高中数学不等式选修题型全归纳.doc

6.不等式选讲6.1均值不等式在证明中的应用1. （1）已知，求证：；（2）已知实数 满足：，试利用（1）求的最小值。（1）证：（当且仅当时，取等号）；（2）解：，当且仅当时，的最小值是。考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式6.2绝对值不等式6.2.1单绝对值不等式2. 已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围为_.答案：解析：分别作出函数与的图像，由图知，时，函数与无交点，时，函数与有三个交点，故当，时，函数与有一个交点，当，时，函数与有两个交点，当时，若与相切，则由得：或（舍），因此当，时，函数与有两个交点，当，时，函数与有三个交点，当，时，函数与有四个交点，所以当且仅当时，函数与恰有个交点.考点：单绝对值不等式3. 存在 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为_答案：解析：不等式 ，即 ，令 的图象是关于 对称的一个 字形图形，其象位于第一、二象限； ，是一个开口向下，关于 轴对称，最大值为 的抛物线；要存在 ，使不等式 成立，则 的图象应该在第二象限和 的图象有交点，两种临界情况，当 时，的右半部分和 在第二象限相切： 的右半部分即 ，联列方程 ，只有一个解；即 ，即 ，得： ；此时 恒大于等于 ，所以取不到；所以 ；当 时，要使 和 在第二象限有交点，即 的左半部分和 的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要 与 轴的交点小于 即可； 与 轴的交点为 ，所以 ，又因为 ，所以 ；综上，实数 的取值范围是： ；故答案为：考点：单绝对值不等式6.2.2同系数绝对值相加型不等式4. 已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）设，且当时，求的取值范围。（1）当时，令，作出函数图像可知，当时，故原不等式的解集为；（2）依题意，原不等式化为，故对都成立，故，故，故的取值范围是.考点：同系数绝对值相加型不等式6.2.3同系数绝对值相减型不等式5. 已知函数（1）证明：（2）求不等式的解集。（1） 当时，所以，（2）由（1）可知当 时，的解集为空集；当时，的解集为当 时，的解集为综上：不等式的解集：考点：同系数绝对值相减型不等式6.2.4不同系数绝对值相加减型不等式6. 设函数（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围（1）由题意得当 时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，综上，不等式的解集为（2）由（1）得 ，若， 恒成立，则只需 ，解得 ，综上，的取值范围为考点：不同系数绝对值相加减型不等式6.3已知绝对值不等式解求参数7. 设函数(1)当时，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集为，求的值。（1）当时，可化为。 由此可得 或。 故不等式的解集为或。(2) 由 得 此不等式化为不等式组 或即 或 因为，所以不等式组的解集为 由题设可得，故考点：已知绝对值不等式解求参数6.4已知绝对值不等式解的范围求参数范围8. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.答案：（1）当时，所以不等式可化为，或，或解得或因此不等式的解集为或（2）由已知即为，也即若的解集包含 ，则，也就是，所以，从而，解得因此的取值范围为.考点：已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减6.5含绝对值不等式的恒成立问题9. 已知函数，（1）若对任意的有成立，求的取值范围；（2）若不等式，对于任意的都成立，求的取值范围。（1）根据题意, 小于等于 的最小值由可得所以 （2）当 即 时， 恒成立，当 时，由绝对值不等式得性质可得 ，当且仅当 时取 ， 恒成立， ， ，考点：含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式6.6含绝对值不等式的能成立问题10. 已知函数 .(1)求 的取值范围,使 为常数函数.(2)若关于 的不等式 有解,求实数 的取值范围.(1)则当 时, 为常数函数.(2)方法一:如图,结合(1)知函数的最小值为 , 实数 的取值范围为 .方法二: ; ,等号当且仅当 时成立.得函数 的最小值为 ,则实数 的取值范围为 .考点：含绝对值不等式的能成立问题6.7利用绝对值的三角不等式放缩求最值11. 已知实数满足：求证：证明：，由题设.考点：绝对值的三角不等式6.8数形结合在含参绝对值不等式中的应用12. 已知函数（1）求的解集；（2）设函数，若对任意的都成立，求实数的取值范围（1），即, 或 或解得不等式：；：无解；：，所以的解集为或（2）即的图象恒在图象的上方，可以作出的图象，而图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线，作出函数图象， 其中 ，由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，实数的取值范围应该为 考点：同系数绝对值不等式相加型、 数形结合在含参绝对值不等式中的应用 7.证明不等式的基本方法7.1比较法证明不等式13. 设不等式的解集是，（1）试比较与的大小；（2）设表示数集的最大数求证：答案：（1）（2）见解析解析：（1）先解出.问题得证.（2）可知,所以根据不等式的性质，同向正向不等式具有可乘性，从而可证出.故.考点：比较法证明不等式7.2综合法证明不等式7.3分析法证明不等式14. 已知,不等式的解集为.（1）求；（2）当时,证明:.（1）解不等式： ； 或 或或或，. （2）需证明：，只需证明，即需证明，所以原不等式成立.考点：分析法证明不等式7.4反证法证明不等式15. 设 且证明：（1） ；（2） 与 不可能同时成立.由， 得（1）由基本不等式及 ，有 ，即；（2）假设与同时成立，则由 及 得 ，同理 ，从而 ，这与 矛盾，故 与 不可能同时成立.考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用8.5放缩法证明不等式(多为数列的题)16. 已知数列的前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前和为，证明：【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）考虑到，因此可以利用条件中的式子得到数列的一个递推公式，从而即可求解；（2）由（1）可知，从而可证，进一步放缩可得，求和即可得证.试题解析：（1），当时， ，又，与两边分别相减得，得，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，得；，得，又，.9.柯西不等式9.1柯西不等式的代数形式17. 已知关于的不等式的解集为 求实数 的值； 求的最大值. 由，得则，解得 当且仅当即时等号成立，故.考点：柯西不等式的代数形式9.2一般形式的柯西不等式18. 已知函数且的解集为,求的值;若且求证(1)的解集是故.由知由柯西不等式得考点：一般的柯西不等式第 18 页 共 18 页