实际问题与一元二次方程-(含答案).pdf

-1-实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性主要学习下列两个内容：1.列一元二次方程解决实际问题。一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.2.一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个根是和，那么1x2xacxxabxx=,=+2121-知识链接知识链接点击一：点击一：列方程解决实际问题的一般步骤列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题数学模型数学问题的解实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接).(3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程.(4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.(5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去.(6)答：即写出答案，不要忘记单位名称.总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.-2-针针对对练练习习 1 1:某城市 2006 年底已有绿化面积 300 公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到 2008 年底增加到 363 公顷设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（）A300(1x)=363B300(1x)2=363C300(12x)=363D363(1x)2=300点击二：一元二次方程根与系数的关系点击二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个根是和，那么1x2xacxxabxx=,=+2121-针针对对练练习习 2 2:先阅读，再填空解题：(1)方程：x2x2=0 的根是：x1=3,x2=4，则 x1+x2=1，x1x2=12；(2)方程 2x27x+3=0 的根是：x1=,x2=3，则 x1+x2=，x1x2=；127232(3)方程 x23x+1=0 的根是：x1=,x2=.则 x1+x2=，x1x2=；根据以上（1)(2)(3）你能否猜出：如果关于 x 的一元二次方程 mx2+nx+p=0（m0 且 m、n、p 为常数）的两根为 x1、x2，那么 x1+x2、x1、x2与系数 m、n、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.典例精析典例精析类型之一：建立一元二次方程模型解应用题类型之一：建立一元二次方程模型解应用题例例 1 1 甲、乙两人分别骑车从 A、B 两地相向而行，甲先行 1 小时后，乙才出发，又经过 4小时两人在途中的 C 地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由 C 地到达 A 地的途中因故停了 20 分钟，结果乙由 C 地到达 A 地时比甲由 C 地到达 B 地还提前了 40 分钟，已知乙比甲每小时多行驶 4 千米，求甲、乙两人骑车的速度.-3-例例 2 2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？类型之二：一元二次方程的根的判别式的应用类型之二：一元二次方程的根的判别式的应用 例例 3 3 阅读材料：阅读材料：如果，是一元二次方程的两根，那么有.这1x2x20axbxc1212,bcxxx xaa 是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例如是方程12,xx的两根，求的值.解法可以这样：则2630 xx2212xx126,xx 123,x x .222212112()2xxxxx x2(6)2(3)42 请你根据以上解法解答下题：请你根据以上解法解答下题：已知是方程的两根，12,xx2420 xx求：（1）的值；（2）的值.1211xx212()xx类型之三：综合应用类型之三：综合应用例 4.某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？求出 y 与 x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当 x 取何值时，商场获利润不少于 2160 元？-4-达标练习：1.如果一个不为零的数的平方等于这个数的两倍,那么这个数是()A.偶数 B.奇数 C.偶数或奇数 D.不一定是整数2.在一幅长 80 cm,宽 50 cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是 5 400 cm2,设金色纸边的宽为 x cm,那么 x 满足的方程是()A.x2+130 x1 400=0 B.x2+65x350=0C.x2130 x1 400=0 D.x265x350=03.恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率4.4.若是方程的两个实数根，则的值为（），2220050 xx23A2005B2003C2005D4010随堂检测随堂检测：1.从一块正方形的铁片上剪掉 2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是 48 cm2，则原来铁片的面积是()A.64 cm2 B.100 cm2 C.121 cm2 D.144 cm22.如图，某工厂直角墙角处，用可建 60 米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，问 AB 为多长时，所围成的矩形面积是 450 平方米？-5-3.某厂制造某种商品,原来每件产品的成本是 100 元,由于不断改进设备,提高生产技术,连续两次降低成本,两次降价后的成本是 81 元,则平均每次降低成本的百分率是()A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%4.