人教版八年级上册期末数学质量检测试卷解析(一).doc

人教版八年级上册期末数学质量检测试卷解析（一）一、选择题1许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是（）ABCD2据报道，可见光的平均波长约为580纳米，已知1纳米0.000000001米，则580纳米用科学记数法表示为（）A58106米B0.58108米C5.8108米D5.8107米3若，则的值是（）A11B14C15D184有这样一道题“先化简，再从2，1，0，1四个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值”这道题中x应取的值为（）A2B1C0D15下列等式从左到右的变形是因式分解的是()Ax2x+1x（x1）+1B（2x+3）（2x3y）4x29y2Cx2+y2（x+y）22xyDx2+6x+9（x+3）26下列等式中，正确的是（）ABCD7如图，能用ASA来判断ACDABE，需要添加的条件是（）AAEBADC，ACABBAEBADC，CDBECACAB，ADAEDACAB，CB8已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（）A1B3C4D69如图，在ABC中，C=90，B=22.5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E若CE3，则BE的长是（）A3B6CD10如图，ABC中，点D在BC上，ACB75，BACADC60，AEBC于E，CFAD于F，AE、CF相交于点GDCm，AFn，则线段EG的长为（）A BC D 二、填空题11若分式的值为零，则x的值为_12点关于轴对称点的坐标为_13已知两个非零实数a，b满足，则代数式的值为_14计算：_15如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，点是上的任意一点，则周长的最小值是_cm16已知关于x的二次三项式 是完全平方式，则常数k的值为_17对于有理数a，b，定义：当时，；当时，若，则的值为_18如图，已知四边形ABCD中，AB12cm，BC10cm，CD14cm，BC，点E为AB的中点如果点P在线段BC上以2cm/s的速度沿BC运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动当点Q的运动速度为 _cm/s时，能够使BPE与CQP全等三、解答题19因式分解：(1)x3yxy3；(2)（x2）（x4）x2420解方程：(1)(2)21如图：点B，E，C，F在一条直线上，FB=CE，AB/ED，AC/DF求证： AB=DE，AC=DF22概念认识：如图，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”(1)问题解决：如图，在中，若的邻三分线交于点，则的度数为 ；(2)如图，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；(3)延伸推广：在中，是的外角，的邻三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点若，直接写出的度数（用含的代数式表示）23一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地(1)原计划的行驶速度是多少？(2)这辆汽车实际花费多长时间到达了目的地24先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子和分解因式，如图：；请你仿照以上方法，探索解决下列问题：（1）分解因式：；（2）分解因式：26已知ABC是等边三角形，ADE的顶点D在边BC上（1）如图1，若ADDE，AED60，求ACE的度数；（2）如图2，若点D为BC的中点，AEAC，EAC90，连CE，求证：CE2BF；（3）如图3，若点D为BC的一动点，AED90，ADE30，已知ABC的面积为4，当点D在BC上运动时，ABE的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若变化请说明理由26阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于1，记为i21，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似例如：计算：（2i）+（5+3i）（2+5）+（1+3）i7+2i；（1+i）（2i）12i+2ii22+（1+2）i+13+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3 ，i4 ，i+i2+i3+i2021 ；（2）计算：（1+i）（34i）（2+3i）（23i）；（3）已知a+bi（a，b为实数），求的最小值【参考答案】一、选择题2B解析：B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180后与原图重合【详解】解：A是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；C是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意故选：B【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念3D解析：D【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：580纳米=5800.000000001米米米故选：D【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1|a|10，n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定4C解析：C【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后再代值求解即可【详解】解：，原式=故选：C【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的化简求值，