高三数学课时复习基础过关训练题39.doc

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第三章　三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时　正弦定理和余弦定理

1. (2013·无锡期末)在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝105°，BC＝，则AC的长度为________．
答案：1
解析：∠B＝30°，根据正弦定理得＝，AC＝×sin30°＝1.
2. (2013·镇江期末)在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝________．
答案：－
解析：由sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k>0，由余弦定理得cosC＝＝＝－.
3. 在△ABC中，已知BC＝1，B＝，△ABC的面积为，则AC的长为________．
答案：
解析：∵ S＝acsinB，∴ ＝×1×c×，∴ c＝4.
又AC2＝12＋42－2×1×4×＝13，∴ AC＝.
4. (2013·扬州期末)在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且a＝，b＝3，sinC＝2sinA，则sinA＝________．
答案：
解析：∵ sinC＝2sinA，∴ c＝2a＝2.由余弦定理，得cosA＝＝，∴ sinA＝＝.
5. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若sinA＝sinC，∠B＝30°，b＝2，则△ABC的面积是________．
答案：
解析：由正弦定理＝，又sinC＝sinA，∴ a＝c.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，∴ c＝2，a＝2，
∴ S△ABC＝ac·sinB＝.
6. 在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为________．
答案：
解析：由余弦定理，得cosC＝＝≥，当且仅当a＝b时取“＝”．

7. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1＋＝，则角A的大小为________．
答案：
解析：1＋＝sin(A＋B)＝2sinCcosA.因为sinC≠0，所以cosA＝，A＝.
8. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若其面积S＝(b2＋c2－a2)，则∠A＝________．
答案：
解析：bcsinA＝(b2＋c2－a2)a2＝b2＋c2－2bcsinAsinA＝cosA，则∠A＝.
9. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足bcosC＋c＝a.
(1) 求角B；
(2) 若a、b、c成等比数列，判断△ABC的形状．
解：(1) 由正弦定理，得sinBcosC＋sinC＝sinA.
而sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
故cosBsinC＝sinC.在△ABC中，sinC≠0，故cosB＝.
因为0<B<π，所以B＝.
(2) 由b2＝ac及正弦定理，得sinAsinC＝sin2B＝sin2＝，又A＋C＝π－B＝，
所以sinAsin＝sinAcosA＋sin2A
＝sin2A＋＝，
所以sin2A－cos2A＝2，即sin＝1.
又0<A<，所以2A－＝，A＝，从而C＝.
故△ABC是等边三角形．
10. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC.
(1) 求∠B的大小；
(2) 若△ABC的面积为，且b＝，求a＋c的值．
解：(1) 因为(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理，得(2sinA－sinC)·cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin(C＋B)＝sinA.在△ABC中，0<A<π，sinA>0，所以cosB＝.又0<B<π，故∠B＝.
(2) 因为△ABC的面积为，所以acsinB＝，所以ac＝3.因为b＝，b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3.所以(a＋c)2＝12，所以a＋c＝2.
11. (2013·山东)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.
(1) 求a、c的值；
(2) 求sin(A－B)的值．
解：(1) 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝，所以ac＝9，
解得a＝3，c＝3.
(2) 在△ABC中，sinB＝＝.
由正弦定理得sinA＝＝.
因为a＝c，所以A为锐角，所以cosA＝＝.
因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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