人教版八年级上册期末强化数学检测试卷解析(一)[001].doc

人教版八年级上册期末强化数学检测试卷解析（一）
一、选择题
1．下列图形不是轴对称图形的是（       ）．
A． B． C． D．
2．斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子约为0.00000052克，将0.00000052这个数用科学记数法表示为（        ）
A．5.2×107 B．0.52×10-8 C．5.2×10-6 D．5.2×10-7
3．下列计算正确的是（       ）
A．a2+a2＝2a4 B．a2·a＝a3 C．(3a)2＝6a2 D．a6÷a2＝a3
4．当分式有意义时，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
5．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列等式成立的是（       ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，要使，只需增加的一个条件（       ）

A． B．
C． D．
8．关于x的方程有增根，则m的值是（       ）
A．0 B．2或3 C．2 D．3
9．如图，在中，AE平分交BC于点E，，则等于（       ）

A．62° B．94° C．108° D．118°
10．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作 EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、 EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若，则．其中结论正确的有（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若分式的值为0，则x的值是 _____．
12．若点关于y轴的对称点为，则______．
13．若，则分式___________．
14．若，，则________．
15．如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．

16．若多项式9a2﹣ka+25是一个完全平方式，则k＝_____．
17．已知，则代数式的值是______．
18．如图，△ABC中AC⊥BC，AC＝8cm，BC＝4cm，AP⊥AC于A，现有两点D、E分别在AC和AP上运动，运动过程中总有DE＝AB，当AD＝_____cm时，能使△ADE和△ABC全等．

三、解答题
19．分解因式：
(1)m2﹣2m+1；
(2)x2y﹣9y．
20．（1）解方程：
（2）先化简：，再从－1，0或1中选一个合适的x的值代入求值．
21．如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC=112°，求∠BCF的度数．

22．（1）如图1，求证：．
（2）如图2，、的二等分线（即角平分线）BF、CF交于点F．已知，，求∠BFC的度数；
（3）如图3，、分别为、的2021等分线（i＝1，2，3……，2019，2020）它们的交点从上到下依次为、、……．已知，，则______度．

23．为了落实“双减”政策措施，增强学生的体质，西安市某中学决定购买一些篮球和足球来促进学生的体育锻炼，已知每个篮球的售价比每个足球的售价多20元，购买篮球花费7000元，购买足球花费2500元，篮球是足球数量的2倍．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元？
(2)根据学校的实际需求，需要一次性购买篮球和足球共200个，并且要求购买篮球和足球的总费用不超过12000元，那么学校最少购入多少个足球？
24．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．
十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子和分解因式，如图：
；
．

请你仿照以上方法，探索解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
25．如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接．

(1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______．
(2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数．
26．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；
（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．

【参考答案】
一、选择题
2．A
解析：A
【分析】根据轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】根据轴对称图形的定义，A图形不是轴对称图形，BCD图形是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟记定义．
3．D
解析：D
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：0．00000052用科学记数法表示为5.2×；
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，解题的关键是确定a和n的值。
4．B
解析：B
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，同底数幂的除法，判断出正确答案为B．
【详解】A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算正确，符合题意；
C、，选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查知识点为：合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，同底数幂的除法．熟练掌握上述运算方法，是解决本题的关键．
5．A
解析：A
【分析】根据分式分母不为0解答即可．
【详解】解：由，得，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分母不为0是解本题的关键．
6．B
解析：B
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式）逐项判断即可得．
【详解】解：A、等式右边不是乘积的形式，不属于因式分解，则此项不符合题意；
B、等式右边是乘积的形式，且右边等于左边，属于因式分解，则此项符合题意；
C、等式右边不是乘积的形式，不属于因式分解，则此项不符合题意；
D、等式右边的不是整式，不属于因式分解，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，熟记因式分解的定义是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】根据分式的基本性质进行计算逐一判断即可．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】结合图形，发现BC=CB是公共边，选择SAS判断即可．
【详解】∵AC=DB，BC=CB，
∴选择SAS判断，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握定理并结合已知选择适当原理是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x－2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
【详解】解：去分母得：，
∴，
∵关于x的方程有增根，
∴x－2=0，
解得：x＝2
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据分式方程根的情况求参数的值．根据分式方程有增根求出x的值，并代入去分母后转化的整式方程中求m的值是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】由平行四边形的性质可得∠BAD＝124°，∠B＝∠D＝56°，由角平分线的性质和三角形的外角性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝56°，
∴∠BAD＝180°﹣56°＝124°，∠B＝∠D＝56°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝×124°＝62°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝56°+62°＝118°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、三角形的外角性质等知识，掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是本题的关键．
11．D
解析：D
【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF-GF=CD-FC=DF；②由SAS证明△EHF≌△DHC即可；③根据△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；④若=，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．
【详解】解：①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD，
∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF−GF，DF=CD−FC，
∴EG=DF，故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，
EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH，
∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②正确；
③∵△EHF≌△DHC(已证)，
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；
④∵=，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=GH,∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中，
EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，
∴△EGH≌△DFH(SAS)，
∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,

