2023年人教版高中数学选修一知识总结例题.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学选修一知识总结例题年人教版高中数学选修一知识总结例题 单选题 1、设圆1:2+2 2+4=4，圆2:2+2+6 8=0，则圆1，2的公切线有（）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 答案：B 分析：先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解 由题意，得圆1:(1)2+(+2)2=32，圆心1(1,2)，圆2:(+3)2+(4)2=52，圆心2(3,4)，5 3|12|=213 0)的焦点为1，2，与轴的一个交点为，若12=3，则=（）A1B2C3D2 答案：C 分析：由椭圆的定义结合已知得|1|=|12|，进而求出m即可.在椭圆22+1+22=1(0)中，=2+1，=，=1.易知|1|=|2|=.又12=3，所以 12为等边三角形，即|1|=|12|，所以2+1=2，即=3.故选：C.7、已知圆1:2+2=4，圆2:2+2 2 2 4=0(0)，则同时与圆1和圆2相切的直线有（）A4 条 B2 条 C1 条 D0 条 答案：B 分析：利用已知条件判断圆1与圆2的关系，进而可以求解.由1:2+2=4，得圆1(0,0)，半径为1=2，由2:2+2 2 2 4=0(0)，得2(,)，半径为 2=12(2)2+(2)2 4 (4)=22+4 所以|12|=(0)2+(0)2=22 0，|2 1|=22+4 2 0，1+2=2+22+4，所以|2 1|12|0)的一条渐近线的倾斜角为6，则此双曲线的离心率e为（）A233B263C3D2 答案：A 分析：根据题意渐近线的斜率为tan6=33，所以该渐近线的方程为=33，所以22=(33)2，求得=6，利用=2+2，求得即可得解.双曲线2222=1(0)的一条渐近线的倾斜角为6，tan6=33，该渐近线的方程为=33，22=(33)2，解得=6或6（舍去），=2+2=22，双曲线的离心率为=226=233 故选：A 9、双曲线2222=1(0,0)过焦点1的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为2，则2的周长为（）A4aB4amC4a2mD4a2m 答案：C 分析：由双曲线定义得到|2|1|=2，|2|1|=2，两式相加得到|2|+|2|=4+，进而求出周长.由双曲线的定义得：|2|1|=2，|2|1|=2，两式相加得：|2|1|+|2|1|=4，即|2|+|2|=|2|+|2|=4，所以|2|+|2|=4+，故 2的周长为|2|+|2|+|=4+2.故选：C 10、下列直线方程纵截距为2的选项为（）A=2B +2=0C2+4=1D+2=0 答案：B 分析：纵截距就是令=0是的值，令每一个选项中的为 0，解出 y，最后选出符合题意的.直线+2=0的纵截距为2，直线2+4=1的纵截距为4，直线 +2=0的纵截距为2，直线=2的纵截距为2.故选：B.11、已知双曲线:2222=1(0,0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12，则双曲线C的渐近线方程为（）A=12B=2 C=4D=14 答案：A 分析：首先根据题意得到=|2+2=12，从而得到=12，即可得到答案.由题知：设(,0)，一条渐近线方程为=，即 =0.因为=|2+2=12，所以=12，故渐近线方程为=12.故选：A 12、已知两圆分别为圆1:2+2=49和圆2:2+2 6 8+9=0，这两圆的位置关系是（）A相离 B相交 C内切 D外切 答案：B 分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.由题意得，圆1圆心(0,0)，半径为 7；圆2:(3)2+(4)2=16，圆心(3,4)，半径为 4，两圆心之间的距离为32+42=5，因为7 4 5 0)，焦距为2，直线经过点(,0)和(0,)，若(,0)到直线的距离为223，则离心率为_双曲线渐近线方程为_ 答案：3 =2 解析：求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合，的关系和离心率公式，化简整理即可得到24 92+9=0，解方程即可得到离心率，注意条件0 2，注意取舍，最后求出双曲线的渐近线 解：直线的方程为+=1，即为+=0，2=2+2，(,0)到直线的距离为223，可得：22+2=223，即有3=22，即922=24，即92（2 2）=24，922 94 24=0，由于=，则24 92+9=0，解得2=3，或2=32 由于0 ，即2 22，即有2 2，故2=3，=3故渐近线方程为=2 所以答案是：3；=2 小提示：本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题 14、已知空间向量，的模长分别为 1，2，3，且两两夹角均为60.点为 的重心，若=+，则+=_；|=_.答案：1;53.