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(名师选题名师选题)全国通用版高中数学选修一解题方法技巧全国通用版高中数学选修一解题方法技巧 单选题 1、直线2+3 6=0关于点(1,1)对称的直线方程为（）A3 2+2=0B2+3+7=0 C3 2 12=0D2+3 4=0 答案：D 分析：设对称的直线方程上的一点的坐标为(，),则其关于点(1,1)对称的点的坐标为(2 ,2 ),代入已知直线即可求得结果.设对称的直线方程上的一点的坐标为(，),则其关于点(1,1)对称的点的坐标为(2 ,2 )，以(2 ,2)代换原直线方程中的(,)得2(2 )+3(2 )6=0，即2+3 4=0.故选：D.2、椭圆22+1+22=1(0)的焦点为1，2，与轴的一个交点为，若12=3，则=（）A1B2C3D2 答案：C 分析：由椭圆的定义结合已知得|1|=|12|，进而求出m即可.在椭圆22+1+22=1(0)中，=2+1，=，=1.易知|1|=|2|=.又12=3，所以 12为等边三角形，即|1|=|12|，所以2+1=2，即=3.故选：C.3、若点在曲线1:21629=1上，点在曲线2:(5)2+2=1上，点在曲线3:(+5)2+2=1上，则|的最大值是（）A9B10C11D12 答案：B 分析：分析可知两圆圆心为双曲线1的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得|的最大值.在双曲线1中，=4，=3，=5，易知两圆圆心分别为双曲线1的两个焦点，记点1(5,0)、2(5,0)，当|取最大值时，在双曲线1的左支上，所以，|2|+1 (|1|1)=|2|1|+2=2+2=10.故选：B.4、已知12是椭圆：22+22=1(0)的两个焦点，为椭圆上的一点，且1 2.若 12的面积为9，则=（）A2B3C4D5 答案：B 分析：根据 12的面积以及该三角形为直角三角形可得|1|2|=18，|1|2+|2|2=42，然后结合|1|+|2|=2，简单计算即可.依题意有|1|+|2|=2，所以|1|2+|2|2+2|1|2|=42 又1 2，12=12|1|2|=9，所以|1|2|=18，又|1|2+|2|2=42，可得42+36=42，即2 2=9，则=3，故选：B.5、已知双曲线2222=1(0)的一条渐近线的倾斜角为6，则此双曲线的离心率e为（）A233B263C3D2 答案：A 分析：根据题意渐近线的斜率为tan6=33，所以该渐近线的方程为=33，所以22=(33)2，求得=6，利用=2+2，求得即可得解.双曲线2222=1(0)的一条渐近线的倾斜角为6，tan6=33，该渐近线的方程为=33，22=(33)2，解得=6或6（舍去），=2+2=22，双曲线的离心率为=226=233 故选：A 6、已知1,2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且12=60,|1|=3|2|，则C的离心率为（）A72B132C7D13 答案：A 分析：根据双曲线的定义及条件，表示出|1|,|2|，结合余弦定理可得答案.因为|1|=3|2|，由双曲线的定义可得|1|2|=2|2|=2，所以|2|=，|1|=3；因为12=60,由余弦定理可得42=92+2 2 3 cos60，整理可得42=72，所以2=22=74，即=72.故选：A 小提示：关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,间的等量关系是求解的关键.7、已知双曲线:2222=1(0,0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12，则双曲线C的渐近线方程为（）A=12B=2 C=4D=14 答案：A 分析：首先根据题意得到=|2+2=12，从而得到=12，即可得到答案.由题知：设(,0)，一条渐近线方程为=，即 =0.因为=|2+2=12，所以=12，故渐近线方程为=12.故选：A 8、设1,2是椭圆212+224=1的两个焦点，是椭圆上一点，且12=13.则 12的面积为（）A6B62C8D82 答案：B 分析：利用椭圆的几何性质，得到|1|+|2|=2=46，|12|=2=43，进而利用12=13得出|1|2|=18，进而可求出 12 解：由椭圆212+224=1的方程可得2=24,2=12，所以2=2 2=12，得=26,=23 且|1|+|2|=2=46，|12|=2=43，在 12中，由余弦定理可得 cos12=|1|2+|2|2|12|22|1|2|=(|1|+|2|)22|1|2|12|22|1|2|=42422|1|2|2|1|2|=422|1|2|2|1|2|=4122|1|2|2|1|2|，而cos12=13，所以，|1|2|=18，又因为，cos12=13，所以sin12=223，所以，12=12|1|2|sin12=12 