高三数学萃取精华复习测试题3.doc

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1．泉州模拟
21．（本小题满分12分）
过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
解法（一）：（1）设
由得：

………………………………3分
直线PA的方程是：即 ①
同理，直线PB的方程是： ②
由①②得：
∴点P的轨迹方程是……………………………………6分
（2）由（1）得：

…………………………10分

所以
故存在=1使得…………………………………………12分
解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且
∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且
设PA的直线方程是
由得：
即…………………………3分
即直线PA的方程是：
同理可得直线PB的方程是：
由得：
故点P的轨迹方程是……………………………………6分
（2）由（1）得：

………………………………10分

故存在=1使得…………………………………………12分
22．（本小题满分14分）
设函数在上是增函数。
（1） 求正实数的取值范围；
（2） 设，求证：
解：（1）对恒成立，
对恒成立
又 为所求。…………………………4分
（2）取，，
一方面，由（1）知在上是增函数，

即……………………………………8分
另一方面，设函数

∴在上是增函数且在处连续，又
∴当时，
∴ 即
综上所述，………………………………………………14分
2．扬州二模
20．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1) 设双曲线的方程为，
则．
由，得，即．
∴ （3分）
解之得，∴．
∴双曲线的方程为． （5分）
(2) 设在轴上存在定点，使．
设直线的方程为，．
由，得．
即 ① （6分）
∵，
，
∴．
即． ② （8分）
把①代入②，得
③ （9分）
把代入并整理得

其中且，即且．
． （10分）
代入③，得
，
化简得 ．
当时，上式恒成立．
因此，在轴上存在定点，使． （12分）
21．(本小题满分14分)
已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记．
(1) 求；
(2) 试比较与的大小（）；
(3) 求证：，（）．
解：(1) ∵， ①
∴． ②
②－①，得
，
即． （3分）
在①中令，可得．
∴是首项为，公比为的等比数列，． （4分）
(2) 由(1)可得
．
．
∴， （5分）
．
而，且，
∴，．
∴，（）． （8分）
(3) 由(2)知 ，，（）．
∴当时，．
∴
， （10分）
（当且仅当时取等号）．
另一方面，当，时，

．
∵，∴．
∴， （13分）
（当且仅当时取等号）．
∴．
（当且仅当时取等号）．
综上所述，，（）．（14分）
3．北京朝阳二模
（19）（本小题满分13分）
如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。
（I）求证：；
（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明。
解：（I）
右准线，渐近线

……3分
（II）

双曲线C的方程为： ……7分
（III）由题意可得 ……8分
证明：设，点
由得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

……11分
，得

的取值范围是（0，1） ……13分

（20）（本小题满分13分）
已知函数，数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；
（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。
（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。
解：（I）

……1分

……

将这n个式子相加，得

……3分
（II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1

……6分
（III）设满足条件的正整数N存在，则

又
均满足条件
它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。
设共有m个满足条件的正整数N，则，解得
中满足条件的正整数N存在，共有495个， ……9分
（IV）设，即
则
显然，其极限存在，并且 ……10分
注：（c为非零常数），等都能使存在。

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