数值分析复习总结.pdf

数值分析课本重点知识点数值分析课本重点知识点第一章P4 定义一P5 定义二P6 定理 1P7 例题 3P10 条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式第二章P26 定理 2（以及余项推导过程）P36 两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念第三章P63 例题 3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式第四章P106 复合梯形公式P107 复合辛普森求积公式P108 例题 3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度第五章P162 定义 3 向量的范数P165 定理 17P169 定义 8（1）左中右矩形公式（2）LU 分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数第六章P192 定理 9 第 1 条P192 例题 8第七章P215 不动点和不动点迭代法P218 定理 3P228 弦截法P229 定理 6第九章P280 欧拉法与后退欧拉法P283 改进欧拉公式数值分析课后点题答案数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第一章数值分析误差第二章插值法第二章插值法 第三章函数逼近第三章函数逼近所以无解19。观测物体的直线运动，得出以下数据：时间 t(s)00.91.93.03.95.0距离 s(m)010305080110求运动方程。解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程sabt令 1,spant 22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,ss 则法方程组为614.728014.753.631078ab 从而解得7.85504822.25376ab 故物体运动方程为22.253767.855048St20。已知实验数据如下：ix1925313844jy19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方误差。2sabx解：若，则则2sabx 21,spanx 22012201015,7277699,(,)5327,(,)271.4,(,)369321.5,ff 则法方程组为55327271.453277277699369321.5ab 从而解得0.97260460.0500351ab故20.97260460.0500351yx均方误差为14220()0.1226jjjy xy第四章数值积分与数值微分第四章数值积分与数值微分1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。1）；)()0()()(101hfAfAhfAdxxfhh解分别取代入得到：2,1)(xxxf，即，解得32212021101101320)(00)(21hdxxhAAhAxdxhAAhAhdxAAAhhhhhhhAAAAhAAA3121111101hAhAhA613261101又因为当时，；3)(xxfhhdxxhhhAAhA334313031061610)(当时，；4)(xxfhhdxxhhhhhAAhA45555414041523161610)(从而此求积公式最高具有 3 次代数精度。2）；)()0()()(10122hfAfAhfAdxxfhh解分别取代入得到：2,1)(xxxf，即，322221202122101221013160)(00)(41hdxxhAAhAxdxhAAhAhdxAAAhhhhhhhAAAAhAAA31641111101解得，hAhAhA383438101又因为当时，；3)(xxfhhdxxhhhAAhA22334313031038380)(当时，4)(xxf；hhdxxhhhhhAAhA224555541404156431638380)(从而此求积公式最高具有 3 次代数精度。3）；3/)(3)(2)1()(2111xfxffdxxf解分别取代入得到：2,)(xxxf，即，323/32)1(03/)321(112222121121dxxxxxdxxx132132222121xxxx解得与，7221723221xx7221723221xx又因为当时，3)(xxf；11333303432114363432162426133432541082368213/7221372322)1(dxx，11333303432114363432162426133432541082368213/7221372322)1(dxx从而此求积公式最高具有 2 次代数精度。4）。)()0(2/)()0()(20hffahhffhdxxfh解分别取代入得到：，所以，2)(xxf32231)2(2/)0(hhahhh121a又因为当时，3)(xxf422341)3(1212/)0(hhahhh当时，所以此求积公式最高4)(xxf553245161)4(1212/)0(hhhahhh具有 3 次代数精度。6。若用复化梯形公式计算积分，问区间应人多少等分才能使截断误差不10 xIe dx0,1超过？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间应分多少等分？511020,1解：采用复化梯形公式时，余项为2()(),(,)12nbaRfh fa b 又故10 xIe dx(),(),0,1.xxf xefxe ab221()()1212neRfhfh若，则51()102nRf25610he当对区间进行等分时，0,11,hn故有510212.856en因此，将区间 213 等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时，余项为4(4)()()(),(,)1802nba hRffa b 又(),xf xe(4)4(4)4(),1()|()|28802880 xnfxeeRfhfh 若，则51()102nRf45144010he当对区间进行等分时0,11nh故有1541440(10)3.71ne因此，将区间 8 等分时可以满足误差要求。第五章解线性方程组的直接方法第五章解线性方程组的直接方法14 下列矩阵能否分解为（其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能LU分解，那么分解是否唯一。，。764142321A133122111B461561552621C解因为 A 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，-10，所以 A 不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。因为 B 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，0，所以 B 不能分解为三角阵的乘积。因为 C 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，5，1，所以 C 能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。18 设，计算 A 的条件数。989999100A),2()(vAcondv解由可知，从而989999100A1009999981A，19801196021960219405100999998100999998)()(11AAT由，013920619801196021960219405)()(211AAIT，19405196021960219801989999100989999100AAT由，0139206194051960219602198012AAIT可得，从而38427760819603212AA。3920638427760819603)(2212AAAcond，从而1991A199A39601199199)(1AAAcond第六章解线性方程组的迭代法第六章解线性方程组的迭代法第七章非线性方程组的数值解法第七章非线性方程组的数值解法7.用下列方法求在附近的根。根的准确值013)(3xxxf20 x，要求计算结果准确到四位有效数字。87938524.1*x（1）牛顿法（2）弦截法，取012,1.9xx（3）抛物线法，取0121,3,2xxx解1），33123313)()(23231kkkkkkkkkkxxxxxxxfxfxx20 x，迭代停止。888889.1917323122231x87945.15616105553)917(31)917(2232x2），31)()()13()13(13)()()()(211211113133111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxfxx，20 x9.11x881094.1841158241.882.153229.19.11)29.1(29.1222x，迭代停止。879411.1546204321102654244284161.08419.11582158284142.955814339.19.18411582)8411582(1)9.18411582(9.18411582222223x3），其中,)(4)(2121kkkkkkkxxxfxfxfxx，故)(,1211kkkkkkkxxxxxfxxf2,3,1210 xxx，3)(0 xf17)(1xf1)(2xf1013)3(17)()(,010110 xxxfxfxxf，1632171)()(,121212xxxfxfxxf，6121016,021021210 xxxxfxxfxxxf10)32(616，下略。9465745.176101261410101223x第九章常微分方程初值问题数值解法第九章常微分方程初值问题数值解法3 用梯形法解初值问题证明其近似解为1)0(0yyy xnneyhhhy题的准确解时，它收敛于原初值问并证明当0,22