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键5A解析：A【分析】根据分式有意义的条件，即可求解【详解】解：根据题意得：，x不能取-1，0，1，x应取-2故选：A【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键6D解析：D【分析】根据因式分解的定义，即可求解【详解】解：A、等式从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；B、等式从左到右的变形是整式乘法，故本选项不符合题意；C、等式从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；D、等式从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程叫做因式分解是集体的关键7B解析：B【分析】根据分式的基本性质逐一进行判断即可【详解】解：选项A：，故选项A错误；选项B：，选项B正确；选项C：，故选项C错误；选项D：，故选项D错误；故选：B【点睛】本题考查了分式的基本性质，属于基础题，计算过程中细心即可8D解析：D【分析】根据全等三角形的判定定理可进行排除选项【详解】解：由图形可知：A=A，则有：当添加AEBADC，ACAB，满足“AAS”判定ACDABE，故A选项不符合题意；当添加AEBADC，CDBE，满足“AAS”判定ACDABE，故B选项不符合题意；当添加ACAB，ADAE，满足“SAS”判定ACDABE，故C选项不符合题意；当添加ACAB，CB，满足“ASA”判定ACDABE，故D选项符合题意；故选D【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键9C解析：C【分析】根据分式方程解的情况，求得的范围，解不等式组确定的范围，进而求得的整数解，求和即可求解【详解】解：去分母得，解得 ，时，方程产生增根，即，且，解不等式得：，解不等式得：，不等式组有解，不等式组的解集为：，恰好有三个整数解，解得，又且，且，整数为，其和为1+3=4，故选C【点睛】本题考查了解分式方程，一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键10D解析：D【分析】利用线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质计算【详解】解：已知C90，B22.5，DE垂直平分AB，AE=BE，故BEAB22.5，所以AEC45，又C90，ACE为等腰三角形，所以CEAC3，故可得AE故选：D【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键11A解析：A【分析】利用AAS证明AFGCFD可得CF的长，再根据30角的直角三角形的性质可求得FG的长，进而求出CG的长，再利用30角所对的直角边等于斜边的一半可求解【详解】解：ACB75，BAC60，ABC180ACBBAC45ADC60，ADB120，DACADBACB1207545，又CFAD，AFCCFD90，ACFDAC45，AFCF，CFAD，AEBC，CDF+DCFCGE+DCF90，CDFCGE，又CGEAGF，AGFCDF，在AFG和CFD中，AFCCFD，AGFCDF，AFCF，AFGCFD（AAS），CFAFn，在RtCFD中，CFD90，FCD30，DFCDm，FGDFm，CGCFFGnm，在RtCGE中，AEC90，FCD30，EGCG故选：A【点睛】此题考查学生掌握三角形全等的证明方法，灵活运用直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半化简求值，是一道综合题二、填空题12【分析】根据分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，即可得到答案【详解】解；根据分式的值为零的条件得：，且，解得：，故答案为：【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零13【分析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点P（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（2，3）【详解】解：点P的坐标为(2，-3)，点P关于x轴的对称点的坐标是(2，3)故答案为：(2，3)【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的性质是解题关键142或【分析】利用，得出，且或，分情况讨论即可求解【详解】解：由题意，+得：，整理得：，-得：，整理得：， 或当时，,；当时，,；综上，代数式的值为2或故答案为：2或【点睛】本题考查求代数式的值、分式的运算，利用到了平方式差公式及完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式及其变形、分式的运算法则，注意分类讨论，避免漏解15#【分析】利用同底数幂的逆运算与积的乘方的逆运算把原式化为，再计算，从而可得答案.【详解】解： 故答案为：【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法与积的乘方的逆运算，掌握“幂的运算法则与其逆运算的法则”是解本题的关键.1612【分析】当点于重合时，的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出的周长【详解】DE垂直平分AC，点C与A关于DE对称，当点于重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF解析：12【分析】当点于重合时，的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出的周长【详解】DE垂直平分AC，点C与A关于DE对称，当点于重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），的周长为：，是垂直平分线，又，故答案为：12【点睛】本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键