∴△EHD为等腰直角三角形，
如图，过H点作HM⊥CD于M，
设HM=x,则DM=5x,DH=，CD=6x，
则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2，
∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；
故选D.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质.
二、填空题
12．2
【分析】根据分式值为零的条件，列式计算即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴x－2＝0，1－x≠0，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟知分式值为零：分子为零分母不为零是解题的关键．
13．－1
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，即横坐标互为相反数，纵坐标相等，从而得到a、b的值，进而求得a+b的值．
【详解】解：∵点关于y轴的对称点为，
∴，
∴a+b=3+（-4）=-1,
故答案为：-1．
【点睛】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征应用，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征公式是解题关键．
14．1
【分析】利用分式的减法运算将原式写成，即可得到结果．
【详解】解：，
∵，
∴原式．
故答案是：1．
【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．
15．
【分析】由同底数幂的除法，可知，再把，代入，即可求得其值
【详解】解：，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算法则，根据同底数幂的除法运算法则进行恒等变式是解决本题的关键．
16．6
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的
解析：6
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，
∴点E关于AD的对应点为点F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴F是AB的中点，
∴CF=AD=6，
即EP+CP的最小值为6，
故答案为6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
17．±30
【分析】按照完全平方公式有和，差两种方式，进行配方计算即可．
【详解】∵9﹣ka+25是一个完全平方式，
∴9﹣ka+25=，
解得k=±30，
故答案为：±30．
【点睛】本题
解析：±30
【分析】按照完全平方公式有和，差两种方式，进行配方计算即可．
【详解】∵9﹣ka+25是一个完全平方式，
∴9﹣ka+25=，
解得k=±30，
故答案为：±30．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式有和，差两种形式是解题的关键．
18．13
【分析】由，可得（a-1）2=（）2，有a2-2a=4，即可得a2-2a+9=13．
【详解】解：∵，
∴（a-1）2=（）2，
∴a2-2a=4，
∴a2-2a+9=13，
故答
解析：13
【分析】由，可得（a-1）2=（）2，有a2-2a=4，即可得a2-2a+9=13．
【详解】解：∵，
∴（a-1）2=（）2，
∴a2-2a=4，
∴a2-2a+9=13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是根据已知变形，求出a2-2a=4，再整体代入．
19．8或4##4或8
【分析】根据直角三角形全等的判定方法确定AD的长度．
【详解】∵AC⊥BC，AP⊥AC，
∴∠ACB＝∠EAD＝90°，
∵DE＝AB，
∴当AD＝AC＝8cm时，根据“
解析：8或4##4或8
【分析】根据直角三角形全等的判定方法确定AD的长度．
【详解】∵AC⊥BC，AP⊥AC，
∴∠ACB＝∠EAD＝90°，
∵DE＝AB，
∴当AD＝AC＝8cm时，根据“HL”可判断Rt△ADE≌Rt△CAB；
当AD＝BC＝4cm时，根据“HL”可判断Rt△ADE≌Rt△CBA；
综上所述，当AD＝8cm或4cm时，△ADE和△ABC全等．
故答案为：8或4．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握判定直角三角形全等的“HL”判定，另外要注意这里有两种情况．
三、解答题
20．(1)
(2)
【分析】（1）用完全平方公式分解因式；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式．
（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，解决问题的关键是熟练掌握提
解析：(1)
(2)
【分析】（1）用完全平方公式分解因式；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式．
（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式和公式法分解因式，公式法有用完全平方公式，平方差公式．
21．（1）x=1；（2），当x=0时，原式=1
【分析】（1）先在方程左右两边同乘以（x-2）去分母，化为整式方程再解方程即可．
（2）先对括号内的分式进行通分，再合并，然后再乘以后面的倒数，再因式
解析：（1）x=1；（2），当x=0时，原式=1
【分析】（1）先在方程左右两边同乘以（x-2）去分母，化为整式方程再解方程即可．
（2）先对括号内的分式进行通分，再合并，然后再乘以后面的倒数，再因式分解，再约分，最后代入使得分式有意义的x值可求出答案．
【详解】解：（1）方程两边乘（x-2）得，
解得x=1，
检验：当x=1时x-2≠0，
所以原分式方程解为x=1；
（2）原式=
=
=，
由分式有意义的条件可知：x不能取±1，
当x=0时，
原式=0+1=1．
【点睛】本题考查分式的化简求值以及分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
22．46°
【分析】先根据邻补角互补求出∠DFB的度数，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DBF的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBF的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出∠BCF的度数．
【详
解析：46°
【分析】先根据邻补角互补求出∠DFB的度数，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DBF的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBF的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出∠BCF的度数．
【详解】解：∵∠BFC=112°，
∴∠DFB=180°-∠BFC=68°，
∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF=90°-∠DFB=22°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBF=22°，
∴∠BCF=180°-∠BFC-∠CBF=46°．
【点睛】本题主要考查了邻补角互补，直角三角形两锐角互余，角平分的定义，三角形内角和定理，正确求出∠CBF的度数是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）延长BO交AC于D，由外角的性质可得∠BOC＝∠B+∠A+∠C；
（2）由（1）知，，由角平分线的性质和外角的性质即可求解；
（3）由题意知：∠AB
解析：（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）延长BO交AC于D，由外角的性质可得∠BOC＝∠B+∠A+∠C；
（2）由（1）知，，由角平分线的性质和外角的性质即可求解；
（3）由题意知：∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，由三角形的外角性质可求解．
【详解】解：（1）如图1，延长BO交AC于D，

