中考专题四《旋转问题题型方法归纳》.pdf

1旋转问题考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。旋转性质-对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。一、直线的旋转1、(2009 年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，4MN，1MA，1MB以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设xAB（1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面积？2、（2009 年河南）如图，在 RtABC 中，ACB=90,B=60，BC=2点0是 AC 的中点，过点0的直线 l 从与 AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交 AB 边于点 D.过点 C 作 CEAB 交直线 l 于点 E，设直线 l 的旋转角为.(1)当=_度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长为_；当=_度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为_；(2)当=90时,判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由3、（2009 年北京市）在中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转得到线段 EF(如图 1)ABCDA90（1）在图 1 中画图探究：CABNM（第 1 题）2当 P 为射线 CD 上任意一点（P1不与 C 重合）时，连结 EP1绕点 E 逆时针旋转得到线段 EC1.判断90直线 FC1与直线 CD 的位置关系，并加以证明；当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转得到线段 EC2.判90断直线 C1C2与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若 AD=6,tanB=,AE=1,在的条件下，设 CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并43x11PFCAyyx写出自变量的取值范围.x分析：此题是综合开放题-已知条件、问题结论、解题依据、解题方法这四个要素中缺少两个或两个以上，条件需要补充，结论需要探究，解题方法、思考方向有待搜寻。解决此类问题，一般要经过观察、实验、分析、比较、类比、归纳、推断等探究活动来寻找解题途径。可从简单、特殊的情况入手，由此获得启发和感悟，进而找到解决问题的正确途径，是我们研究数学问题，进行猜想和证明的思维方法。华罗庚说：善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，这是学好数学的一个诀窍。提示：（1）运用三角形全等，（2）按 CP=CE=4 将 x 取值分为两段分类讨论；发现并利用好 EC、EF 相等且垂直。4、（2009 黑龙江大兴安岭）已知：在中，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结过ABCACBC DABCABCAD DC、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、ABDCEFEFADBCMN（1）如图 1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、DBCNFACHHE，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论（不需证明）HFBNEAMF（2）当点旋转到图 2 或图 3 中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选DAMFBNE一种情况证明二、角的旋转5、（2009 年中山）（1）如图 1，圆心接中，、为的半径，ABCABBCCAODOEO于点，于点求证：阴影部分四边形的面积是的面积的ODBCFOEACG，OFCGABC13（2）如图 2，若保持角度不变，DOE120求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始DOEOABC终是的面积的ABC13图 2图 3图 1HMFEABCDMNFEABCDMNFEABCD(N)3ADCBPMQ606、（2009 襄樊市）如图，在梯形ABCD中，24ADBCADBC，点M是AD的中点，MBC是等边三角形（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且60MPQ 保持不变设PCxMQy，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中：当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；当y取最小值时，判断PQC的形状，并说明理由提示:第（3）问，两种情形-PMAB ,PMCD第（3）问，求出 y 最小值为 3，此时 x=PC=2,点 P 到 BC 中点，PMBC.6、（2009 年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由4提示：第（3）问，PGC 为等腰三角形按哪两边相等分类讨论，求出点 P 坐标，再求点 Q 坐标。