某厂制造某种商品，原来每件产品的成本是 100 元，由于不断改进设备，提高生产技术，连续两次降低成本，两次降价后的成本是 81 元，则平均每次降低成本的百分率是()A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%5.已知、是方程的两个根，那么的值是（）1x2x,032 xx2221xxA.1 B.5 C.7 D.4496.某两位数的十位数字是方程 x28x=0 的解，则其十位数是_.7.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？-6-备选题目：1.某两位数的十位数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为 736，求原来的两位数.2.已知某项工程由甲、乙两队合做 12 天可以完成，共需工程费用 13 800 元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的 2 倍少 10 天，且甲队每天的工程费用比乙队多 150 元.(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？(2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.3.有一根竹竿,不知道它有多长.把竹竿横放在一扇门前,竹竿长比门宽多 4 尺;把竹竿竖放在这扇门前,竹竿长比门的高度多 2 尺;把竹竿斜放,竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?课时作业：课时作业：A A 等级等级1 1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低 36%,若每年下降的百分数相同,则这个百分数为 （）A、10%B、20%C、120%D、180%2 2、某超市一月份的营业额为 200 万元,已知第一季度的总营业额共 1000 万元,如果平均每月增长率为 x,则由题意列方程应为 ()-7-A、200(1+x)2=1000 B、200+2002x=1000C、200+2003x=1000 D、2001+(1+x)+(1+x)2=10003 3、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为 200 千克，出油率为 50（即每 100 千克花生可加工成花生油 50 千克）现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132 千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的则新品种花生亩产量的增长率为 21（）A、20 B、30%C、50%D、120%4 4、若两个连续整数的积是 56,则它们的和是 ()A、15 B、15 C、15 D、115 5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至 128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是 。6 6、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的 60 元降至 48.6 元,那么平均每次降价的百分率是 。7 7、高温煅烧石灰石(CaCO3)可以制取生石灰(CaO)和二氧化碳(CO2).如果不考虑杂质及损耗,生产石灰 14 吨就需要煅烧石灰石 25 吨,那么生产石灰 224 万吨,需要石灰石 万吨。8 8、解方程+=7 时，利用换元法将原方程化为 6y27y+2=0，则应设22(1)1xx 26(1)1xx y=_。9 9、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达 95 万人次，其中第一年培训了 20 万人次。设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为 x，根据题意列出的方程是_。1010、一条长 64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。若两个正方形的面积和等于160cm2，则这两个正方形的边长分别为 。B B 等级等级11.11.如果是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）12xx，2620 xx12xxABCD626212.12.已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)0 的根的情况是（）-8-A没有实数根B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根13.13.若 x1 是一元二次方程 x2xc0 的一个解，则 c2 14.14.一元二次方程的根为。2x2x1=015.15.已知 x=1 是关于 x 的一元二次方程 2x2+kx1=0 的一个根，则实数 k 的值是 .16.16.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 x220 xxmm17.17.解方程：0132 xx18.解方程：222(1)160 xxxx19.19.阅读材料：如果，是一元二次方程的两根，那么有1x2x20axbxc.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例1212,bcxxx xaa 是方程的两根，求的值.解法可以这样：12,xx2630 xx2212xx126,xx 则.请你根据以上解法解答下题：123,x x 222212112()2xxxxx x2(6)2(3)42 已知是方程的两根，求：12,xx2420 xx（1）的值；（2）的值.1211xx212()xx20.20.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边 如图，地毯中央的矩形图案长 6 米、宽 3 米，整个地毯的面积是 40 平方分米求花边的宽-9-C C 等级等级21.21.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1在温室内，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m2？22.22.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处甲沿着喀什路以4m/s 的速度由西向东走，乙沿着北京路以 3m/s 的速度由南向北走当乙走到O点以北 50m 处时，甲恰好到点O处若两人继续向前行走，求两个人相距 85m 时各自的位置23.23.