2023年人教版高中数学选修一重点归纳笔记.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学选修一重点归纳笔记年人教版高中数学选修一重点归纳笔记 单选题 1、在正方体 1111中，P为11的中点，则直线与1所成的角为（）A2B3C4D6 答案：D 分析：平移直线1至1，将直线与1所成的角转化为与1所成的角，解三角形即可.如图，连接1,1,，因为1 1，所以1或其补角为直线与1所成的角，因为1平面1111，所以1 1，又1 11，1 11=1，所以1平面1，所以1，设正方体棱长为 2，则1=22,1=1211=2，sin1=11=12，所以1=6.故选：D 2、若椭圆:24+23=1的左、右焦点分别为1、2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（）A当点P不在x轴上时，12的周长是 6 B当点P不在x轴上时，12面积的最大值为3 C存在点P，使1 2 D|1|的取值范围是1,3 答案：C 分析：根据椭圆定义以及焦距即可判断选项 A；当点位于上下顶点时，12面积的最大即可判断选项 B；当点为椭圆短轴的一个端点时，12为最大与90比较即可判断选项 C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项 D.由椭圆方程可知=2，=3，从而=2 2=1 对于选项 A；根据椭圆定义，|1|+|2|=2=4，又|12|=2=2，所以 12的周长是2+2=6，故选项 A 正确；对于选项 B：设点(1,0)(0 0)，因为|12|=2，则12=12|12|0|=|0|因为0 0)上一点(0,0)(0 0)和焦点1(,0),2(,0)为顶点的 12中，若12=，则（1）焦点三角形的周长为2+2；（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，12=为最大；（3）12=121 2 sin，当|0|=时，即点为椭圆短轴的一个端点时12取最大值，为；（4）12=2tan2.3、如图，ABCDEFGH是棱长为 1 的正方体，若P在正方体内部且满足=34+12+23，则P到AB的距离为（）A34B45 C56D35 答案：C 分析：以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，计算出 和 的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式=|2(|)2即可求解.解：如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则=(1,0,0)，=(0,1,0)，=(0,0,1)，因为=34+12+23，所以=(34,12,23)，|=34，|=(34)2+(12)2+(23)2=181144,所以点P到AB的距离=|2(|)2=181144916=56 故选：C.4、如图，正方形与正方形互相垂直，G是的中点，则（）A与异面但不互相垂直 B与异面且互相垂直 C与相交但不互相垂直 D与相交且互相垂直 答案：A 分析：根据异面直线的定义可判断与异面，由题意建立空间直角坐标系，利用向量法可判断与不互相垂直.解：因为/，/，所以/，所以与确定一个平面，所以 ，因为 ,，所以与异面，因为正方形与正方形互相垂直，平面 平面=，平面且 ，所以 平面，又 ，所以建立如图所示的空间直角坐标系 ，设正方形的边长为 1，则(1,1,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，(1,0,12)，所以=(1,1,1),=(1,1,12)，因为 =1 1+(1)(1)+1 12=12 0，所以 与 不垂直，即与不互相垂直，故选：A.5、直线2+3 6=0关于点(1,1)对称的直线方程为（）A3 2+2=0B2+3+7=0 C3 2 12=0D2+3 4=0 答案：D 分析：设对称的直线方程上的一点的坐标为(，),则其关于点(1,1)对称的点的坐标为(2 ,2 ),代入已知直线即可求得结果.设对称的直线方程上的一点的坐标为(，),则其关于点(1,1)对称的点的坐标为(2 ,2 )，以(2 ,2 )代换原直线方程中的(,)得2(2)+3(2 )6=0，即2+3 4=0.故选：D.6、在矩形ABCD中，O为BD中点且=2，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角 为 90，则直线AO与CD所成角余弦值为（）A55B54 C3525D4225 答案：C 分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO与CD所成角余弦值.在平面中过作 ，垂足为；在平面中过作 ，垂足为.由于平面 平面，且交线为，所以 平面，平面，设=1,=2，12 =12 =25,=2 2=325，同理可得=25,=325，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则(325,0,25),(25,325,0),(52,0,0)，=(510,325,0)，设与所成角为，则cos=|=3205212=3525.故选：C 7、已知(2,0),(4,)两点到直线:3 4+1=0的距离相等，则=（）A2B 92C2 或8D2 或92 答案：D 分析：利用点到直线距离公式进行求解即可.