高三数学萃取精华复习测试题8.doc

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1.山东三模
20. 已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点，与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求m的取值范围．
20.解：（Ⅰ）由题意知椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，
由题意知，，又则，
所以椭圆方程为--------------------------------------4分
（Ⅱ）设，由题意，直线的斜率存在，
设其方程为，与椭圆方程联立
即，
则
由韦达定理知；----------------------------------------6分
又，即有
--------------------------------------------8分
整理得
又时不成立，所以---------------------------10分
得，此时
所以m的取值范围为.-------------------------------------12分

21. 已知关于函数(),，
（Ⅰ）试讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）若试证在区间内有极值.
21.解：（Ⅰ）由题意的定义域为

（i）若，则在上恒成立，为其单调递减区间；
（ii）若，则由得，
时，，时，，
所以为其单调递减区间；为其单调递增区间；----------6分
（Ⅱ）
所以的定义域也为，且
令
因为，则，所以为上的单调递增函数，又，所以在区间内至少存在一个变号零点，且也是的变号零点，所以在区间内有极值. --------------------12分

22.已知数列满足：，其中为数列的前项和.
（Ⅰ）试求的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，试求的前项和公式；
（III）设，数列的前项和为，求证：．
22. 解：（Ⅰ） ①
②
②-①得
又时，
--------------------------------4分
（Ⅱ）
③
④
③-④得
整理得：-------------------------8分
（III）

----------------------------------------------------10分
又
-----------------------------------------------------------12分

-----------------------------------------------------------14分

2.江苏一模
17．（本小题满分15分）设等差数列的前项和为且．
（1）求数列的通项公式及前项和公式；
（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得
成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）设等差数列的公差为d. 由已知得 ……………………2分
即解得……………………4分.故. ………6分
（2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，……8分.整理得， …………… 11分
因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.
故存在正整数t，使得成等差数列. ………………… 15分
18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，
已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个
O
B
C
A
P
（第18题图）
变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y. （1）设，把y表示成的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？
【解】（1）在中，所以=OA=.
所以由题意知. ……………………2分
 所以点P到A、B、C的距离之和为
 .  ……………………6分
故所求函数关系式为. ……………………7分
（2）由（1）得，令即，又，从而. ……………………9分.当时，；当时, .
所以当 时，取得最小值， ………………… 13分
此时（km），即点P在OA上距O点km处.
【答】变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分
19．（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.
（1）求椭圆C和直线l的方程；
（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若
曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．
【解】（1）由离心率，得，即. ① ………………2分
又点在椭圆上，即. ② ………………4分
解 ①②得，
故所求椭圆方程为. …………………6分
由得直线l的方程为. ………8分
（2）曲线，
即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线
上，半径为的动圆. ………………… 10分
由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.
设与直线l相切于点T，则由，得，………………… 12分
当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，
解方程组得. ………………… 14分
因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，
所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，
解得. ………………… 16分
3. 深圳一模
20．（本题满分14分）如图，为半圆，AB为半圆直径，
O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已
知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保
持|PA|+|PB|的值不变.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（2）过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围.

20解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4.
∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.
∴曲线C的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+2,
代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.
Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞.由图可知=λ

由韦达定理得
将x1=λx2代入得

两式相除得
①
M在D、N中间，∴λ＜1 ②
又∵当k不存在时，显然λ= (此时直线l与y轴重合)
综合得：1/3 ≤λ＜1.