18 223=62 故选：B 9、已知椭圆22+22=1(0)上存在点，使得|1|=3|2|，其中1，2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A(0,14B(14,1)C(12,1)D12,1)答案：D 分析：先由椭圆的定义结合已知求得|1|,|2|，再由|1|2|12|求得,的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|1|+|2|=2，又|1|=3|2|，|1|=32，|2|=12，而|1|2|12|=2，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，即32 12 2，即 2，则=12，即12 1.故选：D 10、如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足的是（）AB CD 答案：A 分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为 2，点(1,1,0)，对于 A，(0,0,2),(2,0,0),(2,0,1)，=(2,0,-2),=(1,-1,1)，=0，A 是；对于 B，(2,0,2),(0,2,2),(0,2,1)，=(-2,2,0),=(-1,1,1)，=40，与不垂直，B 不是；对于 C，(0,2,2),(0,0,0),(2,1,2)，=(0,-2,-2),=(1,0,2)，=-40，与不垂直，C 不是；对于 D，(2,2,2),(0,2,0),(0,0,1)，=(-2,0,-2),=(1,0,1)，=-40，与不垂直，D 不是.故选：A 11、已知边长为 2 的等边三角形，是平面内一点，且满足:=2:1，则三角形面积的最小值是（）A43(3 1)B43(3+1)C433D33 答案：A 分析：建立直角坐标系，设(,)，写出,的坐标，利用:=2:1列式得关于,的等式，可得点的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线的方程，计算|和点距离直线的最小距离 ，代入三角形面积公式计算.以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则(0,3)，(1,0)，(1,0)，设(,)，因为:=2:1，所以(+1)2+2=4(1)2+42，得(53)2+2=169，所以点的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：3 +3=0，|=2，点距离直线的最小距离为：=|533+3|243=43343，所以 面积的最小值为=12 2 (43343)=43(3 1).故选：A 12、已知抛物线：2=8，点为抛物线上任意一点，过点向圆：2+2 4+3=0作切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（）A1B2C3D5 答案：C 分析：由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则四边形=2Rt=|，而|=|2 1，所以当|最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果 如图，连接，圆：(2)2+2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为 1，则四边形=2Rt=|又|=|2 1，所以当四边形的面积最小时，|最小 过点向抛物线的准线=2作垂线，垂足为，则|=|，当点与坐标原点重合时，|最小，此时|=2 故(四边形)min=(|2 1)min=3 故选：C 填空题 13、已知直线:+4=0()是圆:2+2 2 6+1=0的对称轴.过点(4,)作圆C的一条切线，切点为B，有下列结论：=1；|=25；切线AB的斜率为5+354或5354；对任意的实数m，直线=+1与圆C的位置关系都是相交.其中所有正确结论的序号为_ 答案：分析：由已知可得直线过圆心即得=1；利用勾股定理可得切线段长度，利用圆心到直线的距离为半径即得斜率；因为直线恒过的定点在圆内，可得直线与圆相交:2+2 2 6+1=0 (1)2+(3)2=9则圆心为(1,3)半径为 3,:+4=0()是圆的对称轴，故直线过圆心(1,3)，故=1，(4,1)，故|=29，|=2 2=25；设直线AB的斜率为,则:=+4+1 +4+1=0 因为直线AB为圆C的一条切线，故圆心(1,3)到直线AB的距离为|52|2+1=3 解得=5358；直线=+1=(1)+1即对任意的实数m，直线恒过(1,1)，代入(1,1)得(1 1)2+(1 3)2=4 0)，则=1 22=63，所以2=32，令=1，则2=3，所以满足题意的一个椭圆的标准方程为23+2=1 所以答案是：23+2=1 17、在三棱锥O-ABC中，OAOBOC两两垂直，=3，=4，=5，D是AB的中点，则CD与平面OAB所成的角的正切值为_.