2023年人教版高中数学选修一知识汇总笔记.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学选修一知识汇总笔记年人教版高中数学选修一知识汇总笔记 单选题 1、直线=(1)+2恒过定点（）A(1,2)B(1,2)C(2,1)D(2,1)答案：B 分析：由=1时，=2可得到定点坐标.当 1=0，即=1时，=2，直线=(1)+2恒过定点(1,2).故选：B.2、“=1”是“直线+1=0与直线 +1=0相互垂直”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案：A 分析：直线+1=0与直线 +1=0相互垂直得到 ，再利用充分必要条件的定义判断得解.因为直线+1=0与直线 +1=0相互垂直，所以1 ()+(1)=0，所以 .所以=1时，直线+1=0与直线 +1=0相互垂直，所以“=1”是“直线+1=0与直线 +1=0相互垂直”的充分条件；当直线+1=0与直线 +1=0相互垂直时，=1不一定成立，所以“=1”是“直线+1=0与直线 +1=0相互垂直”的非必要条件.所以“=1”是“直线+1=0与直线 +1=0相互垂直”的充分非必要条件.故选：A 小提示：方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.3、平面的一个法向量是 =(12,1,13)，平面的一个法向量是 =(3,6,2)，则平面与平面的关系是（）A平行 B重合 C平行或重合 D垂直 答案：C 分析：由题设知 =6 ，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.平面的一个法向量是 =(12,1,13)，平面的一个法向量是 =(3,6,2)，=6 ，平面与平面的关系是平行或重合 故选：C 4、如图所示，在空间直角坐标系中，=2，原点是的中点，点在平面内，且=90，=30，则点的坐标为（）A(0，12，32)B(0，12，32)C(0，12，32)D(0，12，32)答案：B 分析：过点作 ，垂足为，然后在 中求解.过点作 ，垂足为，在 中，=90，=30，=2，得|=1、|=3，所以|=|sin30=32，所以|=|=|cos60=1 12=12，所以点的坐标为(0，12，32)，故选：B 5、已知点(4,0)和(2,2)，是椭圆225+29=1上的动点，则|+|最大值是（）A10+210B10 210C8+10D8 10 答案：A 分析：设左焦点为(4,0)，为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化|+|=10+|，然后利用平面几何的性质得最大值 解：椭圆225+29=1，所以为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)，则由椭圆定义|+|=2=10，于是|+|=10+|.当不在直线与椭圆交点上时，三点构成三角形，于是|1 0）与双曲线2:222222=1（2 0，2 0）有公共焦点1，2，且两条曲线在第一象限的交点为P若 12是以1为底边的等腰三角形，曲线1，2的离心率分别为1和2，则1112=（）A1B2C3D4 答案：B 分析：设曲线1，2的焦距为 2c，则可得|2|=|12|=2，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出1,2,的关系，变形后可得结果.设曲线1，2的焦距为 2c 12是以1为底边的等腰三角形，则|2|=|12|=2 由点P在第一象限，知|1|=21|2|=22+|2|，即21 2=22+2，即1 2=2，即1112=2 故选：B 9、圆(1)2+2=3的圆心坐标和半径分别是（）A(-1，0)，3B(1，0)，3 C(1,0),3D(1,0),3 答案：D 分析：根据圆的标准方程，直接进行判断即可.根据圆的标准方程可得，(1)2+2=3的圆心坐标为(1,0)，半径为3，故选：D.10、如图，在平行六面体 1111中，+1=（）A1 B1 C1 D1 答案：B 分析：由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量 连接、1，可得+=，又1=1，所以+1=1=1 故选：B.11、已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（）A16B23C2121D42121 答案：B 分析：利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.