八年级下册数学期末试卷练习(Word版含答案).doc

八年级下册数学期末试卷练习（Word版含答案）
一、选择题
1．若y＝﹣3，则（x+y）2021等于（　　）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
2．下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝3：4：4 B．a＝1，b＝，c＝
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2：b2：c2＝3：4：5
3．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列判断正确的是（ ）

A．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
C．若AB=DC，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形
D．若AO=OC，BO=OD，则四边形ABCD是平行四边形
4．甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、x分、80分，若这组成绩的众数与平均数恰好相等，则这组成绩的众数是（ ）
A．100分 B．95分 C．90分 D．85分
5．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的动点，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点，连接PG，在点E运动过程中，线段PG的最小值是（　　）

A．2 B． C．2 D．4
6．如图，在菱形中，M、N分别是和的中点，于点P，连接，若，则（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在RtABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点重合，AE为折痕，则E长为（ ）

A．3cm B．2.5cm C．1.5cm D．1cm
8．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（ )

A．5 B．5 C．5 D．10
二、填空题
9．若式子成立，则a的取值范围是________________
10．已知菱形的边长为2，一个内角为，那么该菱形的面积为__________．
11．在中，，，，斜边的长为__________．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO于点E，则BD的长为_____．

13．经过点(2,0)且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是__________________.
14．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是__（填序号）．

15．如图,在平面直角坐标系中,函数和的图象分别为直线,,过点作轴的垂线交于点,过点作轴的垂线交于点,过点作轴的垂线交于点,过点作轴的垂线交于点,…依次进行下去,则点的坐标为______．

16．如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为________．

三、解答题
17．计算题．
（1）；
（2）﹣；
（3）（）0+（﹣）﹣2+﹣；
（4）（）×6．
18．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处距竹子底端6尺远，问折断处离地面的高度是多少尺？
19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

（1）在图1中，画一个三边长都是有理数的直角三角形；
（2）在图2中，画一个以BC为斜边的直角三角形，使它们的三边长都是无理数且都不相等；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．
20．如图，在中，，于点H，E是A上一点，过点B作，交的延长线于点F，连接，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的度数．
21．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的：已知a=,求的值.
他是这样分析与解的：∵a==，
∴, ∴
∴, ∴=2（=.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）若a=,直接写出的值是 .
（2）使用以上方法化简：
22．清明期间，某校计划组织八年级学生去树湘纪念馆参观，与某公交公司洽谈后，得知该公司有A，B两种不同型号客车，它们的载客量和租金如下表所示：
类别
A型客车
B型客车
载客量（人/辆）
50
30
租金（元/辆）
300
180
经计算，租用A，B型客车共15辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的代数式填写下表：
类别
车辆数（辆）
载客量（人）
租金（元）
A型客车
x
50x
300x
B型客车
15﹣x

（2）若租用A型客车的数量不小于B型客车数量的2倍，采用怎样的方案可以使租车总费用y最少，最少是多少？
23．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．

24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线于点E．

（1）直线l对应的函数表达式是__________，点E的坐标是__________；
（2）在直线上存在点F（不与点E重合），使，求点F的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在正方形中，点、是正方形内两点，，，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

（1）在图1中，连接，且
①求证：与互相平分；
②求证：；
（2）在图2中，当，其它条件不变时，是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

（3）在图3中，当，，时，求之长.

