高三数学课时复习基础过关训练题22.doc

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第九章　平面解析几何第3课时　直线与直线的位置关系

1. 已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的________条件．
答案：充要
解析：由k1＝k2，1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2，知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．
2. 已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．
答案：
解析：∵ 直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，∴ 直线l1与直线l2的距离为＝.
3. 直线l经过点(－2，1)，且与直线2x－3y＋5＝0垂直，则l的方程是____________________．
答案：3x＋2y＋4＝0
解析：所求直线的斜率为－，则所求直线的方程为y－1＝－(x＋2)，即3x＋2y＋4＝0.
4. 若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点________．
答案：(0，2)
解析：由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)．
5. 直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5，1)，则l的方程是________________．
答案：x＋3y－8＝0
解析：设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0，解得λ＝－4.l的方程为x＋3y－8＝0.
6. 已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
答案：[0，10]
解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0，10]．

7. 若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________．
答案：4
解析：设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2＝m2＋n2.又因为(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x＋3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝＝2，所以m2＋n2的最小值为4.
8. 过点P(1，2)引直线，使之与A(2，3)、B(4，－5)的距离相等，则这条直线的方程为________________________________________________________________________．
答案：4x＋y－6＝0，3x＋2y－7＝0
解析：符合题意的直线有两条，一条直线与直线AB平行，另一条直线经过AB的中点．kAB＝＝－4，y－2＝－4(x－1)即4x＋y－6＝0；AB的中点D(3，－1)，kPD＝＝－，y－2＝－(x－1)即3x＋2y－7＝0.
9. 已知l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，分别求m的值使得l1和l2：
(1) 垂直；(2) 平行；(3) 重合；(4) 相交．
解：(1) l1⊥l2m－2＋3m＝0m＝.
(2) l1∥l2＝≠m2－2m－3＝0且m≠±3m＝－1.
(3) l1与l2重合m＝3.
(4) l1与l2相交m≠3且m≠－1.
10. 已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1) 点P(4，5)关于l的对称点；
(2) 直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵ kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴ 3×－＋3＝0.②
由①②得
(1) 把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴ P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，7)．　
(2) 用③④分别代换x－y－2＝0中的x、y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.
11. 过点P(1，2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长AB＝，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
由解得A；
由解得B.
∵ AB＝，
∴ ＝，
整理得7k2－48k－7＝0，
解得k1＝7或k2＝－.
因此，所求直线l的方程为7x－y－5＝0或x＋7y－15＝0.
12. 两条平行直线分别过点P(－2，－2)、Q(1，3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕着P、Q旋转并且保持互相平行．
(1) 求d的变化范围；
(2) 用d表示这两条直线的斜率；
(3) 当d取最大值时，求两条直线的方程．
解：(1) (解法1)设过点P(－2，－2)的直线l1方程为Ax＋By＋C1＝0，过点Q(1，3)的直线l2方程为Ax＋By＋C2＝0，
由于点P、Q在直线上，得－2A－2B＋C1＝0，A＋3B＋C2＝0，
两式相减得C1－C2＝3A＋5B，
两直线间的距离d＝＝，
即(d2－9)A2－30AB＋(d2－25)B2＝0.(*)
① 当B≠0时，两直线斜率存在，有
(d2－9)－30＋d2－25＝0.
由d>0及Δ≥0，得(－30)2－4(d2－9)(d2－25)≥0，
从而0<d≤；
② 当B＝0时，两直线分别为x＝－2与x＝1，它们间的距离为3，满足上述结论．
综上所述，d的取值范围是(0，]．
(解法2)两平行直线在旋转过程中，0<d≤PQ，而PQ＝，故d的取值范围是(0，]，
(2) 当B≠0时，两直线的斜率存在，从方程(*)中解得＝，直线的斜率k＝－＝－.
(3) 当d＝时，k＝－＝－，对应两条直线分别为l1：3x＋5y＋16＝0，l2：3x＋5y－18＝0.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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