三、三角形的旋转7、（2009 年邵阳市）如图，将 RtABC(其中B340，C900）绕 A 点按顺时针方向旋转到AB1 C1的位置，使得点 C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）A.560 B.680 C.1240 D.1800340B1CBAC18、（2009 年包头）如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为ACBDFE10cm，较小锐角为 30，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点在同一条直线BCFD、上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转到图（2）的位置，点在CFACBCE边上，交于点，则线段的长为 cm（保留根号）ABACDEGFGC(F)D图（2）9、（2009 河池）如图 9，的顶点坐标分别为若将绕点顺时ABC(3 6)(13)AB，(4 2)C，ABCC针旋转，得到，则点的对应点的坐标为 90A B C AA6 题图yxDBCAE EO5BACAB1234567891234567OABCyx图 910、（2009 年郴州市）如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，1与2的和总是保持不变，那么1与2的和是_度11、（2009 年台州市）如图，三角板ABC中，90ACB，30B，6BC三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为 12、（2009 年凉山州）将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若ABCBA BCABC、，则图中阴影部分面积为 cm290BCA304cmBACAB，13、（2009 年郴州市）如图 6，在下面的方格图中，将ABC 先向右平移四个单位得到A1B1C1，再将A1B1C1绕点 A1逆时针旋转90得到DA1B2C2，请依次作出A1B1C1和A1B2C2。2130ACBCA30（12 题）6ADGECB14、(2009 年达州)如图 7，在ABC 中，AB2BC，点 D、点 E 分别为 AB、AC 的中点，连结 DE，将ADE 绕点 E 旋转 180 得到CFE.试判断四边形 BCFD 的形状，并说明理由.15、（2009 襄樊市）如图所示，在RtABC中，90ABC 将RtABC绕点C顺时针方向旋转60得到DEC，点E在AC上，再将RtABC沿着AB所在直线翻转180得到ABF连接AD （1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？ADFCEGB16、（2009 年株洲市）如图，在中，将绕点沿逆时Rt OAB90OAB6OAABOABO针方向旋转得到9011OAB（1）线段的长是 ，1OA的度数是 ；1AOB（2）连结，求证：四边形是平行四边形；1AA11OAAB（3）求四边形的面积11OAAB图6ABC7B1AOBA117、（2009 烟台市）如图，直角梯形 ABCD 中，且BCAD90BCD，过点 D 作，交的平分线于点 E，连接 BE2tan2CDADABC，ABDEBCD（1）求证：；BCCD（2）将绕点 C，顺时针旋转得到，连接 EG.求证：CD 垂直平分 EG.BCE90DCG（3）延长 BE 交 CD 于点 P求证：P 是 CD 的中点即BCCD18、（2009 年山西省）ADBECF1A1CADBECF1A1C在ABC中，2120ABBCABC，将ABC绕点B顺时针旋转角(0 90)得ABCAB111，交AC于点E，11AC分别交ACBC、于DF、两点（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图 2，当30时，试判断四边形1BC DA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长提示：（1）考查三角形旋转过程中的不变量再导出图形各线段间的各种关系；（2）在特殊条件下，得到线段间的特殊关系。19、（2009 年牡丹江）已知中，为边的中点，绕点旋转，RtABC90ACBCCD，AB90EDF，EDFD它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时ACCBEFEDFDDEACEAECFBD图 1图 3ADFECBADBCE图 2F8（如图 1），易证12DEFCEFABCSSS当绕点旋转到不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，EDFDDEAC和请给予证明；若不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明DEFSCEFSABCS分析：此类题的特点是-提供问题的一个特殊的情况（给出命题的题设、结论），让你探索使结论成立的证明过程，然后通过运动变换,使题设条件改变，图形随之发生变化产生新的问题情景，再去探究新情景中原来的结论是否成立，还是又有新的关系。解题方法思路一般是-先探究特殊情景下的解题方法，再内化感悟、类比、猜想与探究。（针对特殊情景解题方法需添加什么辅助线，用到什么定理，是什么方法思想，能否直接模仿，还是要创新）提示：图 2、图 3 按退还到图 1 位置作辅助线，证明方法思路一样。20、（2009 年常德市）如图 9，若ABC和ADE为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形（1）当把ADE绕 A 点旋转到图 10 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当ADE绕 A 点旋转到图 11 的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由提示：（1）抓住不变量易解，（2）能证得ADC 与 AEB 是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性质求解。21、（2009 东营）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；FBADCEG图FBADCEG图图 9 图 10 图 11图 89EFMNGOBAxy图（9）-2QDOBAxyCy=kx+1图（9）-1（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转 45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）提示：考查三角形的中线、三角形全等、矩形的性质等。（2）作适当辅助线，构造全等三角形。