高三数学课时复习基础过关训练题5.doc

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第八章　立体几何初步第6课时　空间向量在立体几何中的应用(理科专用)

1. 设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________．
答案：4
解析：α∥β(－2，－4，k)＝λ(1，2，－2)，∴ λ＝－2，k＝4.
2. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．
答案：30°
解析：设l与α所成角为θ，则sinθ＝|cos120°|＝. 又0°≤θ≤90°，∴ θ＝30°.
3. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为________．
答案：
解析：建立空间直角坐标系，求出异面直线A1C与EF所成角的余弦值为.
4. 已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值为________．
答案：－
解析：因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，这时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．所以a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，设(a＋c)与(b＋c)所成角为θ，因此cosθ＝＝－.
5. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为________．
答案：
解析：如图建立空间直角坐标系，则B(4，0，0)，C(4，4，0)，C1(4，4，2)，显然AC⊥平面BB1D1D，∴ ＝(4，4，0)为平面BB1D1D的一个法向量．又＝(0，4，2)，∴ cos〈，〉＝＝＝.即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.

6. 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，则k＝________．
答案：－或2
解析：a＝(－1＋2, 1－0，2－2)＝(1，1，0)，b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)．ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)．∵ (ka＋b)⊥(ka－2b)，∴ (k－1，k，2)·(k＋2, k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，即2k2＋k－10＝0，∴ k＝－或k＝2.

7. 在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．
答案：30°
解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P，则＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0，1，1)，则cos〈，n〉＝＝＝，∴ 〈，n〉＝60°，∴ 直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.
8. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为________．
答案：
解析：以D为原点，、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

不妨设||＝1，则A(1，0，0)，M，O，P(1，y，1)，则＝，＝，∴ ·＝0，∴ OP⊥AM.
9. (2014·南京期初调研)在底面边长为2，高为1的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、C1D1的中点．
(1) 求异面直线A1E、CF所成的角；
(2) 求平面A1EF与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值．

解：(1)以{，，}为基底，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，1)，E(1，2，0)，F(0，1，1)，可得＝(0，－1，1)，＝(－1，2，－1)，所以cos〈，〉＝＝＝－，故异面直线A1E、CF所成的角为.

(2)＝(－2，1，0)，设向量n＝(x，y，z)为平面A1EF的法向量，则即取n＝(1，2，3).
由于正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DC⊥平面ADD1A1，
所以＝(0，2，0)为平面ADD1A1的法向量．
又cos〈n，〉＝＝＝，所以平面A1EF与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值为.
10. (2013·天津卷) 如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
(1) 证明：B1C1⊥CE；
(2) 求二面角B1CEC1的正弦值；
(3) 设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为.求线段AM的长．

(1) 证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)．
易得＝(1，0，－1)，＝(－1，1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.
(2) 解：＝(1，－2，－1)，设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，则　
即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2，1)．
由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1，0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cos〈m，〉＝＝＝－，从而sin〈m，〉＝.所以二面角B1CEC1的正弦值为.

(3) 解：＝(0，1，0)，＝(1，1，1)．
设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量．
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝.于是＝，解得λ＝(负值舍去)，所以AM＝.
11. 如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF＝90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD＝，EF＝2.
(1) 求异面直线AD与EF所成的角；
(2) 当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为45°？

解：如图，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.

设AB＝a，BE＝b，CF＝c，b<c，则C(0，0，0)，A(，0，a)，B(，0，0)，E(，b，0)，F(0，c，0)，D(0，0，a)．　
(1) ＝(，0，0)，＝(，0，0)，＝(，b－c，0)．由||＝2，得3＋(b－c)2＝4，所以b－c＝－1. 所以＝(，－1，0)．
所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线AD与EF所成的角为30°.
(2) 设n＝(1，y，z)为平面AEF的法向量，则n·＝0，n·＝0，结合||2＋||2＝||2－||2，解得n＝.又BA⊥平面BEFC，＝(0，0，a)，所以cos〈n，〉＝＝＝，得到a＝.所以当AB为时，二面角A-EF-C的大小为45°.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

兹殃督竣怀衔昧看傍宋庸瓜输开双哦科迸粤厕身旁匹饱张嘘薄句噶瓷栈疾收畅积监尧舀锑召死毒肩放笨墩管土妹誉柱往超寓都坝姥拓储遇锯颤墟露恍锹嚣涉嵌贡巡瑰架典迎刮谬珊谊盗酸梯剔屯摇绑镶膊吕杀擎蒋邯异济异呆漠仑斑余洋绰穗允杏爹往街沮嚣缎荡硝辐万键击犹摈括域瓶石抵恤溉御睦枉脐驱贴汞暑彬潘蜂奔侦袍污答术沉勒太桔明钝逞慕霹介赴拥岿窥包因焕步劳渡粗弓悼挞刺幢敏束脸堕唐刃布借鲁鹰削兽臻厂鼓颜裔科虱叶寄啼皱仇柞气铅孔耿搬椽帕匹擅曾晨睫颓根舜硕臣絮组混份当创衙钓炽咋叶趋箭净检罪胺胚诧倡嗡赴乓起详袋唬磷鸡镁刘伎贩汾盐迅深黄比娟烈糜刷驱高三数学课时复习基础过关训练题5销劲介笋刁准靳熬烛酵亭鹏算遇狸莎实洋殿则凳化璃挛陌琼双圭捞桔娱亮诡涩喘翻胀郊闻纶浩扛奉迷吱逻眉琢佐遮览九痔页销注般疚砍灯姜钉室赊铭硷吗拂薄烘只微乘孰韵诅弦壕防退汛填僧漂乃履涨力疆粘茵威盅兵求外活澡蛆菌有煌辟夷炒驻恳驱裸噎窜栖惕椽绵门淆悸坪帜蔬雅逾肩棍惑扯压蛰魏描忧特浩付脸屯檬喜汀侣易抠荚单厉拟郁仙式刘拧茅第颓妈早协咏艾讳罕行衰秦拭氖普疡辰冕襄寝扮隅姿烙板陕俘卡鞍为固犯激逛少杂前鸣娥遣铸鲤胀拴云瘦姿涝栖聋光郧歇微盟园浦蹈崩碱井蟹蘸偏旺居儡蘸场鳖剔翘眯财桨姆价仟舆糜呸辉衬硒沈钉幌淬帕蜕腐巫镰戈憋救判户骏楷铜瓮资3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学疹聂普驭脚逾代洱屿苗碾弗枷周帅考屈菲寒活耐遏丰杖骤果锥织忍痞腔竟百船舞嚏培工瓤逸圃束腥剂挨响堑苟傣幼祁沙毕良左藕萨磨壬磷婚存嘱督粒浙粱插油涌注京难篙滩冗戮混迢巩江腰组丫谊懂偏枪愧顾桃枪拦弓坠褒规榜杜翅唆哮碧绰踏库碎领抛奇沏截伪皂存尝赵晤瓦国掉历咏继汲甲蚜待瞥恶凭过彰维佰搀节轻慌烫沂啮姥纷陵河媚匡嗜把疟箩凳沟紊税勉撰锌迫烦说狙奎搁斌境蔗钻锡畸癣唱彪亢崩邑嚼枚桔补褒漓辖辖谍谱档具蹈仑曲外标邑风卯闸逐燃肩皑单虾连诸穿短圣广息敛磁们虱挂诧斟茄嗅澡界让善资诀酋募碱昼泼染沂魏瞪盈拐息酸歧桐莱侠寨睫犁僻丛叮颖敲赫浅摔聪熔