解析：（1）把=23,=,=12(+)代入=+化简整理即可（2）|=(13+13+13)2代入计算 解：取的中点，=+=+23=+23()=+23 12(+)=13+13+13 又=+，空间向量，的模长分别为 1，2，3，且两两夹角均为60=13，=13，=13，+=1 +=1|=|13+13+13|=13(+)2=13 2+2+2+2 +2 +2 =1312+22+32+2 1 2 12+2 3 2 12+2 1 3 12=53 所以答案是：1；53 小提示：考查空间向量的基本运算，基础题.15、已知椭圆:22+22=1（ab0）的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得1 2=0，且PF1F2的面积等于 6，则实数b的值为_，实数a的取值范围为_ 答案：6 23，+）解析：根据椭圆的定义及题意列方程，转化求解b；再由向量等式得x2+y2c2，结合点P在椭圆上可得x222（c2b2），即c2b2，可得a2b2+c22b2，然后求解a的范围 解：由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|2a，又1 2=0，PF1F2的面积等于 6，12|PF1|PF2|6，即|PF1|PF2|12，由（|PF1|+|PF2|）24a2，|PF1|2+|PF2|24c2，可得 4c24a224，得2=2 2，因此2=6，b6 设(,)，由1 2=0，可得：(+,)(,)=0 (+)()+2=0 x2+y2c2，而椭圆C：22+22=1，由得x222（c2b2），c2b2，从而a2b2+c22b212，故 23（舍去），或a23，a的取值范围为23，+）所以答案是：6；23，+）16、已知抛物线方程2=8，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：()=|.已知点(2,82)，则()=_；设点(2,)(0)，若4()|0恒成立，则的取值范围为_.答案：4 (,4)分析：过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，设=，则为锐角，利用抛物线的定义结合锐角三角函数的定义可得出()=|=1+coscos，当点(2,82)时，求出cos的值，可求得()的值；求出4()|的值，可得出的取值范围.如下图所示，过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，设=，则为锐角，设抛物线2=8的准线与轴的交点为，则|=4，由抛物线的定义可知|=|，|=|cos=4cos，cos=|=|，所以，|=1+coscos，当点的坐标为(2,82)时，|=42+(82)2=12，则cos=|=13，此时()=|=1+coscos=4；当点(2,)(0)时，若4()|0恒成立，则 4()|，4()|=4(1+cos)cos4cos=4，0)的左、右焦点分别为1、2，过1作的一条渐近线的垂线，垂足为，连接2，若直线2与另一条渐近线交于点，且=2，则=_；12的周长为_ 答案：2 2+25+42 分析：求出直线1的斜率，分析可知1/，可得出1=，可求得正数的值，计算出|1|，利用余弦定理可求得|2|，进而可求得 12的周长.双曲线的渐近线方程为=2，如下图所示：不妨设点在第三象限，则直线的方程为=2，因为1，则1=2，=2，则为2的中点，又因为为12的中点，则1/，所以，1=，即2=2，则2=4，0，解得=2，所以，=1，即直线的倾斜角为4，=2，则=2+2=22，|=|1|=22|1|=22 22=2，在 12中，|1|=2，|12|=42，12=4，由余弦定理可得|2|=|1|2+|12|2 2|1|12|cos4=25，因此，12的周长为|1|+|2|+|12|=2+25+42.所以答案是：2；2+25+42.解答题 18、如图，在多面体中，底面是边长为2的等边三角形，底面，/，=4，=3，=45.(1)证明：；(2)求二面角 的余弦值.答案：(1)证明见解析(2)33020 分析：（1）利用勾股定理可证 ，可得线面垂直，进而可证线线垂直；（2）取中点为，建立空间直角坐标系，利用坐标法求二面角余弦值.(1)由已知 平面，得 ，又=45，=45，又/，则 ，=2，=22，在 中，由余弦定理2=2+2 2 cos=42+(22)2 2 4 22 22=8，=22，故2+2=2，如图所示，过点作/，设 =，则四边形为矩形，=2，=3 2=1，=2+2=22+12=5，又=2+2=22+32=13，故2=2+2，又 =，且，平面，平面，；(2)取中点，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,1,0)，(3,0,0)，(3,0,2)，(0,1,3)，所以=(3,1,0)，=(0,2,3)，=(3,1,2)，设平面的法向量 1=(1,1,1)，则 1=0 1=0，即31+1=021+31=0，令1=3，则 1=(3,3,2)，设平面的法向量 2=(2,2,2)，则 2=0 2=0，即22+32=032+2+22=0，令2=3，则 2=(33,3,2)，所以cos ,=3(33)+33+(2)(2)(3)2+32+(2)2(33)2+32+(2)2=33020，由图可知二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为33020.19、如图，四棱锥 的底面是矩形，底面，=1，=2，M为的中点 （1）求证：；（2）求平面与平面所成的角的余弦值 答案：（1）证明见解析；（2）147 分析：（1）以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 =0，利用数量积即可证明.