高中数学不等式培优(教师版).doc

专题一 第四讲 不等式
一、不等式的概念、性质及解法
1、含参数不等式的解法
例1：已知：函数f(x)=(a＞0).解不等式：＜1.
解：(1)当x≤0时，即解＜1,即＞0，不等式恒成立，即x≤0；
（2）当x＞0时，即解＜1，即>0,因为a+2＞2,所以0<x<2或x>a+2.
由(1)(2)得，原不等式解集为(-∞,2)∪(a+2,+∞)
2、含绝对值不等式的解法
例2：解关于的不等式：
分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想.本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集.
解：当

.
二、线性规划
例3：设不等式组所表示的平面区域是,平面区域与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值为____________.

例4：已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且，若设，求实数的取值范围.
解析：,又处取得极大值，在处取得极小值
故在有，在上有
方程即的两根分布在内

又，由线性规划知识易知，当过两点时取得最大和最小值，的范围为.
三、基本不等式
例5：（1）已知是正常数，，，求证：，指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值．
解：⑴，
故．当且仅当，即时上式取等号；
⑵由⑴．
当且仅当，即时上式取最小值，即．
四、不等式恒成立问题
1、双变量的恒成立问题
例6：已知二次函数，对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
答案：
2、用图形解题
例7：若≥对一切x＞0恒成立，则a的取值范围是 ．
答案：

专题一 第四讲 不等式
班级_________________姓名____________________
一、填空题：
1．已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是___________.
2．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为 .
3．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 .
①；②；③ ； ④；⑤
4．设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，则实数a的取值范围是_____.
5．若不等式的解集为区间,且,则k=_________.
6．已知非负实数，满足且，则的最大值是_______.
7．实系数方程x2+ax+2b=0的两根为x1、x2，0＜x1＜1＜x2＜2,则的取值范围是_______.
8．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则的最小值为___________.
9．已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为_____________.
10．不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4＜0,对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是_______________.
11．若关于x的不等式至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________.
12．若不等式x2－logax<0在内恒成立，则实数a的取值范围是 .
13．若不等式[(1-a)n-a]lga<0对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_______.
14．已知，且方程无实数根，下列命题：
①方程也一定没有实数根；
②若，则不等式对一切实数都成立；
③若，则必存在实数，使；
④若，则不等式对一切实数都成立．
其中正确命题的序号是 ．(把你认为正确的命题的所有序号都填上)
二、解答题：
15．设f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R)，如果当x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数t的取值范围.

16．设函数，其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

17．设函数f(x)＝|x－a|－ax，其中a>0.
(1)解不等式f(x)<0；
(2)当0<a≤1时，求函数f(x)的最小值．

18．设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；
(2)解不等式：f(x－)<f(x－)；
(3)证明：若－1≤c≤2，则函数g(x)＝f(x－c)和h(x)＝f(x－c2)存在公共定义域，并求出这个公共定义域．

专题一 第四讲 不等式答案
1．4 2．1 3．①③⑤ 4． 5． 6．3
7．（，1） 8． 9． 10．（-2,2] 11．
12． 13． 14．①②④
15．x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立.
∴x∈［0,1］时，恒成立；
即x∈［0,1］时，t≥-2x+恒成立.
于是转化求-2x+在x∈［0,1］的最大值问题.
令M=,则x=M2-1,由x∈［0,1］,知M∈［1, ］,
∴-2x+=-2(M2-1)+M=-2(M-)2+.
∴当M=1,即x=0时，-2x+有最大值为1.
∴t的取值范围是｛t|t≥1｝.
16．
17．(1)由f(x)<0，得|x－a|<ax，∵a>0，∴x>0，∴
①当a>1时，有∵<，∴x>.
②当a＝1时，解不等式组得x>.
③当0<a<1时，有∵>，∴<x<.
综上所述，当a≥1时，不等式的解集为；
当0<a<1时，不等式的解集为.
(2)∵f(x)＝|x－a|－ax＝
∴当0<a<1时，函数f(x)在[a，＋∞)上为增函数，在(－∞，a)上为减函数；
当x＝a时，函数f(x)的最小值为f(a)＝－a2；当a＝1时，f(x)＝
∴f(x)的最小值为－1.综上所述，x＝a时，f(x)有最小值为－a2.
18．(1)解：任取x1，x2∈[－1,1]，当x1<x2时，由奇函数的定义和题设不等式，得
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝(x1－x2)<0.
∴f(x)是增函数，a，b∈[－1,1]，且a>b.∴f(a)>f(b)．
(2)解：∵f(x)是[－1,1]上的增函数，
∴f(x－)<f(x－)⇔－≤x≤.
∴该不等式的解集为{x|－≤x≤}．
(3)证明：设函数g(x)与h(x)的定义域分别为P和Q，则P＝[c－1，c＋1]，Q＝[c2－1，c2＋1]．
∵－1≤c≤2，
∴(c2－1)－(c＋1)＝(c－2)(c＋1)≤0，即c2－1≤c＋1.
又c2＋1>c－1，
∴g(x)定义域与h(x)定义域交集非空．
当－1≤c<0，或1<c≤2时，c(c－1)>0，这时公共定义域为[c2－1，c＋1]，
当0≤c≤1时，c(c－1)≤0，这时公共定义域为[c－1，c2＋1]．

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