高考数学一轮复习分层限时跟踪练6.doc

分层限时跟踪练(二十六)
(限时40分钟)

一、选择题
1．(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝
(　　)
A．－a2 B．－a2
C.a2 D.a2
【解析】　由已知条件得·＝·＝a·acos 30°＝a2，故选D.
【答案】　D
2．(2015·贵阳模拟)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)
A.　　 B.　 　C．2　 D．10
【解析】　∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)．
由a⊥c，b∥c可知
解得x＝2，y＝－2.
∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．
∴|a＋b|＝|(3，－1)|＝＝.
【答案】　B
3．(2015·重庆高考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D．π
【解析】　由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，
∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.∴cos θ＝.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
【答案】　A
4．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(　　)
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为两边的三角形面积
C．以a，b为两边的三角形面积
D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
【解析】　依题意可得|b·c|＝|b||c||cos〈b，c〉|
＝|b||a||sin〈a，b〉|＝S平行四边形．
∴|b·c|表示以a，b为邻边的平行四边形的面积．
【答案】　A
5．(2015·福建高考)已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)
A．13　　B．15　　C．19　　D．21
【解析】　∵⊥，故可以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设B，C(t,0)，
则＝＋＝(4,1)，故点P的坐标为(4,1).·＝·(t－4，－1)＝－4t－＋17＝－＋17≤－2＋17＝13.
当且仅当4t＝，
即t＝时(负值舍去)取得最大值13.
【答案】　A
二、填空题
6．(2015·云南模拟)已知平面向量a与b的夹角等于，如果|a|＝2，|b|＝3，那么|2a－3b|等于 ．
【解析】　|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×cos＋9×32＝61，
∴|2a－3b|＝.
【答案】　
7．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是 ．
【解析】　a与b的夹角为锐角，则a·b＞0且a与b不共线，则解得λ＜－或0＜λ＜或λ＞，所以λ的取值范围是∪0，∪，＋∞.
【答案】　∪∪
8．如图4­3­3，正三角形ABC中，D是边BC上的点，AB＝3，BD＝1，则A·A＝ .

图4­3­3
【解析】　法一：A·A＝3×3×
cos 60°＝，
A＝A＋B＝A＋B＝A＋(A－A)
＝A＋A，
∴A·A＝A·
＝A2＋A·A＝.

法二：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立坐标系，
则B(0,0)，A，D(1,0)．
所以A＝，
A＝，
所以A·A＝×＋2＝.
【答案】　
三、解答题
9．(2016·潍坊模拟)如图4­3­4，D，E分别是△ABC的边BC的三等分点，设＝m，＝n，∠BAC＝，

图4­3­4
(1)用m，n分别表示，；
(2)若·＝15，||＝3，求△ABC的面积．
【解】　(1)＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝m＋n.
＝＋＝＋(－)＝＋
＝m＋n.
(2)由(1)可知·＝·
＝(m2＋n2)＋m·n＝(m2＋n2)＋|m||n|cos＝15.
即4(m2＋n2)＋5|m||n|＝270，①
又由余弦定理：||2＝||2＋||2－2||||cos，
∴(3)2＝m2＋n2－2|m||n|·，
∴m2＋n2－|m||n|＝27.②
由①②得|m||n|＝18.
∴S△ABC＝||||sin∠BAC
＝|m||n|sin
＝×18×
＝.
10．(2015·成都模拟)已知向量m＝(2sin ωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(cos ωx,1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝，sin B＝sin A，求B·B的值．
【解】　(1)f(x)＝m·n＝2sin ωxcos ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin.
∵f(x)的最小正周期为π，
∴T＝＝π.
∵ω＞0，∴ω＝1，
(2)设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
∵f(B)＝－2，∴2sin＝－2，
即sin＝－1，
解得B＝(B∈(0，π))．
∵BC＝，∴a＝，∵sin B＝sin A，∴b＝a，∴b＝3.
由正弦定理，有＝，解得sin A＝.
∵0＜A＜，∴A＝.∴C＝，∴c＝a＝.
∴B·B＝cacos B＝××cos＝－.

1．(2015·东北三省四市联考)若G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＋b＋c＝0，则角A＝(　　)
A．90°　　B．60°　　C．45°　　D．30°
【解析】　∵G是△ABC的重心，∴G＋G＋G＝0，
∴G＝－，代入得a＋b－＝0，整理得G＋G＝0，∴a＝b＝.
∴cos A＝＝＝，因此A＝30°，故选D.
【答案】　D
2．(2015·贵州七校联考)在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且A·A＝A·A，则A·A的值为(　　)
A. 0　　　B．－4　　　C．8　　　D．4
【解析】　由A·A＝A·A，得A·(A－A)＝0，即A·C＝0，所以A⊥C，即AD⊥CB.又AB＝4，∠ABC＝30°，所以AD＝ABsin 30°＝2，∠BAD＝60°，所以A·A＝AD×AB×cos∠BAD＝2×4×＝4，故选D.
【答案】　D
3．(2015·泉州模拟)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝(a，b是任意的两个向量)．若p＝(1，－2)，q＝(－2,4)，r＝(3,4)，则(p⊗q)⊗r＝ .
【解析】　∵p＝(1，－2)，q＝(－2,4)＝－2p，∴p，q共线，∴p⊗q＝p＋q＝(－1,2)，∵r＝(3,4)，(－1)×4≠3×2，∴p⊗q与r不共线，∴(p⊗q)⊗r＝(p＋q)·r＝(－1)×3＋2×4＝5.
【答案】　5
4．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|P＋3P|的最小值为 ．

【解析】　建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝m，P(0，t)(t∈[0，m])，由题意可知，A(2,0)，B(1，m)，所以P＝(2，－t)，P＝(1，m－t)，P＋3＝(5,3m－4t)，所以|P＋3|＝≥5，当且仅当t＝m时取等号，故|P＋3|的最小值为5.
【答案】　5
5．(2015·东北三校一模)已知△ABC的面积为2，且满足0＜A·A≤4，A和A的夹角为θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin2－cos 2θ的取值范围．
【解】　(1)设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由题意得bcsin θ＝2,0＜bccos θ≤4，
可得tan θ≥1，又θ∈[0，π]，
∴θ∈.
(2)f(θ)＝2sin2－cos 2θ＝－cos 2θ＝(1＋sin 2θ)－cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ＋1＝2sin＋1，
∵θ∈，∴2θ－∈，
∴2≤2sin＋1≤3，
∴函数f(θ)的取值范围是[2,3]．
6．在四边形ABCD中，A＝D＝(1,1)，B＋B＝B，求四边形ABCD的面积．

【解】　由A＝D＝(1,1)，可知四边形ABCD为平行四边形，且|A|＝|D|＝，
因为B＋B＝B，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD为菱形，其边长为，且对角线BD长等于边长的倍，即BD＝×＝，
所以CE2＝()2－2＝，
即CE＝，
所以△BCD的面积为××＝，
所以四边形ABCD的面积为2×＝.