（2）求出两平面PAM与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦 解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图，建立空间直角坐标系.则(2,1,0)，(0,0,1)，(2,0,0)，(22,1,0).可得=(2,1,1)，=(22,1,0).所以 =2 (22)+1 0=0，所以 （2）由（1）得到(2,0,0)，(22,1,0)，因此可得=(22,1,0)，=(2,0,1).设平面的一个法向量为1=(,)，则由 1 =0,1 =0,得22+=0,2+=0,令=22，解得1=(2,2,22).同理，可求平面PDC的一个法向量2=(1,0,0).所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：cos=1 2|1|2|=2141=147.即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为147.20、如图，在长方体 1111中，点,分别在棱1,1上，且2=1，=21 （1）证明：点1在平面内；（2）若=2，=1，1=3，求二面角 1的正弦值 答案：（1）证明见解析；（2）427.分析：（1）方法一:连接1、1，证明出四边形1为平行四边形，进而可证得点1在平面内；（2）方法一：以点1为坐标原点，11、11、1所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系1，利用空间向量法可计算出二面角 1的余弦值，进而可求得二面角 1的正弦值.（1）方法一【最优解】：利用平面基本事实的推论 在棱1上取点，使得1=12，连接、1、1，如图 1 所示.在长方体 1111中，/,=，所以四边形为平行四边形，则/,=，而=,/，所以/,=，所以四边形为平行四边形，即有/，同理可证四边形1为平行四边形，1/，1/，因此点1在平面内.方法二：空间向量共线定理 以11,11,1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图 2 所示 设11=,11=,1=3，则1(0,0,0),(,0,2),(0,),(,3)所以1=(,0,2),=(,0,2)故1=所以 1，点1在平面内 方法三：平面向量基本定理 同方法二建系，并得1(0,0,0),(,0,2),(0,),(,3)，所以1=(,0,2),1=(0,),1=(,3)故1=1+1 所以点1在平面内 方法四：根据题意，如图 3，设11=,11=2,1=3 在平面11内，因为=21，所以1=131=131 延长交11于G，平面，11平面1111 ,11，所以 平面,平面1111 延长交11于H，同理 平面,平面1111 由得，平面 平面1111=连接,1,1，根据相似三角形知识可得1=,1=2 在 11中，1=2+2 同理，在 11中，1=22+2 如图 4，在 1中，=32+2 所以=1+1，即G，1，H三点共线 因为 平面，所以1平面，得证 方法五：如图 5，连接,1,1，则四边形1为平行四边形，设1与相交于点O，则O为,1的中点联结1，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即1 1=，则1经过点O，故点1在平面内 （2）方法一【最优解】：坐标法 以点1为坐标原点，11、11、1所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系1，如图 2.则(2,1,3)、1(2,1,0)、(2,0,2)、(0,1,1)，=(0,1,1)，=(2,0,2)，1=(0,1,2)，1=(2,0,1)，设平面的一个法向量为 =(1,1,1)，由 =0 =0，得1 1=021 21=0 取1=1，得1=1=1，则 =(1,1,1)，设平面1的一个法向量为 =(2,2,2)，由 1=0 1=0，得2+22=022+2=0，取2=2，得2=1，2=4，则 =(1,4,2)，cos=|=3321=77，设二面角 1的平面角为，则|cos|=77，sin=1 cos2=427.因此，二面角 1的正弦值为427.方法二：定义法 在 中，=2,=22,=5+1=6，即2+2=2，所以 在 1中，1=1=5，如图 6，设,的中点分别为M，N，连接1,1，则1 ,，所以1为二面角 1的平面角 在 1中，=22,1=12 2=142,1=5 所以cos1=12+725222142=77，则sin1=1 17=427 方法三：向量法 由题意得=2,=8,1=1=5,=6，由于2+2=2，所以 如图 7，在平面1内作1 ，垂足为G，则 与1 的夹角即为二面角 1的大小 由1=+1，得1 2=2+2+1 2+2 +2 1+2 1 其中，=62,1=142，解得 1=1，cos,1 =17 所以二面角 1的正弦值427 方法四：三面角公式 由题易得，=2,=22,=6,1=5,1=5 所以cos1=2+121221=(2)2+(5)232225=1010 cos=2+222=(2)2+(6)2(22)2226=0,sin=1 cos1=12+21221=(5)2+(6)2(5)2256=3010,sin1=7010 设为二面角 1的平面角，由二面角的三个面角公式，得 cos=cos1coscos1sinsin1=1070=77，所以sin=427【整体点评】（1）方法一：通过证明直线1/，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出