设该正面体的棱长为1，因为M为BC中点，N为AD中点，所以|=|=12(12 1)2=32，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有=+=+12，=+=+12=+12()=+12+12,=(+12)(+12+12)=12 212 12 2+14 +14 =1 1 1212 1212 1 1 1212 12+14 1 1 12+14 1 1 12=12,cos,=|=123232=23，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为23，故选：B 12、若点(1,1)在圆:2+2+=0的外部，则实数的取值范围是（）A(2,+)B2,12)C(2,12)D(2,2)答案：C 分析：由于点(1,1)在圆:2+2+=0的外部，所以1+1+1 1+01+1 4 0，从而可求出的取值范围 解：由题意得1+1+1 1+01+1 4 0，解得2 1)分析：根据椭圆的标准方程可得A(2,0)，B(2,0)，进而可得|AB|4；根据正弦定理的边角互化可得|CA|CB|12|AB|2，利用双曲线的定义即可求解.将椭圆方程化为标准形式为25y21.a25，b21，c2a2b24，则A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.又sin Bsin A12sin C，由正弦定理得|CA|CB|12|AB|2|AB|4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值.动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c2，a1，所求的点C的轨迹方程为x2231(x1).所以答案是：4；223=1(1)14、在平面直角坐标系中，双曲线:23 2=1的焦距为_.若双曲线的右焦点与抛物线22(0)的焦点重合，则实数的值为_.答案：4 4 分析：利用2=2+2及抛物线的焦点横坐标为2计算即可.由已知，=3,=1，故=2+2=2，所以焦距为2=4，又双曲线右焦点为(2,0)，所以有2=2，=4.所以答案是：（1）4；（2）4.小提示：本题考查抛物线、双曲线的定义及应用，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.15、若点在双曲线216212=1上，且点的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点的纵坐标为_点与双曲线的左焦点间的距离为_ 答案：3 11 分析：由题意可得=27，代入双曲线方程求出，再由双曲线的定义即可求解.记双曲线的左、右焦点分别为1，2，设(,)因为点的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以=16+12=27，所以2816212=1，解得=3，所以2=3 由双曲线定义可得1 2=2=8，所以1=11 所以答案是：3；11 16、已知直线：=(1)与抛物线：2=2(0)在第一象限的交点为，过的焦点，|=3，则抛物线的准线方程为_；=_.答案：=1 22 解析：由直线方程求得焦点坐标，得准线方程，利用焦半径公式得点横坐标，结合图形可得直线斜率，易知直线与轴的交点为(1,0)，即抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为=1，设(1,1)，则|=1+2=1+1=3，1=2，作 轴于点，如图，则(2,0)，|=1，|=32 12=22，直线的斜率为=tan=221=22 所以答案是：=1；22 小提示：本题考查抛物线的准线方程和焦半径公式，掌握抛物线的定义是解题关键涉及到抛物线 上的点到焦点的距离时利用焦半径公式可以很快的求解 17、设抛物线2=4的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，点满足=12(+)，过作轴的垂线与抛物线交于点，若|=2，则点的横坐标为_，|=_ 答案：1 8 解析：利用抛物线的定义，求得点的坐标，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理，求得点坐标的表达式，根据,两点的纵坐标相同列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得|.由于点满足=12(+)，所以是线段的中点.抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为=1.设(0,0)，由于在抛物线上，且|=2，根据抛物线的定义得0+1=2，所以0=1，则0=2，不妨设(1,2).若直线斜率不存在，则(1,2),(1,2)，则(1,0)，此时的纵坐标和的纵坐标不相同，不符合题意.所以直线的斜率存在.设(1,1),(2,2)，设直线的方程为=(1)，代入抛物线方程并化简得22(22+4)+2=0，则1+2=2+42,1 2=1.由于是线段中点，所以(1+22,1+22)，而(1,2)，所以1+22=2，即1+2=4，即(1 1)+(2 1)=(1+2)2=(2+42)+2=4=4，解得=1.所以1+2=2+4=6，所以(3,2)，则到准线=1的距离为4，根据抛物线的定义结合中位线的性质可知|=4 2=8.