2023年人教版高中数学选修一易错知识点总结.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学选修一易错知识点总结年人教版高中数学选修一易错知识点总结 单选题 1、双曲线2222=1(0,0)过焦点1的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为2，则2的周长为（）A4aB4amC4a2mD4a2m 答案：C 分析：由双曲线定义得到|2|1|=2，|2|1|=2，两式相加得到|2|+|2|=4+，进而求出周长.由双曲线的定义得：|2|1|=2，|2|1|=2，两式相加得：|2|1|+|2|1|=4，即|2|+|2|=|2|+|2|=4，所以|2|+|2|=4+，故 2的周长为|2|+|2|+|=4+2.故选：C 2、如图，在直三棱柱 11中，=3,=4,1=3,=90，则1与1所成的角的余弦值为（）A 3210B 33C 24D 55 答案：A 分析：建立空间直角坐标系，写出1，1 的坐标，由夹角公式可得结果.如图，以为坐标原点，1分别为，轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)，1(3,0,3)，(0,4,0)，1(0,0,3)，所以1=(3,0,3)，1=(0,4,3)，所以cos1,1 =1 1|1|1|=9325=3210，所以直线1与1所成角的余弦值为3210 故选：A.3、已知双曲线2222=1(0,0)的右焦点与抛物线2=2(0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|=2|则双曲线的离心率为（）A2B3C2D3 答案：A 分析：设公共焦点为(,0)，进而可得准线为=，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2=122，再由双曲线离心率公式即可得解.设双曲线2222=1(0,0)与抛物线2=2(0)的公共焦点为(,0)，则抛物线2=2(0)的准线为=，令=，则2222=1，解得=2，所以|=22,又因为双曲线的渐近线方程为=，所以|=2，所以2=222，即=2，所以2=2 2=122，所以双曲线的离心率=2.故选：A.4、如图，正方形与正方形互相垂直，G是的中点，则（）A与异面但不互相垂直 B与异面且互相垂直 C与相交但不互相垂直 D与相交且互相垂直 答案：A 分析：根据异面直线的定义可判断与异面，由题意建立空间直角坐标系，利用向量法可判断与不互相垂直.解：因为/，/，所以/，所以与确定一个平面，所以 ，因为 ,，所以与异面，因为正方形与正方形互相垂直，平面 平面=，平面且 ，所以 平面，又 ，所以建立如图所示的空间直角坐标系 ，设正方形的边长为 1，则(1,1,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，(1,0,12)，所以=(1,1,1),=(1,1,12)，因为 =1 1+(1)(1)+1 12=12 0，所以 与 不垂直，即与不互相垂直，故选：A.5、已知直线的倾斜角为60，且经过点(0,1)，则直线的方程为（）A=3B=3 2C=3+1D=3+3 答案：C 分析：先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.由题意知：直线的斜率为3，则直线的方程为=3+1.故选：C.6、在矩形ABCD中，O为BD中点且=2，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角 为 90，则直线AO与CD所成角余弦值为（）A55B54 C3525D4225 答案：C 分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO与CD所成角余弦值.在平面中过作 ，垂足为；在平面中过作 ，垂足为.由于平面 平面，且交线为，所以 平面，平面，设=1,=2，12 =12 =25,=2 2=325，同理可得=25,=325，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则(325,0,25),(25,325,0),(52,0,0)，=(510,325,0)，设与所成角为，则cos=|=3205212=3525.故选：C 7、已知12是椭圆：22+22=1(0)的两个焦点，为椭圆上的一点，且1 2.若 12的面积为9，则=（）A2B3C4D5 答案：B 分析：根据 12的面积以及该三角形为直角三角形可得|1|2|=18，|1|2+|2|2=42，然后结合|1|+|2|=2，简单计算即可.依题意有|1|+|2|=2，所以|1|2+|2|2+2|1|2|=42 又1 2，12=12|1|2|=9，所以|1|2|=18，又|1|2+|2|2=42，可得42+36=42，即2 2=9，则=3，故选：B.8、在棱长为 1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设=,=,1=，则 (+)的值为（）A1B0C-1D-2 答案：B 分析：由正方体的性质可知,1 两两垂直，从而对 (+)化简可得答案 由题意可得 ,1,所以 ,，所以 =0,=0，所以 (+)=+=0，故选：B 9、动点在抛物线2=4上，则点到点(0,4)的距离的最小值为（）A3B23C123D12 答案：B 分析：设出点坐标，用两点间距离公式表达出点到点(0,4)的距离，配方后求出最小值.