指数函数题型汇总.pdf

.指数函数指数函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨1比较大小例 1已知函数满足，且，则与的大小关系是_2()f xxbxc(1)(1)fxfx(0)3f()xf b()xf c分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内bc且xxbc且解：，(1)(1)fxfx函数的对称轴是()f x1x 故，又，2b(0)3f3c 函数在上递减，在上递增()f x1且1 且若，则，；0 x321xx(3)(2)xxff若，则，0 x 321xx(3)(2)xxff综上可得，即(3)(2)xxff()()xxf cf b评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例 2已知，则 x 的取值范围是_2321(25)(25)xxaaaa分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解：，2225(1)441aaa函数在上是增函数，2(25)xyaa()且，解得x 的取值范围是31xx 14x 14且评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论3求定义域及值域问题例 3求函数的定义域和值域216xy解：由题意可得，即，2160 x261x，故 函数的定义域是20 x 2x()f x2且令，则，26xt1yt又，即2x20 x 2061x01t，即011t 01y 函数的值域是01 且.评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响4最值问题例 4函数在区间上有最大值 14，则 a 的值是_221(01)xxyaaaa且 11 且分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 的取值范围xtat解：令，则，函数可化为，其对称轴为xta0t 221xxyaa2(1)2yt1t 当时，1a 11x 且，即1xaaa1taa当时，ta2max(1)214ya解得或（舍去）；3a 5a 当时，01a11x 且，即，1xaaa1ata 时，1ta2max11214ya解得或（舍去），a 的值是 3 或13a 15a 13评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等5解指数方程例 5解方程223380 xx解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），29(3)80390 xx3(0)xtt298090tt9t 19t ，经检验原方程的解是39x2x 2x 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根6图象变换及应用问题例 6为了得到函数的图象，可以把函数的图象（）935xy 3xy A向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度B向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度D向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断935xy 235xt解：，把函数的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数293535xxy3xy 的图象，故选（C）935xy 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等习题习题1、比较下列各组数的大小：.（1）若，比较 与；（2）若，比较 与；（3）若，比较 与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b解：（1）由，故，此时函数 为减函数由，故（2）由，故 又，故 从而（3）由，因，故 又，故 从而（4）应有 因若，则 又，故，这样 又因，故 从而，这与已知 矛盾（5）应有 因若，则 又，故，这样有 又因，且，故 从而，这与已知 矛盾小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解2 曲线 分别是指数函数,和 的图象,则 与 1 的大小关系是().(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在 轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选.小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3 求下列函数的定义域与值域.(1)y2;(2)y4x+2x+1+1.31x.解：(1)x-30，y2的定义域为xxR 且 x3.又0，21，31x31x31xy2的值域为yy0 且 y1.31x(2)y4x+2x+1+1 的定义域为 R.2x0,y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21.y4x+2x+1+1 的值域为yy1.4 已知-1x2,求函数 f(x)=3+23x+1-9x的最大值和最小值解：设 t=3x,因为-1x2，所以，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当 t=3 即 x=1 时，f(x)取最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取931 t最小值-24。5、设，求函数 的最大值和最小值分析：注意到，设，则原来的函数成为，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值解：设，由 知，函数成为，对称轴，故函数最小值为，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为 6（9 分）已知函数在区间1,1上的最大值是 14，求 a 的值.)1(122aaayxx解：，换元为，对称轴为.)1(122aaayxx)1(122atatty1t当，即 x=1 时取最大值，略1aat 解得 a=3(a=5舍去)7已知函数（且）（1）求 的最小值；（2）若，求 的取值范围解：（1），当 即 时，有最小值为（2），解得 当 时，；当 时，8（10分）（1）已知是奇函数，求常数m的值；mxfx132)(（2）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3k无|13|xy解？有一解？有两解？解：（1）常数m=1.（2）当k0时，直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解;|13|xy当k=0或k1时,直线y=k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一解;|13|xy 当 0k0 且 a1).11xxaa(1)求 f(x)的定义域和值域；(2)讨论 f(x)的奇偶性；(3)讨论 f(x)的单调性.解：(1)易得 f(x)的定义域为xxR.设 y,解得 ax-ax0 当且仅当-0 时，方程有解.解-0 得-1y1 时，ax+1 为增函数，且 ax+10.为减函数，从而 f(x)1-为增函数.2当 0a1 时，类似地可得 f(x)为减函数.12xa12xa11xxaa11xxaa15、已知函数 f（x）=a（aR），122x（1）求证：对任何 aR，f（x）为增函数（2）若 f（x）为奇函数时，求 a 的值。（1）证明：设 x1x2f（x2）f（x1）=0)21)(21()22(22112xxxx故对任何 aR，f（x）为增函数（2），又 f（x）为奇函数xR 得到。即(0)0f10a 1a 16、定义在 R 上的奇函数有最小正周期为 2，且时，)(xf)1,0(x142)(xxxf（1）求在1，1上的解析式；（2）判断在（0，1）上的单调性；)(xf)(xf（3）当为何值时，方程=在上有实数解.)(xf 1,1x解（1）xR 上的奇函数 0)0(f又2 为最小正周期 0)1()1()12()1(ffff设 x（1，0），则x（0，1），)(142142)(xfxfxxxx142)(xxxf.（2）设 0 x1x21)的图像是()分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.解法 1：(分类讨论)：去绝对值，可得 y).0()1(),0(xaxaxx又 a1，由指数函数图像易知，应选 B.解法 2：因为 yax是偶函数，又 a1，所以当 x0 时，yax是增函数；x0 时，ya-x是减函数.应选 B.(0,1)x142-1,0,1 x0 (-1,0)x142)(xxxxxf