高中数学不等式归纳讲解.doc

第三章 不等式

定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。
3-1 不等式的最基本性质
①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；
②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；
③加法性质；　如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y＋z；
④乘法性质：　如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）
3-2 不等式的同解原理
　 ①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。
　 ②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。
　　③如果不等式F（x）＜G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。
　 ④不等式F（x）G（x）＞0与不等式或同解
不等式解集表示方式
F(x)>0的解集为x大于大的或x小于小的
F(x)<0的解集为x大于小的或x小于大的
3-3 重要不等式
3-3-1 均值不等式
　　1、调和平均数：
　　2、几何平均数：
　　3、算术平均数：
　　4、平方平均数：
　　这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
　　a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
3-3-1-1均值不等式的变形
(1)对正实数a,b，有 (当且仅当a=b时取“=”号)
(2)对非负实数a,b，有
　　(6)对非负数a,b，有
(7) 若，有≥（等号仅当时成立）　
　(8)对非负数a,b,c，有
　　 (9)对非负数a,b，
3-3-1-1最值定理
当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。
均值不等式求最值主要方法：
常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.

3-3-2 权方和不等式

　a,b,n为正整数。m为正数。
3-4绝对值不等式
|+|≤||+||

3-5 不等式例题解析
3-5-1 绝对值不等式
1、求的解
2、右边的常数变为代数式
(1)|+1|>2－；(2)|－2－6|<3
形如||<，||>型不等式
这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：
①||<－<<
②||>>或<－
3、两个绝对值不等式
解不等式（1）|－1|<|+|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.
形如||<||型不等式
1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：
||<||<0
2）所谓零点分段法，是指：若数，，……，分别使含有|－|，|－|，……，|－|的代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值的零点，零点，，……，将数轴分为+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。
例题．不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为 。
解：
|x+3|-|2x-1|=
4、含参数绝对值不等式
解关于x的不等式
［解题］原不等式等价于
当即时，
∴
当即时， ∴x¹-6
当即时， xÎR
方法归纳：
形如||<，||>()型不等式
此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：
① 当>0时，||<－<<；||>>或<－；
② 当=0时，||<无解，||>≠0
③ 当<0时，||<无解，||>有意义。
4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题
若不等式|－4|+|3－|<的解集为空集，求的取值范围。
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|≤||+||，便把问题简化。
［解题］解法一 (1)当≤0时，不等式的解集是空集。
(2)当>0时，先求不等式|－4|+|3－|<有解时的取值范围。
令－4=0得=4，令3－=0得=3
① 当≥4时，原不等式化为－4+－3<，即2－7<
解不等式组，∴>1
② 当3<<4时，原不等式化为4－+－3<得>1
③ 当≤3时，原不等式化为4－+3－<即7－2<
解不等式，∴>1
综合①②③可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<≤1时，原不等式解集为空集。
由(1)(2)知所求取值范围是≤1
解法二由|－4|+|3－|的最小值为1得当>1时，|－4|+|3－|<有解
从而当≤1时，原不等式解集为空集。
解法三： ∵>|－4|+|3－|≥|－4+3－|=1
∴当>1时，|－4|+|3－|<有解
从而当≤1时，原不等式解集为空集。
方法总结：
1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。
2）有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
6、绝对值三参数不等式问题
已知函数，当时，求证：；
，则当时，求证：。
［思路］本题中所给条件并不足以确定参数a,b,c的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用 、、来表示,。因为由已知条件得，，。
［解题］证明：(1)由，从而有

(2)由
从而
将以上三式代入，并整理得
收获
1） 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.
2）本题变形技巧性强，同时运用公式，及已知条件进行适当的放大。要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力。
例题2．已知函数f(x)=，a,bR，且，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|。
分析：要证，考察左边，是否能产生|a-b|。
证明：|f(a)-f(b)|=