因为(2,0),(4,)两点到直线:3 4+1=0的距离相等，所以有|3(2)+0(4)+1|32+(4)2=|344+1|32+(4)2|13 4|=5 =2，或=92，故选：D 8、已知12是椭圆：22+22=1(0)的两个焦点，为椭圆上的一点，且1 2.若 12的面积为9，则=（）A2B3C4D5 答案：B 分析：根据 12的面积以及该三角形为直角三角形可得|1|2|=18，|1|2+|2|2=42，然后结合|1|+|2|=2，简单计算即可.依题意有|1|+|2|=2，所以|1|2+|2|2+2|1|2|=42 又1 2，12=12|1|2|=9，所以|1|2|=18，又|1|2+|2|2=42，可得42+36=42，即2 2=9，则=3，故选：B.9、已知方程x2y22x2k30 表示圆，则k的取值范围是（）A(，1)B(3，)C(，1)(3，)D(32,+)答案：A 分析：把圆的方程x2y22x2k30 化为标准型，利用2 0，解出k的取值范围.方程可化为(x1)2y22k2，只有2k20，即k1 时才能表示圆 故选：A.10、设为坐标原点，直线=与双曲线:2222=1(0,0)的两条渐近线分别交于,两点，若的面积为 8，则的焦距的最小值为（）A4B8C16D32 答案：B 分析：因为:2222=1(0,0)，可得双曲线的渐近线方程是=，与直线=联立方程求得，两点坐标，即可求得|，根据 的面积为8，可得值，根据2=22+2，结合均值不等式，即可求得答案.:2222=1(0,0)双曲线的渐近线方程是=直线=与双曲线:2222=1(0,0)的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限 联立=，解得=故(,)联立=，解得=故(,)|=2 面积为：=12 2=8 双曲线:2222=1(0,0)其焦距为2=22+2 22=216=8 当且仅当=22取等号 的焦距的最小值：8 故选：B.小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11、若圆2+2=1上总存在两个点到点(,1)的距离为 2，则实数a的取值范围是（）A(22,0)(0,22)B(22,22)C(1,0)(0,1)D(1,1)答案：A 分析：将问题转化为圆()2+(1)2=4与2+2=1相交，从而可得2 1 2+12 2+1，进而可求出实数a的取值范围.到点(,1)的距离为 2 的点在圆()2+(1)2=4上，所以问题等价于圆()2+(1)2=4上总存在两个点也在圆2+2=1上，即两圆相交，故2 1 2+12 2+1，解得22 0或0 22，所以实数a的取值范围为(22,0)(0,22)，故选：A 12、已知点(2,3)，(3,2)若直线:+1=0与线段相交，则实数的取值范围是（）A(,34 4,+)B34,4 C(15,+)D4,34 答案：A 分析：直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，从而得出l的斜率的取值范围,即得解 设直线过定点(,)，则直线:+1=0可写成(1)+1=0，令 1=0,1=0,解得=1,=1.直线必过定点(1,1)=3121=4，=2131=34直线:+1=0与线段相交，由图象知，34或 4，解得 34或 4，则实数的取值范围是(,34 4,+)故选：A 小提示：本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题 双空题 13、如图，在棱长为 2 的正方体 1111中，点是侧面11内的一个动点若点满足1 ，则|的最大值为_，最小值为_ 答案：22 5 1 分析：建立空间直角坐标系，设(,2,)0,2，0,2，根据向量垂直的坐标表示得到2+(1)2=1，即可得到动点的轨迹方程，再将其放到平面直角坐标系中，利用平面几何的知识计算可得；解：如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)，1(0,0,2)，(2,2,0)，设(,2,)0,2，0,2，所以1=(,2,2)，=(,0,)，因为1 ，所以1 =2+(2)=0，即2+(1)2=1，0,2，0,2，则动点的轨迹为以(0,0,1)为圆心，1为半径的半圆，将其放到平面直角坐标系中如下图所示：则(2,0)，(0,1)，(0,2)，所以|=12+22=5，所以|min=5 1；显然当点在时（即立体图形中的1点）|取得最大值，|max=22+22=22 因此|的最大值为22，最小值为5 1；所以答案是：22；5 1 14、设抛物线2=4的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，点满足=12(+)，过作轴的垂线与抛物线交于点，若|=2，则点的横坐标为_，|=_ 答案：1 8 解析：利用抛物线的定义，求得点的坐标，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理，求得点坐标的表达式，根据,两点的纵坐标相同列方程，解方程求得直线的斜率，由此求得|.由于点满足=12(+)，所以是线段的中点.抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为=1.设(0,0)，由于在抛物线上，且|=2，根据抛物线的定义得0+1=2，所以0=1，则0=2，不妨设(1,2).若直线斜率不存在，则(1,2),(1,2)，则(1,0)，此时的纵坐标和的纵坐标不相同，不符合题意.