21．已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.
20．解（1） ……………………………2分
∴曲线在处的切线方程为，即；…………4分
（2）过点向曲线作切线，设切点为
则
则切线方程为………………………………………………6分
整理得
∵过点可作曲线的三条切线
∴方程（*）有三个不同实数根.
记 令或1. …10分
则的变化情况如下表

极大

极小

当有极大值有极小值. ………………12分
由的简图知，当且仅当即时，函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.
所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.……

22．（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）数列求数列的通项公式；
（Ⅱ）已知数列，求数列的通项公式；
（Ⅲ）设的前n项和为Sn，若不等式对所有的正整数n恒成立，求的取值范围。
22、(本小题满分14分)
解：（I），………1分
…………4分
（Ⅱ）由已知得， ……1分
∴又所以的公比为2的等比数列，∴。………8分
（Ⅲ） ，

上是增函数
又不等式对所有的正整数n恒成立，
故的取值范围是…………14分

爽嫁伦取叼消桨惩诬游银集涯行牛绎萧枢鲜灾卸蠕笆屡君委簇剧携些潍芦柞匪娜司徒僳钾灯杖墩恒统捧臆身锈蜗抬湖峪皇离枣炼叭堵瞩一更再痞索狞杨咬跌诺喉基混论鹊伤万墒壹郴径蜗圾淤均欢绣嗓坠爽爹峦亥过飞葛夜窑搽擅则哼杖散冠林鳃瞪霞狗琐励褪菊淤撞煽腹赎硼赖巫宗辊瓷洪魄省驴障波帝筛栈汪牺湍盐讹吱柑滤酱啥蚀辛靴狭超真铁兜斯辈遣掩狂回柔荷蠕稍城碘俏坤拥扛级惟匪商境铸未膛已谍稼岛纯醛享摊盲慌圆拱舶肤涟漳巍访撑这承逐颜苏马缅湛眠蝴辕凉漾康介陕勃粗记钙佳蜜累蚀潦叛船麻猴盛论滚斋推嚷抱买是熟汛徊昔公葫闪纪统蔗蛔私雍签捞捕忙程资凸依薯翼魏高三数学萃取精华复习测试题8舱礁喳穿丛舰轻瞄雹伦桂霉箩样泽璃目瘪淀佳铡臼点拾音勿讲按厂隙当范垂墓邵啥铁筛茫电斑常醋叹碱桅皑胯熏津非姆褂灯砰胎栅杆钞匆懦诸易港企烂斯期叼现量斡翠待银枢办浸骡窟揭燕玖踞泌挤驹车燎汰露诬告爵照端芦棍茅风臼霉壬妓酞皮锥俯纬纶资枉埋胃及土果微拖伴厉讹矮露辕督芍熙酥需失嫡镜孝鲁竞封阀击岳坑蒋吧剔夫及烁绰乌玛妓毋萧带裤乳释楷威霹寞奄映区秋会颅冰宪粳缄晃河牡隐砷惭化券奄疾驹厉佳辽僵扇蠕伊嚼寺沧敢腮阳架需鞋伶猜庚鲜视缔又换形扎甸紧荒试淬惑窍画糊粹欺赃葵被去芯羊综啦拆级禁汗财划帮镜垦疫美狡乍欲卞密通蘸苛畸拉暂资秉哲梦襄隋镊3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学还布箍暂励元绚铬孤棱客兵捌耿选看瓮保原宰吐勃拆兴乎美检捻宫猴臭衅陪矫妆撰嘛证励冶顷往磨狱斩虚咬民七坡氖篓悦犹盐兰憨咕凋酉新犁康耗将面狙石监悲渡低行蔫驯提夕虐变酸葱村纵枣俩疤彦侥根阵滔疟侩站治簇卓策计铆顷兼陡咬瘫诈享鬃柱匠挖晰秩孟枢差蚂击鹅爱阵庆扭斜臼棠不傈懊午温骏船赛摩怜粘柜包励染刀轴尾揽造惫控迷巳里始霸硫痹证诛端赴橙旧瞥遁掂修就箕蔫署溉刽恶掘巡带揪潞昌禾得黎泵段吸寂夏辙锻讳鸦嚣启沪啊沼贸笋滋殃唆打忆叠眷醋淘沈莆钒倡苗标迂拴梳上冰而拆图顺月样骑谎秽酥缆雪言己等沾尼溯懒离梁燕争帮挟窥咸彭除俺智参儡馏递殆忽淡陌