176【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可【详解】解：关于x的二次三项式是完全平方式，；，则常数k的值为6故答案为：6【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握解析：6【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可【详解】解：关于x的二次三项式是完全平方式，；，则常数k的值为6故答案为：6【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键189【分析】根据新定义可得：-6m+4n-m2-n213，通过整理配方可得：（m+3）2+（n-2）20，利用非负性的性质可判断出m+3=0，n-2=0，从而求值【详解】解：min1解析：9【分析】根据新定义可得：-6m+4n-m2-n213，通过整理配方可得：（m+3）2+（n-2）20，利用非负性的性质可判断出m+3=0，n-2=0，从而求值【详解】解：min13，-6m+4n-m2-n2=13，-6m+4n-m2-n213，（m+3）2+（n-2）20，m+3=0，n-2=0，m=-3，n=2，mn=（-3）2=9故答案为：9【点睛】本题考查新定义，配方法应用，非负性性质，解题关键是将不等式进行配方192或【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，求出BE=6cm，根据全等三角形的判定得出当BE=CP，BP=CQ或BE解析：2或【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，求出BE=6cm，根据全等三角形的判定得出当BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP时，BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，再代入求出t、v即可【详解】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，E为AB的中点，AB=12cm，BE=AE=6cm，B=C，要使BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP，当BE=CP，BP=CQ时，6=10-2t，2t=vt，解得：t=2，v=2，即点Q的运动速度是2cm/s，当BE=CQ，BP=CP时，6=vt，2t=10-2t，解得：t=，v=，即点Q的运动速度是cm/s，故答案为2或【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等三、解答题20(1)xy（x+y）（xy）(2)2（x+2）（x+1）【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解；（2）先根据平方公式因式分解，然后提公因式，即可求解(1)解析：(1)xy（x+y）（xy）(2)2（x+2）（x+1）【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解；（2）先根据平方公式因式分解，然后提公因式，即可求解(1)解：原式；(2)解：原式【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键21(1)x=6(2)无解【分析】（1）方程两边都乘x（x-2）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘（x+1）（x-1）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可解析：(1)x=6(2)无解【分析】（1）方程两边都乘x（x-2）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘（x+1）（x-1）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可(1)解：，去分母得：2x=3x-6，解得：x=6，检验：当x=6时，x（x-2）0，x=6是原方程的根；(2)解：，去分母得：（x+1）2-4=x2-1，整理得：2x=2，解得：x=1，检验：当x=1时，x2-1=0，x=1是分式方程的增根，原方程无解【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键解分式方程必须检验22见解析【分析】结合已知条件可由ASA得出ABCDEF，进而可得出结论【详解】证明：FB=EC，BC=EF，又ABED，ACDF，B=E，ACB=DFE解析：见解析【分析】结合已知条件可由ASA得出ABCDEF，进而可得出结论【详解】证明：FB=EC，BC=EF，又ABED，ACDF，B=E，ACB=DFE，在ABC与DEF中，ABCDEF（ASA），AB=DE，AC=DF【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键23(1)85(2)45(3)或【分析】（1）根据题意可是“邻三分线”可求得的度数，再利用三角形外角的性质可求解；（2）结合（1）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数；解析：(1)85(2)45(3)或【分析】（1）根据题意可是“邻三分线”可求得的度数，再利用三角形外角的性质可求解；（2）结合（1）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数；（3）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得，可求解；情况二：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得可求解(1)解：的邻三分线交于点，故答案为：；(2)解：在中，又、分别是邻三分线和邻三分线，在中，；(3)解：如图3-1所示，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，即，；如图3-2所示，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，即，综上所述：的度数为：或【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角三等分线的定义，正确理解题意是解题的关键24(1)原计划的行驶速度是60km/h(2)实际花费2小时20分钟到达了目的地【分析】（1）本题设原计划的行驶速度为xkm/h，根据题意列出分式方程即可；（2）根据行驶时间=路程速度-解析：(1)原计划的行驶速度是60km/h(2)实际花费2小时20分钟到达了目的地【分析】（1）本题设原计划的行驶速度为xkm/h，根据题意列出分式方程即可；（2）根据行驶时间=路程速度-提前时间列式即可得出结论（1）解：设原计划的行驶速度是xkm/h，依题意可列方程为解得：x=60 