所以直线的斜率存在.设(1,1),(2,2)，设直线的方程为=(1)，代入抛物线方程并化简得22(22+4)+2=0，则1+2=2+42,1 2=1.由于是线段中点，所以(1+22,1+22)，而(1,2)，所以1+22=2，即1+2=4，即(1 1)+(2 1)=(1+2)2=(2+42)+2=4=4，解得=1.所以1+2=2+4=6，所以(3,2)，则到准线=1的距离为4，根据抛物线的定义结合中位线的性质可知|=4 2=8.所以答案是：(1).1 (2).8 小提示：本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.15、已知1,2分别为椭圆2100+22=1(0 10)的左、右焦点，P是椭圆上一点（1）|1|+|2|的值为_；（2）若12=60，且 12的面积为6433，求b的值为_ 答案：20 8 分析：（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解；（2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解.（1）由2100+22=1(0 0)，直线的方程为+=1，把点(1,2)代入可得1+2=1，若选：|+|=+=(+)(1+2)=3+2+3+22，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程；若选：1+2=1 22，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程（1）解：因为过点(1,2)作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A、B，且 是等腰直角三角形，所以直线l的倾斜角为34，所以直线l的斜率为=tan34=1，所以直线l的方程为 2=(1)，即+3=0；（2）解：设(,0)，(0,)(,0)，直线l的方程为+=1，代入点(1,2)可得1+2=1，若选：|+|=+=(+)(1+2)=3+2+3+22=3+22，当且仅当=2+1,=2+2时等号成立，此时直线l的斜率=2，所以直线l的方程为 2=2(1)，即2+2 2=0；若选：由1+2=1 22，可得 8，当且仅当=2,=4时等号成立，所以=12 4，即 面积最小为 4，此时直线l的斜率=2，所以直线l的方程为 2=2(1)，即2+4=0.19、双曲线的焦点与椭圆23+2=1的焦点相同，双曲线的一条准线方程为=22（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线的一弦中点为(2,1)，求此弦所在的直线方程 答案：（1）2 2=1；（2）=2 3.分析：（1）求出椭圆焦点坐标，得双曲线的半焦距，再由准线方程求得，从而可得，然后可得双曲线方程（2）设弦的两端分别为(1,1)，(2,2)，代入双曲线方程相减利用中点坐标可求得弦所在直线斜率，从而得直线方程 椭圆23+2=1的焦点为(2,0)，(2,0)=2 一条准线方程为=22，2=22，解得=1，=2 2=1，双曲线的方程为2 2=1（2）设弦的两端分别为(1,1)，(2,2)则有：12 12=122 22=1 (12 22)(12 22)=0 1212=1+21+2 弦中点为(2,1)，1+2=41+2=2 故直线的斜率=1212=1+21+2=2 则所求直线方程为：1=2(2)=2 3 小提示：思路点睛：本题考查双曲线的中点弦方程，解题方法是点差法，已知圆锥曲线的弦的中点坐标(0,0)，可设弦两端点坐标为(1,1),(2,2)，代入圆锥曲线方程相减，结合中点坐标得出弦所在直线的斜率，从而可得直线方程注意椭圆、抛物线的弦中点需在曲线内部，双曲线的弦中点只要不在双曲线即可 20、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE平面ABCD，BF平面ABCD，DE2BF2AB (1)证明：平面平面CDE(2)求平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值 答案：(1)证明见解析(2)66 分析：(1)由如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面则两平面平行即可得证；(2)建立空间直角坐标系，运用向量法求平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值即可.（1）因为 平面，平面ABCD，所以，又 平面ABF，平面ABF，可得：平面ABF；因为四边形ABCD是正方形，所以，同上有平面ABF；因为 平面，平面CDE，=；所以平面平面CDE（2）由题意可知DA，DC，DE两两垂直，则以为原点，分别以，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ；设=1，则(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,2)，(1,1,1)，从而 =(1,1,1)，=(1,0,1)，设平面CEF的法向量为 =(,)，则 =+=0 =+=0，令=1，得 =(1，2，1)，平面ABF的一个法向量为 =(1,0,0)，故cos ,=|=16=66，即平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值为66