圆外一点切线方程.doc

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若点M(x0,y0)在圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2上，
则过点M的切线方程为
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
若已知点M(x0,y0)在圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2外，
则切点AB的直线方程也为
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
向量法
设圆上一点A为（x0,y0),则该点与圆心O的向量OA（x0-a,y0-b)
因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0.
设直线上任意点B为(x,y)
则对于直线方向上的向量AB（x-x0,y-y0)
有向量AB与OA的点积
AB●OA=(x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0)
=（x-a+a-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-b+b-y0)
=(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)-(x0-a)^2-(y0-b)^2=0
故有(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2

已知圆外一点(c,d)和圆:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
求过已知点且与圆相切的直线方程。方法1:先检验直线x=c是否满足要求。
设所求切线的斜率为k,则该直线的方程是y-d=k(x-c)即kx-y+d-kc=0再由条件得点(a,b)到切线的距离为r,即(ka-b+d-kc)/sqrt(1+k^2)=r(其中sqrt(x)表示x的算术平方根)由此方程求出k再求直线方程。
方法2:点(c,d)和圆心(a,b)的距离是
sqrt((a-c)^2+(b-d)^2)
过点(c,d)作圆的切线,切点和点(c,d)的距离是
l=sqrt((a-c)^2+(b-d)^2-r^2)
以点(c,d)为圆心作半径为l的圆,其方程为
(x-c)^2+(y-d)^2=(a-c)^2+(b-d)^2-r^2联立此方程和已知圆的方程求出两圆交点的坐标(也就是切点坐标),再求切线方程。

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