也可连接 GA,得 GC=GA,过点 G 作 AB 的垂线，证 GE=GA.22、（2009 年甘肃庆阳）（8 分）如图 14，在平面直角坐标系中，等腰 RtOAB 斜边 OB 在 y 轴上，且OB4（1）画出OAB绕原点 O 顺时针旋转 90后得到的三角形；（2）求线段 OB 在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后 OB 与点 B 轨迹所围成的封闭图形的面积）图 2223、（2009 年广西梧州）如图（9）-1，抛物线23yaxaxb经过 A（，0），C（3，）两点，12与y轴交于点 D，与x轴交于另一点 B（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线)0(1kkxy将四边形 ABCD 面积二等分，求k的值；（3）如图（9）-2，过点E（1，1）作EFx轴于点F，将AEF 绕平面内某点旋转180得MNQ（点M、N、Q 分别与点 A、E、F 对应），使点 M、N 在抛物线上，作 MGx轴于点 G，若线段MGAG12，求点M，N 的坐标DFBACE图10提示：第（3）问类似 09 武汉中考压轴题，利用好中心对称的性质-对应边平行且相等。四、四边形的旋转24、（2009 年山东青岛市）如图边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是 45ADCBCDBE25、（2009 呼和浩特）如图所示，正方形的边在正方形的边上，连接ABCDCDECGFCEBEDG，（1）求证：BEDG（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由26、（2009 年济宁市）在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形的两顶点、分别在轴、轴OABCACyx的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停OOABCOAyx止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.AByxMBCxN（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；OA（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；MNACOABC（3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.MBNpOABCp提示：延长 BA 交 y 轴于点 E。第（3）问，证明OAEOCN,OMNOME,OABCMNyxxyEFGDABC11得 MN=AM+CN.27、（2009 年宁波市）如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为，直线 BC 经过点，(8 0)，(8 6)B ，将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线(0 6)C，OA B C OA分别与直线 BC 相交于点 P、QB C（1）四边形 OABC 的形状是 ，当时，的值是 ；90BPBQ（2）如图 1，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；OA B C ByBPBQ如图，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积OA B C BBCOPB（3）在四边形 OABC 旋转过程中，当时，是否存在这样的点 P 和点 Q，使？018012BPBQ若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由提示:第（3）问，过点 Q 作 QHOA于 H，连接 OQ，则 QH=OC=OC,易证 PQ=OP,设 BP=x，BQ=2x；按旋转时点 P 在点 B 左、右两种情况分类讨论。28、（2009 年湖北荆州）xyOA图A图xyO如图，已知两个菱形 ABCD 和 EFGH 是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形（菱形 ABCD 与菱形EFGH 的位似比为 21），BAD120，对角线均在坐标轴上，抛物线经过 AD 的中点 M213yx填空：点坐标为 ，D 点坐标为 ；操作：如图，固定菱形 ABCD，将菱形 EFGH 绕 O 点顺时针方向旋转度角，并延(090)长 OE 交 AD 于 P，延长 OH 交 CD 于 Q探究 1：在旋转的过程中是否存在某一角度，（Q）BAOxPAC（图2）yBQCBAOxPABC（图1）yCBAOyx（备用图）（第 27 题）12yxAOBPN图 2C1C4QEF图（2）yxAOBPM图 1C1C2C3图（1）使得四边形 AFEP 是平行四边形？若存在，请推断出的值；若不存在，说明理由；探究 2：设 AP，四边形 OPDQ 的面积为，求与之间的函数关系式，并指出的取值范围xssxx五、抛物线的旋转29、(2009 年宁德市)如图，已知抛物线 C1：522xay的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，将抛物线 C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C3的解析式；（3）如图（2），点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C1绕点 Q 旋转 180后得到抛物线 C4抛物线 C4的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 Q 的坐标30、（2009 年四川凉山州）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为2yxbxc(10)A，(0 2)B，D（1）求抛物线的解析式；（2）将绕点顺时针旋转 90后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，OABABCyC求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且y1B1DN满足的面积是面积的 2 倍，求点的坐标1NBB1NDDNyxBAOD（第 30 题）12