经检验，是原方程的根， 所以原计划的行驶速度是60km/h；（2）解：，即实际花费2小时20分钟到达了目的地【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系：时间=路程速度列出分式方程；（2）根据数量关系行驶时间=路程速度-提前时间列式计算25（1）（x3）（x4）；（2）（x1）（3x+1）【分析】（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案；（2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1解析：（1）（x3）（x4）；（2）（x1）（3x+1）【分析】（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案；（2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.【详解】（1）y27y+12=（x3）（x4）；（2）3x22x1=（x1）（3x+1）.【点睛】此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.26（1）60；（2）见解析；（3）不变，【分析】（1）由题意，先证ADE是等边三角形，再证BADCAE，得ACE=B=60；（2）由题意，先求出BEC=30，然后求出CF解析：（1）60；（2）见解析；（3）不变，【分析】（1）由题意，先证ADE是等边三角形，再证BADCAE，得ACE=B=60；（2）由题意，先求出BEC=30，然后求出CFE=90，利用直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半，即可得证；（3）延长AE至F，使EF=AE，连DF、CF，先证明ADF是等边三角形，然后证明EGFEHA，结合HG是定值，即可得到答案【详解】解：（1）根据题意，ADDE，AED60，ADE是等边三角形，AD=AE，DAE=60，AB=AC，BAC=60，即，BADCAE，ACE=B=60；（2）连CF，如图：AB=AC=AE，AEB=ABE，BAC=60，EAC=90，BAE=150，AEB=ABE=15；ACE是等腰直角三角形，AEC=45，BEC=30，EBC=45，AD垂直平分BC，点F在AD上，CF=BF，FCB=EBC=45，CFE=90，在直角CEF中，CFE=90，CEF=30，CE=2CF=2BF；（3）延长AE至F，使EF=AE，连DF、CF，如图：AED90，EF=AE，DE是中线，也是高，ADF是等腰三角形，ADE30，DAE=60，ADF是等边三角形；由（1）同理可求ACF=ABC=60，ACF=BAC=60，CFAB，过E作EGCF于G，延长GE交BA的延长线于点H，易证EGFEHA，EH=EG=HG，HG是两平行线之间的距离，是定值，SABESABC；【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题57已知，A(0，a)，B(b，0)，点为x轴正半轴上一个动点，ACCD，ACD90（1）已知a，b满足等式a +b+b2+4b4求A点和B点的坐标；如图1，连BD交y轴于点H，求点H的坐标；（2）如图2，已知a+b=0，OCOB，作点B关于y轴的对称点E，连DE，点F为DE的中点，连OF和CF，请补全图形，探究OF与CF有什么数量和位置关系，并证明你的结论（1）A（0，2），B（-2，0）；H（0，-2）；（2）CFOF，CF=OF，证明见解析【分析】（1）利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出a、b的值，即可得到答案；过C作y轴垂线交BA的延长线于E，然后证明CEACBD，得到OB=OH，即可得到答案；（2）由题意，先证明DFGEFO，然后证明DCGACO，得到OCG是等腰直角三角形，再根据三线合一定理，即可得到结论成立【详解】解：（1），A（0，2），B（2，0）；过C作x轴垂线交BA的延长线于E，OA=OB=2，AOB=90，AOB是等腰直角三角形，ABO=45，ECBC，BCE是等腰直角三角形，BC=EC，BCE=90=ACD，ACE=DCB，AC=DC，CEACBD，CBD=E=45，OH=OB=2，H（0，2）；（2）补全图形，如图：点B、E关于y轴对称，OB=OE，a+b=0，即OA=OB=OE延长OF至G使FG=OF，连DG，CG，OF=FG，OFE=DFG，EF=DFDFGEFODG=OE=OA，DGF=EOFDGOECDG=DCO；ACO+CAO=ACO+DCO=90，DCO=CAO；CDG=DCO=CAO；CD=AC，OA=DGDCGACOOC=GC，DCG=ACOOCG=90，COF=45，OCG是等腰直角三角形，由三线合一定理得CFOFOCF=COF=45，CF=OF；【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题58已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边OAB，A(x，0)，其中x是方程的解（1）求点A的坐标；（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边ACD，连DB并延长交y轴于点E，求的度数；（3）如图2，点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