设(,24)，则|=2+(24 4)2=116(2 8)2+12，当2=8时，|取得最小值，最小值为23 故选：B 10、已知椭圆22+22=1(0)上存在点，使得|1|=3|2|，其中1，2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A(0,14B(14,1)C(12,1)D12,1)答案：D 分析：先由椭圆的定义结合已知求得|1|,|2|，再由|1|2|12|求得,的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|1|+|2|=2，又|1|=3|2|，|1|=32，|2|=12，而|1|2|12|=2，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，即32 12 2，即 2，则=12，即12 1.故选：D 11、若 0，则 +=0和2+2=所表示的曲线只可能是下图中的（）AB CD 答案：C 分析：根据椭圆、双曲线的性质判断参数,的符号，结合直线的位置判断,与曲线参数是否矛盾，即可知正确选项.方程可化为=+和2+2=1.A：双曲线的位置：0，由直线的位置：0，0，矛盾，排除；B：椭圆知，(0,+)，但 B 中直线的位置：0，0，0，直线中，的符号一致.D：椭圆知，(0,+)，直线的位置：0，矛盾，排除；故选：C.12、直线2+3 6=0关于点(1,1)对称的直线方程为（）A3 2+2=0B2+3+7=0 C3 2 12=0D2+3 4=0 答案：D 分析：设对称的直线方程上的一点的坐标为(，),则其关于点(1,1)对称的点的坐标为(2 ,2 ),代入已知直线即可求得结果.设对称的直线方程上的一点的坐标为(，),则其关于点(1,1)对称的点的坐标为(2 ,2 )，以(2 ,2 )代换原直线方程中的(,)得2(2)+3(2 )6=0，即2+3 4=0.故选：D.双空题 13、在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），C（1，5），则线段AB的垂直平分线方程为_；若点D在直线AB上，且=34，则直线CD的方程为_ 答案：4x2y10；13x6y430 或x6y310.分析：由题意，可得AB的中点坐标及直线AB的斜率，进而可得线段AB的垂直平分线的斜率，然后由点斜式即可求解线段AB的垂直平分线方程；由=34，可得|=34|，设点D的坐标为(,)，由点D在直线AB上，进而分两种情况：=34 和=34 进行讨论，求出点D点坐标，从而由由点斜式即可求解直线CD的方程.解：因为点A（2，4），B（4，1），所以AB的中点为(1,52)，直线AB的斜率为412+4=12，所以线段AB的垂直平分线的斜率为2，所以线段AB的垂直平分线的方程为 52=2(+1)，即 4x2y10，因为=34，所以|=34|，设点D的坐标为(,)，若=34，则(2,4)=34(6,3)，解得=132=254，所以=2545132+1=16，所以直线CD的方程为 5=16(+1)，即x6y310；若=34，则(2,4)=34(6,3)，解得=52=74，所以=74552+1=136，所以直线CD的方程为 5=136(+1)，即 13x6y430；故直线CD的方程为 13x6y430 或x6y310 所以答案是：4x2y10；13x6y430 或x6y310 14、希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点,的距离之比为定值(1)的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，(2,1)，(2,4)，点是满足=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为_；若点为抛物线:2=4上的动点，在轴上的射影为，则|+|+|的最小值为_ 答案：(+2)2+2=4 10 1#1+10 分析：设点坐标，根据题意写出关于与的关系式化简即可；利用抛物线的定义可知|=|1，进而可得(|+|+|)min=|1，即得.设点(,)，=12，=12(+2)2+(1)2(+2)2+(4)2=12 (+2)2+2=4.抛物线的焦点为点，由题意知(1,0)，|=|1，(|+|+|)min=(|+|+|1)min=|1=(2 1)2+12 1=10 1.所以答案是：(+2)2+2=4；10 1.15、直线3+2 4=0的斜率为_，在轴上的截距为_.答案：32 43 分析：将直线转化为斜截式即可得出斜率，令=0可求出在轴上的截距.由3+2 4=0，可得=32+2，故该直线的斜率=32.令=0，得=43，所以该直线在轴上的截距为43.所以答案是：32；43.16、已知正四面体VABC的棱长为 2，E，F分别是棱VA，BC的中点，则该正四面体外接球的表面积为_异面直线BE与VF所成角的余弦值为_ 答案：6 23 分析：将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值 解：将正四面体补成一个正方体，因为正四面体的棱长为2，则正方体的棱长为2，所以正方体的体对角线长为(2)2+(2)2+(2)2=6，正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，外接球的表面积为4 (62)2=6 如图建立空间直角坐标系，则(2,0,0)，(22,22,0)，(22,22,2)，(2,2,2)，所以=(22,22,2)，=(22,22,2)，所以cos,=|=233=23，所以异面直线与所成角的余弦值为23；所以答案是：6；23；17、已知双曲线:2222=1(0,0)的一条渐近线与直线2+1=0垂直，则双曲线的离心率为_；若点(22,1)在双曲线上，则=_.