圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含标准答案).doc

圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题（含答案）一选择题（共7小题）1双曲线y2=1的焦点坐标是（）A（，0），（，0）B（2，0），（2，0）C（0，），（0，）D（0，2），（0，2）2已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=13设F1，F2是双曲线C：=1（a0b0）的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）AB2CD4已知F1，F2是椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则C的离心率为（）ABCD5双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x6已知双曲线C：y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|=（）AB3C2D47设函数f（x）=x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay=2xBy=xCy=2xDy=x二填空题（共6小题）8在平面直角坐标系xOy中，若双曲线=1（a0，b0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 9已知椭圆M：+=1（ab0），双曲线N：=1若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 10已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m1）上两点A，B满足=2，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大11已知点M（1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB=90，则k= 12曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a= 13曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 三解答题（共13小题）14设函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，求a；（）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围15如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于A，B两点若OAB的面积为，求直线l的方程16如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上（）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（）若P是半椭圆x2+=1（x0）上的动点，求PAB面积的取值范围17设椭圆+=1（ab0）的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|AB|=6（）求椭圆的方程；（）设直线l：y=kx（k0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q若=sinAOQ（O为原点），求k的值18已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且+=证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差19设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程20设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA=OMB21记f（x），g（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数若存在x0R，满足f（x0）=g（x0）且f（x0）=g（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax21与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=x2+a，g（x）=对任意a0，判断是否存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”，并说明理由22已知函数f（x）=lnx（）若f（x）在x=x1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点23已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a1（）求函数h（x）=f（x）xlna的单调区间；（）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2）处的切线平行，证明x1+g（x2）=；（）证明当ae时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线24已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若a=0，证明：当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a25已知函数f（x）=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一个零点，求a26已知函数f（x）=x+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a2圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题（含答案）参考答案与试题解析一选择题（共7小题）1双曲线y2=1的焦点坐标是（）A（，0），（，0）B（2，0），（2，0）C（0，），（0，）D（0，2），（0，2）【解答】解：双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，由此可得c=2，该双曲线的焦点坐标为（2，0）故选：B2已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=1【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bxay=0，F（c，0），ACCD，BDCD，FECD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF=3，EF=b，所以b=3，双曲线=1（a0，b0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=则双曲线的方程为：=1故选：C3设F1，F2是双曲线C：=1（a0b0）的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）AB2CD【解答】解：双曲线C：=1（a0b0）的一条渐近线方程为y=x，点F2到渐近线的距离d=b，即|PF2|=b，|OP|=a，cosPF2O=，|PF1|=|OP|，|PF1|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COSPF2O，6a2=b2+4c22b2c=4c23b2=4c23（c2a2），即3a2=c2，即a=c，e=，故选：C4已知F1，F2是椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则C的离心率为（）ABCD【解答】解：由题意可知：A（a，0），F1（c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=（x+a），由F1F2P=120，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，题意的离心率e=故选：D5双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【解答】解：双曲线的离心率为e=，则=，即双曲线的渐近线方程为y=x=x，故选：A6已知双曲线C：y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|=（）AB3C2D4【解答】解：双曲线C：y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60，不妨设过F（2，0）的直线为：y=，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|=3故选：B7设函数f（x）=x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay=2xBy=xCy=2xDy=x【解答】解：函数f（x）=x3+（a1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x故选：D二填空题（共6小题）8在平面直角坐标系xOy中，若双曲线=1（a0，b0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=故答案为：29已知椭圆M：+=1（ab0），双曲线N：=1若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为2【解答】解：椭圆M：+=1（ab0），双曲线N：=1若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e48e2+4=0，e（0，1），解得e=同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e=2故答案为：；210已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m1）上两点A，B满足=2，则当m=5时，点B横坐标的绝对值最大【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），=2，可得x1=2x2，1y1=2（