【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
直接利用二次根式中的被开方数是非负数，进而得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】
解：由题意可得：x﹣2≥0且4﹣2x≥0，
解得：x＝2，
故y＝﹣3，
则（x+y）2021＝﹣1．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数的符号是解题关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角等于逐项判断即可．
【详解】
，设，，，此时，故不能构成直角三角形，故不符合题意；
，，故能构成直角三角形，故符合题意
，且，设，，，则有，所以，则，故不能构成直角三角形，故不符合题意；
，设，，，则，即，故不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，和三角形的内角和等知识，能熟记勾股定理的逆定理内容和三角形内角和等于是解题关键．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平行四边形及特殊平行四边形的判定方法，对选项逐个判断即可．
【详解】
解：A：对角线相互垂直平行四边形才是菱形，四边形ABCD不一定是平行四边形，故选项错误，不符合题意；
B：对角线相等的平行四边形才是矩形，四边形ABCD不一定是平行四边形，故选项错误，不符合题意；
C：一组对边相等，另外一组对边平行，不一定是平行四边形，还有可能是等腰梯形，故选项错误，不符合题意；
D：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
若，则这组数据的众数是80分、90分，而这组数据的平均数只有1个，据此排除，再由众数的定义可得出答案．
【详解】
解：若，
则这组数据的众数是80分、90分，而这组数据的平均数只有1个，
所以，
所以这组数据中90分出现的次数最多，
即这组数据的众数是90分，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5．C
解析：C
【分析】
连接DG，可证△AGD≌△AEB，得到G点轨迹，利用点到直线的最短距离进行求解．
【详解】
解：连接DG，如图，
，
∵四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，
∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AB＝AD，AG＝AE，
∵∠GAD+∠DAE＝∠DAE+∠BAE，
∴∠GAD＝∠BAE，
∵AB＝AD，AG＝AE，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴∠PDG＝∠ABE＝45°，
∴G点轨迹为线段DH，
当PG⊥DH时，PG最短，
在Rt△PDG中，∠PDG＝45°，P为AD中点，DP＝4，
设PG＝x，则DG＝x，由勾股定理得，
x2+x2＝42，
解得x＝2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握连接DG，得到G点轨迹，是解题的关键．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
如图，连接 延长交于 先求解，再证明 再利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半证明 可得 从而可得答案.
【详解】
解：如图，连接 延长交于
菱形，，

分别为的中点，

故选：
【点睛】
本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，菱形的性质，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据折叠得到BE＝EB′，AB′＝AB＝3，设BE＝EB′＝x，则EC＝4－x，根据勾股定理求得AC的值，再由勾股定理可得方程x2＋22＝（4－x）2，再解方程即可算出答案．
【详解】
解：根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，
设BE＝EB′＝x，则EC＝4－x，
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝ ，
∴B′C＝5－3＝2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2＋22＝（4－x）2，
解得x＝1.5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握折叠性质并能运用勾股定理求解是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
根据矩形的性质可得△AOB是等边三角形，可得BD的长度，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：因为在矩形ABCD中，AO＝AC＝BD＝BO，
又因为∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO＝AB＝5，
所以BD＝2AO＝10，
所以AD2＝BD2﹣AB2＝102﹣52＝75，
所以AD＝5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
二、填空题
9．
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，即可求得．
【详解】

或者
解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，分式的性质，理解被开方数为非负数是解题的关键．
10．A
解析：
【解析】
【分析】
连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，根据菱形的面积公式即可求出答案．
【详解】
解：过点A作AM⊥BC于点M，

∵菱形的边长为2cm，
∴AB=BC=2cm，
∵有一个内角是60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴（cm），
∴（cm），
∴此菱形的面积为：（cm2）．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质和30°直角三角形性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．
11．B
解析：
【解析】
【分析】
由，得到 利用勾股定理可得答案．
【详解】
解：设BC
，，

，

（舍去），

故答案为：
【点睛】
本题考查的是含角的直角三角形的性质与勾股定理的应用，掌握相关知识点是解题的关键．
12．A
解析：12
【分析】
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝6，得出BD＝2OB＝12即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝6，
∴BD＝2OB＝12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查矩形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，运用线段垂直平分线的性质是关键．
13．y=x-2或y=-x+2
【分析】
设直线解析式为y=kx+b，先把（2，0）代入得b=-2k，则有y=kx-2k，再确定直线与y轴的交点坐标为（0，-2k），然后根据三角形的面积公式得到×2×|-2k|=2，解方程得k=1或-1，于是可得所求的直线解析式为y=x-2或y=-x+2．
【详解】
设直线解析式为y=kx+b，
把(2,0)代入得2k+b=0，解得b=−2k，
所以y=kx−2k，
把x=0代入得y=kx−2k得y=−2k，
所以直线与y轴的交点坐标为(0,−2k)，
所以×2×|−2k|=2，解得k=1或−1，
所以所求的直线解析式为y=x−2或y=−x+2.
故答案为：y=x−2或y=−x+2.
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征.
14．A
解析：②
【解析】
【分析】
根据②作条件，先证明四边形ADCE是平行四边形，再利用邻边相等，得到四边形ADCE是菱形.
【详解】
解：当BA=BC时，四边形ADCE是菱形．
理由：∵AE∥CD，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴四边形ADCE是菱形．
【点睛】
本题考查的知识点是菱形的证明，解题关键是熟记菱形的性质.
15．【分析】
写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律（n为自然数）,依此规律即可得出结论．
【详解】
在直线上,当x=1时,y=2,
∴点A1的坐标为 ,
∴在直线上,当y=2时,x=-2,
解析：
【分析】
写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律（n为自然数）,依此规律即可得出结论．
【详解】
在直线上,当x=1时,y=2,
∴点A1的坐标为 ,
∴在直线上,当y=2时,x=-2,
∴点A2的坐标为,
同理可得: , , , , , ,
∴（n为自然数）,
∵ ,
∴的坐标为,
故答案为:．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化,解题的关键是找出变化规律（n为自然数），解决该题型题目时,写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律是关键．
16．4或
【分析】
当为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点
解析：4或
【分析】
当为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，可计算出；
②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形，根据勾股定理计算出．
【详解】
解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．
连接，
在中，，
∴，
∵沿折叠，使点B落在点F处，
∴，
当为直角三角形时，只能得到，
∴点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，
∴，
∴；
②当点F落在边上时，如答图2所示．
此时为正方形，
∴，
∴．
综上所述，的长为4或．
故答案为：4或．