答案：52 1 分析：求出的值，利用公式=1+()2可求得双曲线的离心率，由已知条件可得出关于、的方程组，进而可求得的值.直线2+1=0的斜率为2，双曲线的渐近线方程为=，由题意可得2=1，可得=12，因此，双曲线的离心率为=22=2+22=1+()2=52；由已知条件可得=128212=1 0,0，解得=2=1.所以答案是：52；1.小提示：方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.解答题 18、已知圆1：2+2+2+2 8=0与2：2+2 2+10 24=0相交于A、B两点(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线yx上，且经过A、B两点的圆的方程；(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程 答案：(1)x2y40(2)2+2+6 6+8=0(3)(+2)2+(1)2=5 分析：（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程；（2）首先设圆系方程2+2+2+2 8+(2+2 2+10 24)=0（为常数），根据圆心在直线=上，求，即可求得圆的方程；（3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径.（1）将两圆方程相减得x2y40，此即为所求直线方程（2）设经过A、B两点的圆的方程为2+2+2+2 8+(2+2 2+10 24)=0（为常数），则圆心坐标为(11+,151+)；又圆心在直线yx上，故11+151+=0，解得=12，故所求方程为2+2+6 6+8=0（3）由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小两圆心所在直线方程为 2xy30，与直线AB方程联立得所求圆心坐标为(2,1)，由弦长公式可知所求圆的半径为5 故面积最小的圆的方程为(+2)2+(1)2=5 19、已知点C的坐标为(1,2)，O为原点(1)直线l不过原点且在x轴、y轴上的截距相等，点(1,2)到直线l的距离为 2，求直线的方程；(2)已知点(0,0)，直线 ，且|=2，若|=|，求使|取最小值时点P的坐标 答案：(1)直线l方程为+=1+22和+=1 22(2)|min=510,此时(110,15)分析：（1）由题意，设直线l的方程为+=，根据点到直线的距离公式求出的值即可得答案；（2）由|=|=|2 4，可得20 40+1=0，代入|=|2 4=02+02+20 40+1消去0，利用二次函数知识即可求解.（1）解：因为直线l不过原点且在x轴、y轴上的截距相等，所以设直线l的方程为+=，又点(1,2)到直线l的距离为 2，所以|1+2|2=2，所以=1 22，所以直线l方程为+=1+22和+=1 22；（2）解：根据题意，可得|2=|2 4，因为|=|，所以|2 4=|，即(0+1)2+(0 2)2 4=02+02，所以20 40+1=0，所以|=|2 4=02+02+20 40+1=502 20+14=5(015)2+120，所以当0=15时，|min=510，此时(110,15)20、已知圆的圆心为(0,1)，且圆与直线2 +6=0相切 （1）求圆的方程；（2）圆与轴交于,两点，若一条动直线:=0交圆于,两点，记圆心到直线的距离为（i）当0=1时，求|的值（ii）当2 0 2时，试问|是否为定值，并说明理由 答案：（1）2+(1)2=5；（2）（）12；（）为定值12，理由见详解.分析：（1）求出圆心到切线的距离（即半径），则可求得圆的方程；（2）（i）联立直线=1与圆的方程，得点、的坐标，写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再求出|，进而可得|=12；（ii）联立直线=0与圆的方程，得点、的坐标，写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再求出|，进而可得(|)2=14，即|=12.（1）依题意得圆的半径=|1+6|22+(1)2=5，又圆心为(0,1)，所以，圆的方程为2+(1)2=5；（2）由2+(1)2=5，令=0得=2，所以(2,0),(2,0).（i）联立2+(1)2=5=1 得=1=3 或=1=1，所以(1,3),(1,1).则直线的方程为030=(2)1(2)，即 +2=0.圆心到直线的距离=|1+2|2=22，|=(2 1)2+(0+1)2=2，|=222=12.（ii）因为2 0 2，所以 联立2+(1)2=5=0 得(0,1+5 02),(0,1 5 02).则直线的方程为=1+5020+2(+2)，即(1+5 02)(0+2)+2(1+5 02)=0.圆心到直线的距离 =|(0+2)+2(1+502)|(1+502)2+(0+2)2=|25020|10+40+2502，|=(0 2)2+(1 5 02)2=10 40 25 02，所以，(|)2=|25 02 0|210+(40+25 02)10 (40+25 02)=20 302 405 02102(40+25 02)2=20 302 405 0280 1202 1605 02=14,|=12，故|为定值12.小提示：关键点点睛：本题第（2）（ii）问主要考查直线与圆的位置关系，运算量大，因此关键要细心准确.