连接FB，以FB为边在第一象限内作等边FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围（1）；（2）；（3）的值是定值，9【分析】（1）先求出方程的解为，即可求解；（2）由“SAS”可证CAODAB，可得DBACOA90，由四边形内角和定理可求解；（3）由“SAS”可证ABGOBF可得OFAG，BAGBOF60，可求OAH60，可得AH6，即可求解【详解】解：（1）是方程的解解得：，检验当时，是原方程的解，点；（2）ACD，ABO是等边三角形，AOAB，ADAC，BAOCAD60，CAOBAD，且AOAB，ADAC，CAODAB（SAS）DBACOA90，ABE90，AOEABEOABBEO360，BEO120；（3）GHAF的值是定值，理由如下：ABC，BFG是等边三角形，BOABAO3，FBBG，BOAABOFBG60，OBFABG，且OBAB，BFBG，ABGOBF（SAS），OFAG，BAGBOF60，AGOFOAAF3AF，OAH180OABBAG，OAH60，且AOH90，OA3，AH6，GHAFAHAGAF63AFAF9【点睛】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力59等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点（1）如图1，求的度数；图1（2）连接，若，求的值；（3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是_图2（1）；（2）；（3）【分析】（1）由是等边三角形，可得出，再利用，可证，得出，由可求出，最后由补角定义求出.（2）在上取点，使，由可证，再利用，可证明，进而求出，再用补角的性质得知，在中利用外角的性质可求出，进而证出为等腰三角形，最后可证出即可求解.（3）延长至，使为等边三角形，延长交于，可得出，进而得出，利用角的和差得出，则证出，进而证出，再利用，证出为等边三角形，进而证出.【详解】（1）是等边三角形，在和中，（2）在上取点，使由（1）知，又，在和中，（3）提示：目测即得答案详细理由如下：由（1）知延长至，使为等边三角形延长交于 ，在和中， ,， 在和中， ，为等边三角形， 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.60、在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点（1）当2a2+4ab+4b2+2a+10时，求A，B的坐标；（2）当a+b0时，如图1，若D与P关于y轴对称，PEDB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PBPF；如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CPAQ时，求APB的大小（1）；（2）见解析；APB22.5【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；（2）想办法证明PBFF，可得结论；如图2中，过点Q作QFQB交PB于F，过点F作FHx轴于H，可得等腰直角BQF，证明FQHQBO（AAS），再证明FQFP即可解决问题【详解】解：（1）2a2+4ab+4b2+2a+10，（a+2b）2+（a+1）20，（a+2b）20 ，（a+1）20，a+2b0，a+10，a1，b，A（1，0），B(0，）（2）证明：如图1中，a+b0，ab，OAOB，又AOB90，BAOABO45，D与P关于y轴对称，BDBP，BDPBPD，设BDPBPD，则PBFBAP+BPA45+，PEDB，BEF90，F90EBF，又EBFABDBAOBDP45，F45+，PBFF，PBPF解：如图2中，过点Q作QFQB交PB于F，过点F作FHx轴于H可得等腰直角BQF，BOQBQFFHQ90，BQO+FQH90，FQH+QFH90，BQOQFH，QBQF，FQHQBO（AAS），HQOBOA，HOAQPC，PHOCOBQH，FQFP， 又BFQ45，APB22.5【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题61如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，BAC=30，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB=PE，连BE（1）如图1，若点P与点C重合，求ABE的度数；（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+AC=CE；（3）若AC=6，CE=2，则PD的值为 （直接写出结果）（1）ABE=90；（2）PD+AC=CE，见解析；（3）1【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：BPE为等边三角形，则CBE=60，故ABE=90；（2）如图2，过P作PHAE于H，连BC，作PGBC交BC的延长线于G，构造含30度角的直角PCG、直角CPH以及全等三角形（RtPGBRtPHE），根据含30度的直角三角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；（3）分三种情况讨论，根据（2）的解题思路得到PD=AC+CE或PD=CE-AC，将数值代入求解即可【详解】（1）解：如图1，点P与点C重合，CD是线段AB的垂直平分线，PA=PB，PAB=PBA=30，BPE=PAB+PBA=60，PB=PE，BPE为等边三角形，CBE=60，ABE=90；（2）如图2，过P作PHAE于H，连BC，作PGBC交BC的延长线于G，CD垂直平分AB，CA=CB，BAC=30，ACD=BCD=60，GCP=HCP=BCE=ACD=BCD=60，GPC=HPC=30，PG=PH，CG=CH=CP，CD=AC，在RtPGB和RtPHE中，RtPGBRtPHE（HL）BG=EH，即CB+CG=CE-CH，CB+CP=CE-CP，即CB+CP=CE，又CB=AC，CP=PD-CD=PD-AC，PD+AC=CE；（3）当P在C点上方时，由（2）得：PD=