【点睛】
本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．解题的关键是要注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
三、解答题
17．（1）（2）（3）-1（4）6
【分析】
（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解；
（3）根据实数的混合运算法则即可求解；
（4）根据二次根式的混合运算
解析：（1）（2）（3）-1（4）6
【分析】
（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解；
（3）根据实数的混合运算法则即可求解；
（4）根据二次根式的混合运算法则即可求解．
【详解】
（1）
=
=
（2）﹣；
=
=
=
（3）（）0+（﹣）﹣2+﹣
=1+4-2-4
=-1
（4）（）×6
=
=6．
【点睛】
此题主要考查二次根式与实数的运算，解题的关键是熟知负指数幂与二次根式的运算法则．
18．折断处离地面的高度有3.2尺．
【分析】
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10-x，BC=6，
解析：折断处离地面的高度有3.2尺．
【分析】
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10-x，BC=6，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10-x)2．
解得：x=3.2．
答：折断处离地面的高度有3.2尺．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）如图，AB=4，BC=3，，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC是直角三角形；
（2）如图， ，，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）如图，AB=4，BC=3，，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC是直角三角形；
（2）如图， ，，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC是直角三角形；
（3）如图， ，则，∠ABC=90°，即可得到四边形ABCD是正方形，．
【详解】
解：（1）如图所示，AB=4，BC=3，，
∴，
∴△ABC是直角三角形；