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设某汽车销售公司 2005 年盈利 1500 万元，到 2007 年盈利 2160 万元，且从 2005 年到 2007 年，每年盈利的年增长率相同（1）该公司 2006 年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2008 年盈利多少万元？24.24.若 x1、x2是一元二次方程 3x2+x1=0 的两个根,则+的值是()11x21xA.2 B.1 C.1 D.3-10-25.25.三角形两边长分别是 8 和 6,第三边的长是一元二次方程 x216x+60=0 的一个实数根,则该三角形的面积是()A.24 B.24 或 8 C.48 D.85526.26.如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为 30m，另三边由一段长为 35m 的铁丝网围成已知矩形空地的面积是 125m2，求矩形空地的长和宽27.某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为 5000 吨，三月份上升到 7200 吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？28.28.如图，在 RtABC 中，B=900，AB=6 厘米，BC=3 厘米，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米秒的速度移动如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，几秒钟后，P，Q 间距离等于 4厘米2 2929、某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了 20。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了 1440m2。求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。-11-3030、在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是 8 和 2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是9 和1.你能找出正确的原方程吗?若能,请你用配方法求出这个方程的根.答案答案：课时作业：课时作业：1.B2.D3.A4.A5、20%；6、10%；7、400；8、9、10、12cm、4cm；-12-11.【解析】C 本题考察了一元二次方程的根与系数的关系。=（）=12xx66【评注评注】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，满足b24ac0 时，x1+x2=,x1x2=ab.ac12.【解析】A 本题考查了一元二次方程的根的情况.2224cab4 abc，由于a、b、c分别是三角形的三边，根据三边的关系可得0，所cab 2224cab以方程没有实数根.【评注评注】判断一元二次方程 ax2+bx+c=0 是否有根，就是判定 b24ac 与 0 的大小关系.如果 b24ac0，则方程有两个不等的实数根；b24ac=0，则方程有两个相等的实数根；b24ac0，方程无实数根。13.【解析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义。把 x1 代入一元二次方程x2xc0，得到 1+1c0，所以 c2.【答案】2【评注评注】能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根.所以将已知的方程的根代入原方程是成立的.14.【解析】本题主要考查了应用一元二次方程求根公式求出根.根据求根公式 x=.所以，.242bbac 244222 2212112x 212x 【答案】，112x 212x 【评注评注】用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a0);（2）确定 a、b、c 的值；（3）求 b24ac 的值；（4）当 b24ac0 时，则将 a、b、c 及 b24ac 的值代入求根公式求出方程的根，若 b24ac0，则方程无实数根.15.【解析】把 x=1 代入 2x2+kx1=0 的一个根，212+k1=0,k=1.【答案】1 【评注评注】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，所以将方程的根代入方程的左右两边就可以使方程成立.如果已知方程的根，求方程中的其它字母，可以直接将这个根代入方程，这样即可求出字母系数.16.【解析】本题考查一元二次方程根的判别式的运用.如果有两个实数220 xxm根，则（2）24m0,所以.1m-13-【答案】1m【评注评注】当 b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根，当 b24ac=0 时，方程有两个相等的实数根，当 b24ac0 时，方程没有实数根.本题中方程有两个实数根，可能相等，可能不相等，所以 b24ac0.17.【解析】本题考察了一元二次方程及其解法，本题可使用公式法或配方法两种方法解得结果。【解答】2334 1 12 1x 352 所以原方程的解为：，1352x 2352x【评注评注】用公式法求解时，化成一般形式是前提，确定各项系数是基础，计算的值和代入公式是关键。acb4218.【解析】本题考查分式方程的解法，本题运用的是换元法，这是一种重要的数学思想方法.【解答】设则原方程可化为 2y2+y6,解得，y2=2,yxx1231y即，解得，21xx231xx12x 213x 经检验，是原方程的根12x 213x 【评注评注】分式方程往往是通过转化为整式方程来求解的，在解方程之后要注意检验分式方程.19.【解析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系及乘法公式的变形应用.