y21），即有x1=2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，x22+4y22=4m，得（y12y2）（y1+2y2）=3m，可得y12y2=m，解得y1=，y2=，则m=x22+（）2，即有x22=m（）2=，即有m=5时，x22有最大值16，即点B横坐标的绝对值最大故答案为：511已知点M（1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB=90，则k=2【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），过A，B两点的直线方程为y=k（x1），联立可得，k2x22（2+k2）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=，x1x2=1，y1+y2=k（x1+x22）=，y1y2=k2（x11）（x21）=k2x1x2（x1+x2）+1=4，M（1，1），=（x1+1，y11），=（x2+1，y21），AMB=90=0，=0（x1+1）（x2+1）+（y11）（y21）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2（y1+y2）+2=0，1+2+4+2=0，即k24k+4=0，k=2故答案为：212曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a=3【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y=aex+（ax+1）ex，曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+1=2，解得a=3故答案为：313曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x【解答】解：y=2ln（x+1），y=，当x=0时，y=2，曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x故答案为：y=2x三解答题（共13小题）14设函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，求a；（）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex的导数为f（x）=ax2（2a+1）x+2ex由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，可得（a2a1+2）e=0，解得a=1；（）f（x）的导数为f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（x2）（ax1）ex，若a=0则x2时，f（x）0，f（x）递增；x2，f（x）0，f（x）递减x=2处f（x）取得极大值，不符题意；若a0，且a=，则f（x）=（x2）2ex0，f（x）递增，无极值；若a，则2，f（x）在（，2）递减；在（2，+），（，）递增，可得f（x）在x=2处取得极小值；若0a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+），（，2）递增，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；若a0，则2，f（x）在（，2）递增；在（2，+），（，）递减，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意综上可得，a的范围是（，+）15如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于A，B两点若OAB的面积为，求直线l的方程【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，焦点F1（，0），F2（，0），又a2+b2=c2=3，解得a=2，b=1椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3（2）可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，可设直线l的方程为y=kx+m，（k0，m0）由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，=（8km）24（4k2+1）（4m24）=0，可得m2=4k2+1，3k2+3=4k2+1，结合k0，m0，解得k=，m=3将k=，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（设A（x1，y1），B（x2，y2），由k联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，|x2x1|=，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2x1|=，OAB的面积为S=，解得k=，（正值舍去），m=3y=为所求16如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上（）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（）若P是半椭圆x2+=1（x0）上的动点，求PAB面积的取值范围【解答】解：（）证明：可设P（m，n），A（，y1），B（，y2），AB中点为M的坐标为（，），抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，可得（）2=4，（）2=4，化简可得y1，y2为关于y的方程y22ny+8mn2=0的两根，可得y1+y2=2n，y1y2=8mn2，可得n=，则PM垂直于y轴；（）若P是半椭圆x2+=1（x0）上的动点，可得m2+=1，1m0，2n2，由（）可得y1+y2=2n，y1y2=8mn2，由PM垂直于y轴，可得PAB面积为S=|PM|y1y2|=（m）=（4n216m+2n2）m=（n24m），可令t=，可得m=时，t取得最大值；m=1时，t取得最小值2，即2t，则S=t3在2t递增，可得S6，PAB面积的取值范围为6，17设椭圆+=1（ab0）的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|AB|=6（）求椭圆的方程；（）设直线l：y=kx（k0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q若=sinAOQ（O为原点），求k的值【解答】解：（）设椭圆+=1（ab0）的焦距为2c，由椭圆的离心率为e=，=；又a2=b2+c2，2a=3b，由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|AB|=6；可得ab=6，从而解得a=3，b=2，椭圆的方程为+=1；（）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1y20；|PQ|sinAOQ=y1y2；又|AQ|=，且OAB=，|AQ|=y，由=sinAOQ，可得5y1=9y2；由方程组，消去x，可得y1=，直线AB的方程为x+y2=0；由方程组，消去x，可得y2=；由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，两边平方，整理得56k250k+11=0，解得k=或k=；k的值为或18已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且+=证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（1，m），x1+x2=2，y1+y2=2m将A，B代入椭圆C：+=1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，即6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k=点M（1，m）在椭圆内，即，解得0m（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2，+=，F（1，0），x11+x21+x31=0，y1+y2+y3=0，x3=1，m0，可得P在第一象限，故，m=，k=1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex1=2x1，|FB|=2x2，|FP|=2x3=则|FA|+|FB|=4，|FA|+|FB|=2|FP|，联立，可得|x1x2|=所以该数列的公差d满足2d=|x1x2|=，该数列的公差为19设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，直线l的方程y=x1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为，由抛物线的弦长公式|AB|=8，解得：sin2=，=，则直线的斜率k=1，直线l的方程y=x1；（2）过A，B分别向准线x=1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，以AB为直径的圆与x=1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x22=4，则D（3，2），过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x3）2+（y2）2=1620设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA=OMB【解答】解：（1）c=1，F（1，0），l与x轴垂直，x=1，由，解得或，A（1.），或（1，），直线AM的方程为y=x+，y=x，证明：（2）当l与x轴重合时，OMA=OMB=0，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，OMA=OMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x1），k0，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2，直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=+，由y1=kx1k，y2=kx2k得kMA+kMB=，将y=k（x1）代入+y2=1可