高中数学复习专题—不等式.doc

高中数学复习专题
——不等式
一、考点自练：
1．若集合A＝{x||2x－1|＜3}，B＝，则A∩B＝________．

2．已知不等式的解集是则不等式的解集为 ．

3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

4．设x，y是正实数，且x＋y＝1，则＋的最小值是________．

二、典例剖析：
例1已知常数都是实数， 不等式>0的解集为．
（1）求实数的值；
（2）若，求函数的最小值．

例2已知．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，解不等式．

例3已知,,．
（1）求的范围；（2）求的范围．

例4某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（）万元/万件．
（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大．

不等式作业
1．不等式的解集是 ___________．
2．不等式的解集为_______________．
3．若关于不等式的解集为，则实数的取值范围是　　　　　．
4．给出下列命题：
①a，b都为正数时，不等式a＋b≥2才成立；
②y＝x＋的最小值为2；
③y＝sinx＋(0＜x＜)的最小值为2；
④当x＞0时，y＝x2＋16x≥2，当x2＝16x时，即x＝16，y取最小值512．
其中错误的命题是 ．
5．车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________．
6．如果关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a的取值范围是_____．
7．已知方程（其中）有两个相等的实根,则的最小值为________．
8．若关于x的不等式的解集为(1，m)，则实数m= ．
9．若a＞0，b＞0，c＞0且a(a+b+c)+bc=4－2，则2a+b+c的最小值为 　　．
10．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 　 ．
11．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为______．
12．已知函数．
（1）若的解集为{x|x＜1或x＞3}，求实数的值．
（2）若对恒成立，求实数的取值范围；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围。

13．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间 (单位：天)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天? [来源:学*科*网Z*X*X*K]
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．

14．已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）设，若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围；
（3）设，解关于的不等式组．

高中数学复习专题（教师版）
——不等式
一、考点自练：
1．若集合A＝{x||2x－1|＜3}，B＝，则A∩B＝________．
解析：由|2x－1|＜3，得－3＜2x－1＜3，即－1＜x＜2，A＝{x|－1＜x＜2}．由，得，所以x≤－或x＞3，B＝{x|x≤－或x＞3}．故A∩B＝．
2．已知不等式的解集是则不等式的解集为 ．
3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
解：不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16＞0，∴a＜－4或a＞4．
4．设x，y是正实数，且x＋y＝1，则＋的最小值是________．
解析设，则，所以
=．
因为，所以．
二、典例剖析：
例1已知常数都是实数， 不等式>0的解集为．
（1）求实数的值；
（2）若，求函数的最小值．
解：（1）由题可知的解集为，
则的两根，
由韦达定理可知，解得．
（2） 当且仅当取等号．.
例2已知．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，解不等式．
解：（1）当时，，解得；
当时，不合题意；所以．
（2），即．
因为，所以，因为
所以当时，， 解集为｛|｝；
当时，，解集为；
当时，， 解集为｛|｝．
例3已知,,．
（1）求的范围；（2）求的范围．
解：（1）令，则．又，，
，，，
，得，又由及得，
而，若，则，与前面矛盾，故，即，
从而，即．
（2），令，则，∴．
又，而，∴，又，∴．
例4某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（）万元/万件．
（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大．
解：（1）由题意知,该产品售价为万元，，
代入化简得，()．
（2），
当且仅当，时，上式取等号．
当时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当时，，
故在上单调递增，
所以在x=a时，函数有最大值．促销费用投入万元时，厂家的利润最大．
综上述，当时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．来源:学_科_网Z_X_X_K]
当时，促销费用投入万元时，厂家的利润最大．

不等式作业（教师版）
1．不等式的解集是 ___________．
2．不等式的解集为_______________．
3．若关于不等式的解集为，则实数的取值范围是．
4．给出下列命题：
①a，b都为正数时，不等式a＋b≥2才成立；
②y＝x＋的最小值为2；
③y＝sinx＋(0＜x＜)的最小值为2；
④当x＞0时，y＝x2＋16x≥2，当x2＝16x时，即x＝16，y取最小值512．
其中错误的命题是 ．①②③④
解：①a＋b≥2成立的充要条件是a≥0，b≥0；
②当x＞0，y＝x＋≥2；当x<0时，y＝x＋＝－(－x－)≤－2＝－2；
③y＝sinx＋≥2，等号成立的条件是sinx＝，即sinx＝，
而当0＜x＜时，0＜sinx≤1，故等号不成立，y的最小值可通过单调性的定义判断，
y＝t＋(t＝sinx)在(0,1]上单调递减，从而ymin＝1＋2＝3；
④“2”不是定值，因此该命题也不对．
y＝x2＋16x在x∈(0，＋∞)单调递增，无最小值．
5．车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________．
解：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝＝
＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80件（x＞0）时，取最小值．
6．如果关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a的取值范围是_____．
解：由5x2－a≤0，得－≤x≤ ，而5x2－a≤0的正整数解是1，2，3，4，
所以4≤ ＜5，所以80≤a＜125．
7．已知方程（其中）有两个相等的实根,则的最小值为________．
8．若关于x的不等式的解集为(1，m)，则实数m= ．2
9．若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4－2，则2a+b+c的最小值为 　　．
解：∵a(a+b+c)+bc=＝4－2，
∴2a+b+c＝
（当且仅当时取“=”）．
10．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 　 ．
11．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为______．
解：由题可得a＞0，c＞0，且Δ＝22－4ac＝0即ac＝1．
所以a＋c≥2＝2，当且仅当a＝c＝1时取等号．
所以＝ac×＝a2＋c2＋a＋c＝(a＋c)2＋(a＋c)－2，
当且仅当a＝c＝1时，min＝22＋2－2＝4．
12．已知函数．
（1）若的解集为{x|x＜1或x＞3}，求实数的值．
（2）若对恒成立，求实数的取值范围；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）根据题意，得，解得．
（2）由题意对恒成立，
则对恒成立， ，当且仅当 时“=”成立．
∴．
（或分类讨论求函数的最小值）[来源:Z,xx,k.Com]
（3）由题可得对恒成立．
令，则对恒成立，
则，得．
13．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间 (单位：天)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天? [来源:学*科*网Z*X*X*K]
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．
解：（1），
当时，有，解得；
当时，有，解得；
综上可知，所以若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天．
（2）设从第一次喷洒起，经过天（）
浓度，
因为，所以，当时，有最小值令，解得，所以得最小值为．
14．已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）设，若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围；
（3）设，解关于的不等式组．
解：（1）因为不等式的解集为，
所以由题意得为函数的两个根，
所以，解得．
（2）当时,恒成立,即恒成立．
因为 ,所以，
解之得，所以实数的取值范围为．
（3）当时，，的图象的对称轴为．
（ⅰ）当，即时，由，得；
（ⅱ）当，即或时，
①当时，由，得，所以；
②当时，由，得，所以或．
（ⅲ）当，即或时，
方程的两个根为，．
①当时，由知，所以的解为或；
②当时，由知，所以的解为．
综上所述：
当时，不等式组的解集为；
当时，不等式组的解集为．