答案：2 分析：由已知建立空间直角坐标系，求出 的坐标和平面的法向量，由数量积公式可得与平面所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案.因为、两两垂直，所以以为原点，、分别为、轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接，所以(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,5)，(32,2,0)，=(32,2,5)，由于 底面，所以 是底面的法向量，且=(0,0,5)，设与平面所成的角为(0,2)，所以sin=|cos,|=|=2554+25+94=25，所以cos=1 sin2=15，所以tan=sincos=2.即与平面所成的角正切值为2.所以答案是：2.小提示：本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.解答题 18、在直角坐标系xOy中，已知点(2,2)，(2,2)，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：=2(1)求点D的轨迹C的方程；(2)设过点(0,2)的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线=1 于点M，N，是否存在常数入，使=，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 答案：(1)2=2(2)；(2)存在，的值为 4.分析：(1)设出点D的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.(2)设出直线l的方程，与轨迹C的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.(1)设(,)，而点(2,2)，(2,2)，则=2+2，=22，又=2，于是得2+222=2，化简整理得：2=2(2)，所以点D的轨迹C的方程是：2=2(2).(2)存在常数=4，使=，如图，依题意，直线l的斜率存在且不为 0，设直线l：=+2，(1,1)，(2,2)，由=+22=2 消去y得：2 2 4=0，则1+2=2，12=4，|1 2|=(1+2)2 412=42+16=22+4，则=12 2|1 2|=22+4，直线OP：=11，取=1，得点M横坐标=11，同理得点N的横坐标=22，则|=|2211|=|211212|=|2(1+2)1(2+2)|(1+2)(2+2)|=|2(21)|212+2(1+2)+4|=42+44=2+4，因此有=12 1|=2+42，于是得=4，所以存在常数=4，使=.19、已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线:2+=4上.（1）求半径最小时的圆的方程；（2）求证：动圆恒过一个异于点的定点.答案：（1）(85)2+(45)2=165；（2）证明见解析.分析：（1）设出圆心坐标，表示出半径，利用二次函数的性质可得半径的最小值，进而可得此时圆的方程；（2）设定点坐标(0，0)，表示出圆的方程，当为变量时，0，0能使该等式恒成立，即40 20=0且02+02 80=0，解方程组可得定点坐标（1）因为圆心在直线:2+=4上，所以设圆心的坐标为(,4 2).又因为动圆经过坐标原点，所以动圆的半径=5(85)2+165，所以半径的最小值为455.并且此时圆的方程为：(85)2+(45)2=165.（2）设定点坐标(0，0)，因为圆的方程为：()2+(4 2)2=2+(4 2)2 所以02 20+02 2(4 2)0=0，即(40 20)+(02+02 80)=0，因为当为变量时，0，0却能使该等式恒成立，所以只可能40 20=0且02+02 80=0 即解方程组可得：0=85，0=165或者0=0，0=0（舍去）所以圆恒过一定点(165，85).20、如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处.已知灯口直径是20cm，灯深8cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离.答案：258 分析：根据题意建立平面直角坐标系，然后由待定系数法可得.以轴为x轴，反射镜的顶点为原点建立平面直角坐标系，如图，由题可知(8,10)，设抛物线方程为2=2(0)则有100=16，得=254，所以灯泡与反射镜的顶点O的距离为2=258.