得（2k2+1）x24k2x+2k22=0，x1+x2=，x1x2=，2kx1x23k（x1+x2）+4k=（4k24k12k2+8k2+4k）=0从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，OMA=OMB，综上OMA=OMB21记f（x），g（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数若存在x0R，满足f（x0）=g（x0）且f（x0）=g（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax21与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=x2+a，g（x）=对任意a0，判断是否存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”，并说明理由【解答】解：（1）证明：f（x）=1，g（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x2不存在“S点”；（2）f（x）=2ax，g（x）=，x0，由f（x）=g（x）得=2ax，得x=，f（）=g（）=lna2，得a=；（3）f（x）=2x，g（x）=，（x0），由f（x0）=g（x0），得b=0，得0x01，由f（x0）=g（x0），得x02+a=，得a=x02，令h（x）=x2a=，（a0，0x1），设m（x）=x3+3x2+axa，（a0，0x1），则m（0）=a0，m（1）=20，得m（0）m（1）0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S”点22已知函数f（x）=lnx（）若f（x）在x=x1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点【解答】证明：（）函数f（x）=lnx，x0，f（x）=，f（x）在x=x1，x2（x1x2）处导数相等，=，x1x2，+=，由基本不等式得：=，x1x2，x1x2256，由题意得f（x1）+f（x2）=ln（x1x2），设g（x）=，则，列表讨论： x （0，16） 16 （16，+） g（x） 0+ g（x） 24ln2g（x）在256，+）上单调递增，g（x1x2）g（256）=88ln2，f（x1）+f（x2）88ln2（）令m=e（|a|+k），n=（）2+1，则f（m）kma|a|+kka0，f（n）knan（k）n（k）0，存在x0（m，n），使f（x0）=kx0+a，对于任意的aR及k（0，+），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=，设h（x）=，则h（x）=，其中g（x）=lnx，由（1）知g（x）g（16），又a34ln2，g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0，h（x）0，即函数h（x）在（0，+）上单调递减，方程f（x）kxa=0至多有一个实根，综上，a34ln2时，对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点23已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a1（）求函数h（x）=f（x）xlna的单调区间；（）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2）处的切线平行，证明x1+g（x2）=；（）证明当ae时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线【解答】（）解：由已知，h（x）=axxlna，有h（x）=axlnalna，令h（x）=0，解得x=0由a1，可知当x变化时，h（x），h（x）的变化情况如下表： x （，0） 0 （0，+） h（x） 0+ h（x） 极小值函数h（x）的单调减区间为（，0），单调递增区间为（0，+）；（）证明：由f（x）=axlna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）处的切线的斜率为lna由g（x）=，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2）处的切线的斜率为这两条切线平行，故有，即，两边取以a为底数的对数，得logax2+x1+2logalna=0，x1+g（x2）=；（）证明：曲线y=f（x）在点（）处的切线l1：，曲线y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线l2：要证明当a时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，只需证明当a时，存在x1（，+），x2（0，+）使得l1与l2重合，即只需证明当a时，方程组由得，代入得：，因此，只需证明当a时，关于x1 的方程存在实数解设函数u（x）=，既要证明当a时，函数y=u（x）存在零点u（x）=1（lna）2xax，可知x（，0）时，u（x）0；x（0，+）时，u（x）单调递减，又u（0）=10，u=0，故存在唯一的x0，且x00，使得u（x0）=0，即由此可得，u（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，u（x）在x=x0处取得极大值u（x0），故lnlna1=下面证明存在实数t，使得u（t）0，由（）可得ax1+xlna，当时，有u（x）=存在实数t，使得u（t）0因此，当a时，存在x1（，+），使得u（x1）=0当a时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线24已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若a=0，证明：当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x，（x1），可得x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x在（1，+）上单调递增，又f（0）=0当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x，得f（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2=，令h（x）=ax2x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）当a0，x0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意当a0时，h（x）=8a+4aln（x+1）+，显然h（x）单调递减，令h（0）=0，解得a=当1x0时，h（x）0，当x0时，h（x）0，h（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递减，又h（0）=0，当1x0时，h（x）0，即f（x）0，当x0时，h（x）0，即f（x）0，f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，x=0是f（x）的极大值点，符合题意；若a0，则h（0）=1+6a0，h（e1）=（2a1）（1e）0，h（x）=0在（0，+）上有唯一一个零点，设为x0，当0xx0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；若a，则h（0）=1+6a0，h（1）=（12a）e20，h（x）=0在（1，0）上有唯一一个零点，设为x1，当x1x0时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意综上，a=25已知函数f（x）=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一个零点，求a【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=exx2则f（x）=ex2x，令g（x）=ex2x，则g（x）=ex2，令g（x）=0，得x=ln2当x（0，ln2）时，g（x）0，当x（ln2，+）时，g（x）0，g（x）g（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+）只有一个零点方程exax2=0在（0，+）只有一个根，a=在（0，+）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点G，当x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，当0时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）=26已知函数f（x）=x+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a2【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）=1+=，设g（x）=x2ax+1，当a0时，g（x）0恒成立，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a0时，判别式=a24，当0a2时，0，即g（x）0，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，x，f（x），f（x）的变化如下表： x （0，） （，） （，+） f（x） 0+ 0 f（x） 递减 递增递减综上当a2时，f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，在（0，），和（，+）上是减函数，则（，）上是增函数（2）由（1）知a2，0x11x2，x1x2=1，则f（x1）f（x2）=（x2x1）（1+）+a（lnx1lnx2）=2（x2x1）+a（lnx1lnx2），则=2+，则问题转为证明1即可，即证明lnx1lnx2x1x2，即证2lnx1x1在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnxx+，（0x1），其中h（1）=0，求导得h（x）=1=0，则h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1），即2lnxx+0，故2lnxx，则a2成立31 / 31