（2）如图所示， ，
∴，
∴△ABC是直角三角形；

（3）如图所示，， ，
∴，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴．

【点睛】
本题主要考查了有理数与无理数，正方形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）90°
【分析】
（1）由题意利用全等三角形的判定证得，得出，进而利用菱形的判定定理进行证明即可；
（2）由题意利用菱形的性质可得，进而进行角的等量替换得出即的度数．
【详解】
解析：（1）见解析；（2）90°
【分析】
（1）由题意利用全等三角形的判定证得，得出，进而利用菱形的判定定理进行证明即可；
（2）由题意利用菱形的性质可得，进而进行角的等量替换得出即的度数．
【详解】
解：（1）证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
即．
【点睛】
本题考查菱形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定与性质是解题的关键.
21．（1）5；（2）5.
【解析】
【详解】
试题分析: 根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
试题解析：（1）∵a=，
∴4a2-8a+1
=4×()2-8×（）+1
=5；
（2）
解析：（1）5；（2）5.
【解析】
【详解】
试题分析: 根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
试题解析：（1）∵a=，
∴4a2-8a+1
=4×()2-8×（）+1
=5；
（2）原式=×（−1+−+−+…+−）
=×（-1）
=×10
=5.
点睛：本题主要考查了分母有理化，利用分母有理化化简是解答此题的关键．
22．（1）30（15﹣x），180（15﹣x）；（2）租A型客车10辆，B型客车5辆，可使租车总费用y最少，最少为3900元
【分析】
（1）根据“B型车的载客量＝租的辆数×满载人数”以及“租B型车应付
解析：（1）30（15﹣x），180（15﹣x）；（2）租A型客车10辆，B型客车5辆，可使租车总费用y最少，最少为3900元
【分析】
（1）根据“B型车的载客量＝租的辆数×满载人数”以及“租B型车应付租金＝每辆的租金×租的辆数”即可得出结论；
（2）设租车的总费用为y元，根据“总租金＝租A型车的租金+租B型车的租金”即可得出y关于x的函数关系式，再根据A型客车的数量不小于B型客车数量的2倍，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，根据一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车（15﹣x）辆，
B型车的载客量30（15﹣x），租金为180（15﹣x）．
故答案为：30（15﹣x），180（15﹣x）；
（2）根据题意得：x≥2（15﹣x），
解得：x≥10，
∵y＝300x+180（15﹣x）＝120x+2700，
又∵120＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x是正整数，
∴当x取最小值10时，y有最小值3900，
答：租A型客车10辆，B型客车5辆，可使租车总费用y最少，最少为3900元．
【点睛】
本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，根据一次函数的的性质求最值是解题的关键．
23．（1）；（2）DG=BF，证明见解析；（3）
【分析】
（1）如图1，过点作于点，先根据正方形性质和三角形内角和定理得出：，，设，则，运用勾股定理即可求出答案；
（2）①如图2，过点作于点，设，则，
解析：（1）；（2）DG=BF，证明见解析；（3）
【分析】
（1）如图1，过点作于点，先根据正方形性质和三角形内角和定理得出：，，设，则，运用勾股定理即可求出答案；
（2）①如图2，过点作于点，设，则，运用勾股定理即可证得结论；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，先证得，再证得四边形是平行四边形，得出当、、三点共线时，最小，故当、、三点共线时，最小，即最小，再运用勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）如图1，过点作于点，

四边形是边长为2的正方形，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
又，，
，，
，，
设，则，
由勾股定理得，
又，
，
，即，
，
中，，
由勾股定理得：；
（2）①，理由如下：
如图2，过点作于点，

，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
四边形是边长为2的正方形，点在的延长线上，
，
在和中，，
分别由勾股定理得：
，，
，
；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，

，为中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
当、、三点共线时，最小，
当、、三点共线时，最小，
即最小，
此时，，，
，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，平移的运用，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半和平移，将求的最小值转化为两点之间线段最短来解决，属于中考常考题型．
24．（1），；（2）存在，；（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数平移的方法求出直线l对应的函数表达式，再联立两个直线解析式求出交点坐标；
（2）作轴于M，轴于N，利用，得到F点的横坐标，再代
解析：（1），；（2）存在，；（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数平移的方法求出直线l对应的函数表达式，再联立两个直线解析式求出交点坐标；
（2）作轴于M，轴于N，利用，得到F点的横坐标，再代入解析式求出F点纵坐标即可；
（3）在y轴正半轴上取一点Q，使，利用等腰三角形的性质得，即可求出，再由勾股定理求出OP的长，得到点P坐标．
【详解】
解：（1）正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度，
得，
联立两个直线解析式，得，解得，
∴，
故答案是：，；
（2）如图，作轴于M，轴于N，

∴，，
∵，，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴；
（3）易知，，
∴，，
如图，在y轴正半轴上取一点Q，使，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴或．
【点睛】
本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求法，以及利用数形结合思想解决一次函数与几何综合问题．
25．（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）
【分析】
（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形
解析：（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）
【分析】
（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明；
（2）过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD，证明四边形EFDM是矩形，得到EM=DF，DM=EF，∠BMD=90°，根据勾股定理计算；
（3）过P作PE⊥PD，过B作BELPE于E，根据（2）的结论求出PE，结合图形解答.
【详解】
（1）证明：①连接ED、BF，

∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝BD，OE＝OF＝EF．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°．
在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2．
在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；
（2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，

理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD．
∵BE∥DF，EF⊥BE，
∴EF⊥DF，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°，
在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2，
∴（BE+EM）2+DM2＝BD2．
即（BE+DF）2+EF2＝2AB2；

（3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E，
则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2．
∵∠DPB＝135°，
∴∠BPE＝45°，
∴∠PBE＝45°，
∴BE＝PE．
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴BP＝BE，
∵BP+2PD＝4 ，
∴2BE+2PD＝4，即BE+PD＝2，
∵AB＝4，
∴（2）2+PE2＝2×42，
解得，PE＝2，
∴BE＝2，
∴PD＝2﹣2．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键.