从方程可得出,想办法把要求的式子与化成用表示形12124,2xxx x1211xx212()xx1212,xx x x式,再整体代入即可【解答】12124,2xxx x（1）12121211422xxxxx x（2）222121212()()444 28xxxxx x【评注评注】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，满足b24ac0 时，由求根公式知x1=-14-,x2=,x1+x2=,x1x2=，即两根之和为，两根之积为aacbb242aacbb242abacab.运用此结论解某些有关的题时较为简便.ac20.【解析】本题考查的是一元二次方程应用问题。根据矩形面积公式很容易列出方程，解后应注意验根是否符合问题实际。【解答】设花边的宽为x分米，根据题意，得 40)32)(62(xx解得 121114xx，x=不合题意，舍去 114答：花边的宽为 1 米【评注评注】本题比较直观的表示出了矩形的面积，在列等量关系的时候要注意四周花边的宽度相同，从而得到了整个图形的长和宽.21.21.【解析】本题考查应用一元二次方程解决实际问题。关键是用设出的未知数表示蔬菜种植区域的长和宽，再根据面积为 288，列方程，解出未知数的值，注意要舍去不符合实际的解。【解答】解法一：设矩形温室的宽为 x m，则长为 2x m根据题意，得(2)(24)288xxA解这个方程，得（不合题意，舍去），110 x 214x 所以，14x 22 1428x 答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2解法二：设矩形温室的长为，则宽为根据题意，得mx1m2x12(4)2882xxA解这个方程，得（不合题意，舍去），120 x 228x 所以，28x 11281422x 答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2【评注评注】有些实际问题是关于图形面积的问题，解决这些问题的时候，要根据面积与面-15-积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题22.【解析】本题考查应用一元二次方程解决实际问题。本题既可以直接设也可以间接设，如果间接设，可以设经过x秒时两人相距 85m，然后求出时间即可求出最后的位置.【解答】解法 1：设经过x秒时两人相距 85m根据题意得：222(4)(503)85xx化简得：2121890 xx解得：（不符合实际情况，舍去）12921xx，当时，9x 436 50377xx，当两人相距 85m 时，甲在O点以东 36m 处，乙在O点以北 77m 处解法 2：设甲与O处的距离为xm 时，两人相距 85m则乙与O处的距离为350 m4x222350854xx解得：（不符合实际情况，舍去）123684xx，当33650774xx，答：当两人相距 85 米时，甲在O点以东 36 米处，乙在O点以北 77 米处【评注评注】动态几何问题是数形结合思想的体现，其实质是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要理解几何图形的运动意义或规则；第二是恰当设未知数，建立等量关系，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定未知数的取值范围。23.【解析】本题主要考查一元二次方程的应用.利用“增长量=基数增长率，增长后的总量=基数（1+增长率）”计算。.【解答】（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得 21500(1)2160 x解得（不合题意，舍去）120.22.2xx，1500(1)1500(1 0.2)1800 x-16-答：2006 年该公司盈利 1800 万元 （2）2160(1 0.2)2592答：预计 2008 年该公司盈利 2592 万元【评注评注】随着市场经济的日益繁荣，市场竞争更是激烈因此，“利润问题”还将是人们关注的焦点，还会被搬上中考试卷，让同学们真正体会到数学的宝贵价值24.【解析】B 本题可以先解方程,然后代入,但此法比较复杂.简捷的方法是通过前面的总结得出 x1+x2=,x1x2=,这样容易得到原式为 1.abac25.【解析】B 解方程,得 x1=10,x2=6.根据三角形的三边关系,知 x1=10,x2=6 均合题意,当三角形的三边分别为 6、8、10 时,构成的是直角三角形,面积为68=24；当三边分别为216、6、8 时,构成的是等腰三角形,根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理,求得底边上的高为 2,所以面积为82=8.5215526.【解析】根据长方形面积公式，运用长宽=25 列出方程，即可求得答案在方程中墙壁的长度 30m 没有直接用到，但在检验结果的时候，要注意矩形的平行于墙壁的一边长不能超过 30m，否则，这堵墙就没有作为养鸡场的利用价值。【解答】设矩形与墙平行的一边长为 xm，则矩形的另一条边长为m根据题意，35-x2得 x=125 35-x2整理，得 x235x+250=O解这个方程，得 x1=10，x2=25 当 x=10 时，=12.5 35-x2 当 x=25 时，=5均合题意 35-x2 答：矩形空地的长和宽分别是 12.5m 和 10m 或 25m 和 5m17.【解析】设平均每月的增长率为，则 2 月份的产量是(吨)，3 月份的产量是x500050005000 1xx(吨)25000 15000 15000 1xx xx27.【解答】设平均每月的增长率为，据题意得:x 25000 17200 x-17-化简得，211.44x于是11.2x 解得(不合题意，舍去)120.22.2xx，所以=02=20 x答：这两个月平均每月增长的百分率是 20%28.【解析】设 x 秒钟后，P、Q 两点间的距离等于 4cm再利用路程=时间速度的关2系，用 x 的代数式表示出 PB 与 BQ 长度，然后在 RtPBQ 中由勾股定理列出方程【解答】设 x 秒钟后，P、Q 间的距离等于 4cm2 则由题意，得：AP=x，PB=6x，BQ=2x在 RtPBQ 中，PQ2=PB2+BQ2(4)2=(6x)2+(2x)2 2 5x212x+3632=O 5x212x+4=O (5x2)(x2)=O x1=0.4，x2=2 AP=0.46，BQ=0.83 或 AP=23(不符合题意，舍去)答：0.4 秒后，P、Q 间距离等于 4cm 229、（1）1000m2；（2）20%。30、x210 x+9=0,x1=9,x2=1。课前预习课前预习解析：解析：由CAB=90 可知旋转角是 90，则DAD=90,根据旋转特征可知ACDABD，所以 AD=AD，则DAD是等腰直角三角形，那么ADD=45.故选 D.