2高考数学一轮复习分层限时跟踪练2.doc

分层限时跟踪练(二十三)
(限时40分钟)

一、选择题

图3­7­12
1．如图3­7­12，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10°　　　　　 B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
【解析】　由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
【答案】　D
2．如图3­7­13所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于(　　)

图3­7­13
A. B.
C. D.
【解析】　由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，
AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且α＋∠ACB＝π.
由余弦定理，
可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，
即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，
解得cos α＝，所以sin α＝，
所以tan α＝＝.故选A.
【答案】　A
3．如图3­7­14，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)

图3­7­14
A．8 km/h B．6 km/h
C．2 km/h D．10 km/h
【解析】　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.
【答案】　B
4．(2015·丹东模拟)如图3­7­15所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　)

图3­7­15
A. B．2－
C.－1 D.
【解析】　在△ABC中，由正弦定理可知，
BC＝＝＝50(－)．
在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.
由题图知，cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.
【答案】　C
5．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(　　)
A.分钟 B.小时
C．21.5分钟 D．2.15小时

【解析】　如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.
∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 120°
＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100.
当t＝时，DC2最小，DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．
【答案】　A
二、填空题
6．为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)如图3­7­16所示，且∠B＋∠D＝180°，则AC的长为 km.

图3­7­16
【解析】　在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cos B，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cos D，由cos D＝－cos B并消去AC2得cos B＝，所以AC＝7.
【答案】　7
7．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为 m.

图3­7­17
【解析】　过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝＝＝500(＋)(m)．
所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(＋1)(m)．
【答案】　500(＋1)
8．如图3­7­18，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为 m．(取＝1.4，＝1.7)

图3­7­18

【解析】　如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．
又在△ABC中，＝，
∴BC＝×sin 15°＝10 500(－)．
∵CD⊥AD，
∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350.
故山顶的海拔高度
h＝10 000－7 350＝2 650(m)．
【答案】　2 650
三、解答题
9．(2015·石家庄模拟)如图3­7­19所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.

图3­7­19
请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．
【解】　第一步：在△AEF中，利用正弦定理，
得＝，
解得AE＝.
第二步：在△CEF中，同理可得
CE＝.
第三步：在△ACE中，利用余弦定理，
得AC＝
＝.
10．(2015·郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)
【解】　由题意，设|AC|＝x，
则|BC|＝x－×340＝x－40，
在△ABC中，由余弦定理得
|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，
即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420.
在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，
所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝140.
即该仪器的垂直弹射高度CH为140米．

1．如图3­7­20，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角为(　　)

图3­7­20
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．75°
【解析】　依题意可得AD＝20 m，AC＝30m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝＝，
又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的视角为45°.
【答案】　B
2．如图3­7­21，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)(　　)

图3­7­21
A．2.7 m B．17.3 m
C．37.3 m D．373 m
【解析】　在△ACE中，
tan 30°＝＝.
∴AE＝(m)．
在△AED中，tan 45°＝＝，
∴AE＝(m)，∴＝，
∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)．
【答案】　C
3．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.

【解析】　如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝＝＝10(m)．
【答案】　10
4．(2014·浙江高考)如图3­7­22，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是 ．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)

图3­7­22
【解析】　如图，过点P作PO⊥BC于点O，连接AO，则∠PAO＝θ.
设CO＝x m，则OP＝x m.
在Rt△ABC中，AB＝15 m，AC＝25 m，
所以BC＝20 m，所以cos∠BCA＝.
所以AO＝＝(m)．
所以tan θ＝＝
＝.
当＝，即x＝时，tan θ取得最大值为＝.
【答案】　
5．(2016·银川模拟)如图3­7­23所示，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．

图3­7­23
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
【解】　(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1，
∴AB＝(千米)，
在Rt△PAC中，∠APC＝30°，∴AC＝(千米)，
在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°.
∴BC＝＝＝.
÷＝2.
(2)∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝＝＝.
sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACBcos 30°－cos∠ACBsin 30°＝.
－·＝，在△ACD中，据正弦定理得＝，
此时船距岛A为千米．
6．(2013·江苏高考)如图3­7­24，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两
位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.

图3­7­24
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【解】　(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．
由于0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，得BC＝·sin A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．