∴，
，
∴，
即．
（2）由（1）知，
∵∠ABE、∠ACE的二等分线（即角平分线）BF、CF交于点F．
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）由题意知：∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，
∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，
∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，
则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），
代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，
∴∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，
解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，
∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，
∴∠BO1000C＝m°+n°＝（）°；
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．(1)每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元；
(2)学校最少购入100个足球．
【分析】（1）设每个足球的售价为x元，则每个篮球的售价为（x＋20）元．由题意：花费7000元购买篮球的
解析：(1)每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元；
(2)学校最少购入100个足球．
【分析】（1）设每个足球的售价为x元，则每个篮球的售价为（x＋20）元．由题意：花费7000元购买篮球的数量是花费2500元购买足球数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购入m个足球，则购入（200−m）个篮球．由题意：购买篮球和足球的总费用不超过12000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）
解：设每个足球的售价为x元，则每个篮球的售价为（x＋20）元，
由题意得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解且符合题意，
∴x＋20＝70，
答：每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元；
（2）
设购入m个足球，则购入（200−m）个篮球，
由题意得：50m＋70（200−m）≤12000，
解得：m≥100，
答：学校最少购入100个足球．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）（x﹣1）（3x+1）．
【分析】（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案；
（2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1
解析：（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）（x﹣1）（3x+1）．
【分析】（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案；
（2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.
【详解】（1）y2﹣7y+12=（x﹣3）（x﹣4）；
（2）3x2﹣2x﹣1=（x﹣1）（3x+1）.
【点睛】此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.
26．(1)
(2)，证明见详解
(3)
【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证；
（2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可
解析：(1)
(2)，证明见详解
(3)
【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证；
（2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明；
（3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取，如图（见详解），用同样的方法证明，再根据ED⊥DC，证出为等腰直角三角形，即可求出∠DEC的度数．
（1）
解：，
证明过程如下：由题意可知，
∵D为AB的中点，
∴，
∴，
∴．
∵为等边三角形，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）
解：，
理由如下：在射线AB上截取，连接EF，如图所示，

∵为等边三角形，
∴，．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
由题意知，
∴，
∴．
即．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴DE与DC之间的数量关系是．
（3）
如图，在射线CB上截取，连接DF，如图所示，

∵为等边三角形，
∴，．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴．
由题意知，
∵，
∴，
即．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵ED⊥DC，
∴为等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键．
27．（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．
【分析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠B
解析：（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．
【分析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN =60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．
（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．
【详解】解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
∵ ，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，
即：∠MDN =∠NDE=60°，
在△DMN与△DEN中，
∵ ，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．
（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．

理由：在CA上截取CE=BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠DCE=90°，
在△BMD和△CED中
∵ ，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DM= DE，∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，
即：∠MDN =∠NDE=60°，
在△MDN和△EDN中
∵ ，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．