所以答案是：(1).1 (2).8 小提示：本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.解答题 18、在直角坐标系xOy中，已知点(2,2)，(2,2)，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：=2(1)求点D的轨迹C的方程；(2)设过点(0,2)的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线=1 于点M，N，是否存在常数入，使=，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 答案：(1)2=2(2)；(2)存在，的值为 4.分析：(1)设出点D的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.(2)设出直线l的方程，与轨迹C的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.(1)设(,)，而点(2,2)，(2,2)，则=2+2，=22，又=2，于是得2+222=2，化简整理得：2=2(2)，所以点D的轨迹C的方程是：2=2(2).(2)存在常数=4，使=，如图，依题意，直线l的斜率存在且不为 0，设直线l：=+2，(1,1)，(2,2)，由=+22=2 消去y得：2 2 4=0，则1+2=2，12=4，|1 2|=(1+2)2 412=42+16=22+4，则=12 2|1 2|=22+4，直线OP：=11，取=1，得点M横坐标=11，同理得点N的横坐标=22，则|=|2211|=|211212|=|2(1+2)1(2+2)|(1+2)(2+2)|=|2(21)|212+2(1+2)+4|=42+44=2+4，因此有=12 1|=2+42，于是得=4，所以存在常数=4，使=.19、如图，四棱锥 的底面是矩形，底面，=1，为的中点，且 （1）求；（2）求二面角 的正弦值 答案：（1）2；（2）7014 分析：（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设=2，由已知条件得出 =0，求出的值，即可得出的长；（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.（1）方法一：空间坐标系+空间向量法 平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，设=2，则(0,0,0)、(0,0,1)、(2,1,0)、(,1,0)、(2,0,0)，则=(2,1,1)，=(,1,0)，则 =22+1=0，解得=22，故=2=2；方法二【最优解】：几何法+相似三角形法 如图，连结因为 底面，且 底面，所以 又因为 ，=，所以 平面 又 平面，所以 从而+=90 因为+=90，所以=所以 ，于是=所以122=1所以=2 方法三：几何法+三角形面积法 如图，联结交于点N 由方法二知 在矩形中，有 ，所以=2，即=23 令=2(0)，因为M为的中点，则=，=42+1，=2+1 由=12 =12 ，得=1242+1 232+1，解得2=12，所以=2=2（2）方法一【最优解】：空间坐标系+空间向量法 设平面的法向量为 =(1,1,1)，则=(22,1,0)，=(2,0,1)，由 =221+1=0 =21+1=0，取1=2，可得 =(2,1,2)，设平面的法向量为 =(2,2,2)，=(22,0,0)，=(2,1,1)，由 =222=0 =22 2+2=0，取2=1，可得 =(0,1,1)，cos ,=|=372=31414，所以，sin ,=1 cos2 ,=7014，因此，二面角 的正弦值为7014.方法二：构造长方体法+等体积法 如图，构造长方体 1111，联结1,1，交点记为H，由于1 1，1，所以 平面11过H作1的垂线，垂足记为G 联结，由三垂线定理可知 1，故为二面角 的平面角 易证四边形11是边长为2的正方形，联结1，1=121 ,1=正方形11 11 1，由等积法解得=31010 在 中，=22,=31010，由勾股定理求得=355 所以，sin=7014，即二面角 的正弦值为7014【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.20、在 中，已知(0,1)，(5,2)，(3,5).（1）求边所在的直线方程；（2）求 的面积.答案：（1）7+2 31=0；（2）292.分析：（1）由直线方程的两点式可得；（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.（1）(5,2)，(3,5)，边所在的直线方程为(2)5(2)=535，即7+2 31=0；（2）设到的距离为，则=12|，|=(3 0)2+(5 1)2=5，方程为：151=030即：4 3+3=0 =|543(2)+3|42+(3)2=295.=12 5 295=292.