（其中，同理∴）
回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。
2、本题的背景知识与解析几何有关。函数是双曲线，的上支，而（即），则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。（学过有关知识后），很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间。
2．（1）已知不等式|x-3|+|x+1|<a，的解集为空集，求a的取值范围；
（2）已知不等式|x-3|+|x+1|<a有解，求a的取值范围。
分析：“有解”即“解集非空”，可见（1）（2）两小题的答案（集合）互为补集（全集为R）
当然可以用|x-3|+|x+1|=这种“去绝对值”的方法来解，但我们考虑到“三角形不等式”：||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|
知|x-3|+|x+1|≥|x-3-x-1|=4
这样|x-3|+|x+1|<a等价于
若（*）解集为，则a≤4，若（*）有解，则a>4。
解（略）
回顾：本题是“绝对值不等式性质定理”（即“三角形不等式”）的一个应用。
发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|>a的解集非空，求a的取值范围。
（2）已知不等式|x-3|+|x+1|≤a的解集非空，求a的取值范围。
3．已知f(x)的定义域为[0,1]，且f(0)=f(1)，如果对于任意不同的x1,x2∈[0,1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，求证：|f(x1)-f(x2)|<
分析：题设中没有给出f(x)的解析式，这给我们分析f(x)的结构带来困难，事实上，可用的条件只有f(0)=f(1) ①，与|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|②两个。
首先，若|x1-x2|≤，那么必有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|≤即|f(x1)-f(x2)|<成立。
但若|x1-x2|>呢？考虑到0≤|x1-x2|≤1，则1-|x1-x2|<，看来要证明的是|f(x1)-f(x2)|≤1-|x1-x2|<成立！
证明：不妨设x1≤x2，则0≤x1≤x2≤1
（1）当|x1-x2|≤时，则有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|≤即|f(x1)-f(x2)|<成立。
（2）当|x1-x2|>时，即x2-x1>时，∵0≤x2-x1≤1
必有1-|x1-x2|<即1- x2+x1<
也可写成|1- x2|+|x1|< (*)
另一方面|f(x1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|≤|f(1)-f(x2)|+|f(x1)-f(0)|<|1- x2|+|x1-0|
则由（*）式知|f(x1)-f(x2)|<成立
综上所述，当x1,x2∈[0,1]时都有|f(x1)-f(x2)|<成立。
已知二次函数，当时，有，求证：当时，有.
分析：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.
要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.
证明：由题意知：，
∴ ，
∴ .
由时，有，可得 .
∴ ,
.
（1）若，则在上单调，故当时，∴ 此时问题获证.
（2）若，则当时，
又，
∴ 此时问题获证. 综上可知：当时，有.
评析：因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.

7、 绝对值不等式与其它知识的横向联系

已知.设函数在R上单调递减.不等式的解集为R.如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.
［思路］ 此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.
［解题］:函数在R上单调递减，
不等式的解集为R函数在R上恒大于1，
∵
∴函数在R上的最小值为，
∴不等式的解集为R，即，
若正确，且不正确，则；
若正确，且不正确，则；
所以的取值范围为.
［收获］
“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.
3-5-2 均值不等式

1、 已知（为常数），，求的最小值
2．已知，，且，求 的最大值.

3．求最小值；

4．设，，且，则

已知≥，≥，且，求证：≤
若, 求的最小值
3-5-3 分式不等式
解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：
（1）
（2）

解题方法
穿针引线法,又称“数轴穿根法”或“数轴标根法”
　　第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）
　　例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
　　第二步：将不等号换成等号解出所有根。
　　例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
　　第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
　　例如：-1 1 2
　　第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。
　　第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。
　　例如：
　　若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
　　在数轴上标根得：-1 1 2
　　画穿根线：由右上方开始穿根。
　　因为不等号威“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1<x<1或x>2。
　奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字 这个数字要按照两个数字穿~~~如（x-1)^=0 两个解都是1 那么穿的时候不要透过1。
解题步骤： （1）首项系数化为“正”
（2）移项通分，不等号右侧化为“0”
（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式
系数非正，小于等于
（4）数轴标根。
例2、解不等式：
解略

点评：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。
右侧非0
例3、解不等式：
点评：1、不能随便去分母
2、移项通分，必须保证右侧为“0”
3、注意重根问题
分子，分母有公因式
例4、解不等式：

点评：1、不能随便约去因式
不等号左右有公因式
2、重根空实心，以分母为准
例5、解不等式：

不能十字相乘分解因式；无法分解因式
点评：不等式左右不能随便乘除因式。
例6、解不等式：

二次三项式，a>0,△<0，恒正也可利用配方法判定二次三项式的正负

十字相乘法分解因式受阻

△≥0
△＜0
求根公式法分解因式
恒正或恒负
点评：

练习：解不等式：
1、（首相系数化为正，空实心）

2、（移项通分，右侧化为0）

3、（因式分解）

4、（求根公式法因式分解）

5、（恒正式，重根问题）

6、（不能随便约分）

含参分类讨论
7、（取交集）

例7、解不等式：