中的数按上小下大，左小右大的原则排成如图5­2­1所示三角形表．

图5­2­1
设aij(i，j∈N*)是位于从上往下第i行且从左到右第i个数，则a(37,6)＝ .
【解析】　由三角形表可知，第n行有n个数，则a(37,6)是数列{3n}中的第＋6＝672个数．
∴a672＝3＋(672－1)×3＝2 016.
【答案】　2 016
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＜0，S2 015＝0.
(1)求Sn的最小值及此时n的值；
(2)求n的取值集合，使an≥Sn.
【解】　(1)设公差为d，则由S2 015＝0⇒
2 015a1＋d＝0⇒a1＋1 007d＝0，
d＝－a1，a1＋an＝a1，
∴Sn＝(a1＋an)＝·a1＝(2 015n－n2)．
∵a1＜0，n∈N*，
∴当n＝1 007或1 008时，Sn取最小值504a1.
(2)an＝a1，
Sn≤an⇔(2 015n－n2)≤a1.
∵a1＜0，∴n2－2 017n＋2 016≤0，
即(n－1)(n－2 016)≤0，
解得1≤n≤2 016.
故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2 016，n∈N*}．
6．(2015·商丘模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线3x＋2y－3＝0上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【解】　(1)由题意可得3an＋1＋2Sn－3＝0，①
n≥2时，3an＋2Sn－1－3＝0，②
①－②得3an＋1－3an＋2an＝0，整理得＝(n≥2)，
又∵a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an＝n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知Sn＝，
若为等差数列，则
2＝S1＋λ＋S3＋λ，得λ＝，
又λ＝时，Sn＋·n＋＝，显然成等差数列，
故存在实数λ＝，使得数列成等差数列．